1、 第 1 页(共 5 页 )函数与方程思想在高中数学学习中的应用周 玉 安徽省郎溪中学 摘要：高中数学是对初中数学知识的进一步延伸和深化，在高中数学学习过程中，应掌握好函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想，其中函数与方程思想是高中数学学习中重要的解决问题的方法之一，文章选择两个例题，对函数与方程思想在求解不等式及未知数值中的应用做了详细讨论，希望能对教师教学及学生的学习提供一定借鉴意义。关键词：函数思想；方程思想；高中数学；1 引言高中数学学科是对初中数学知识的延伸和深化，因此学习高中数学知识不仅要从知识层面上进行提升，还应从思想方法上进一步深化，完成数学知识学习从量变到
2、质变的飞跃。数学的学习过程是一个漫长的过程，其数学思想方法也是逐步发展并进一步完善而成的。在高中阶段，学好数学知识必备的四种思想为函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想以及分类讨论思想，这几种数学思想不仅是学习数学学科的必备工具，也是解决物理、化学等相关问题的辅助工具。本文主要针对高中数学中函数与方程思想进行探讨和分析。2 函数与方程思想分析2.1 函数与方程思想概念分析函数思想是立足于函数关系的相关性质，从函数图形出发，对函数的图形和性质进行分析。学生在解题过程中，要认真地理解题目中给出的各种已知条件，将实际问题转化成函数方程问题。方程问题和函数问题的转变可以依据函数图像的性质判断来得
3、出问题求解的条件，将求解方程根的问题与函数问题相结合，能够快速地获得解题思路，用最简单的办法找到问题的关键所在，从而得到问题的答案。方程的思想要求我们从函数关系出发，建立正确的相关函数表达式，通过进一步对函数表达式的分析，得到相关问题的答案。也就是，从函数问题向方程问题转换，如可以把 进行移向后，)(xfy转变为 ，这样在具体的解题过程中，涉及直线函数的值域、定义域等问题时，都可以应0)(yxf用二元一次方程组进行解题，从而大大降低解题难度。2.2 函数与方程思想在高考中的重要性以函数与方程思想为主干的试题分值在高考数学总分中约占 30%，涉及题型既有灵活多变的客观题,又有综合能力要求较高、知
4、识点交汇多的主观题。其中函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式、第 2 页(共 5 页 )证明不等式、对方程有解的条件分析、方程的实根个数的讨论等方面；方程思想的应用可分为逐步提高的四个层次：解方程、含参数方程讨论、转化为对方程的研究、构造方程求解。就历年高考的命题来看,我们可以大胆地预测,运用函数与方程思想去构造函数或方程解决函数性质、最值、大小比较、求参数取值范围等问题,将是各类命题的重点。2.3 函数与方程思想应用策略基于函数与方程思想在高考命题中的重要地位,在日常学习中要有意识地运用函数与方程思想去研究问题、解决问题。为加强函数与方程思想的应用，在学习过程中可根据方程与函数的密切关
5、系,尝试将二元方程转化为函数来解决；根据不等式与函数的密切关系,有意识地把不等式问题转化为函数问题,再利用函数的图象与性质进行处理；在解决实际问题中,常涉及到最值问题,可以考虑通过建立目标函数,利用函数求最值的方法加以解决；把问题中的已知与未知建立等量关系统一在方程中,通过解方程解决；从分析问题的结构入手,抓住某一个关键变量,将等式看成关于这个主变元(常称为主元)的方程,利用方程的特征解决；根据几个变量间的关系,符合某些方程的性质和特征(如利用根与系数的关系构造方程等),通过研究方程所具有的性质和特征解决。2.4 函数与方程思想在解题中的应用利用有关函数的性质，解决求值、不等式求解、方程求解、
6、确定参数的取值范围等问题，以及建立合理的函数关系式或者构造中间函数来研究问题，把要解决的问题转化成函数有关问题的探讨，这样就把实际问题转化成了函数问题，降低了问题的难度。函数与方程思想在解题中的应用一直是历年各地高考命题的热点内容。下面请看例题：例题 1: 对于一个函数 ，其定义域为 R，其函数图像为关于原点对称(对任意的 都满足) )(xfy x且在定义域上为减函数，当 02a时， 235)cosin)0fmfam恒成立，求解 的取m值范围。解题思路：本题考察通过三角函数的形式，考察了函数的单调性和奇偶性，同时还涵盖了二次函数及不等式的相关知识。根据题意 为关于原点对称，可知该函数是奇函数的
7、基本性质，从而推导)(xfy出 ，结合三角函数相关知识，可将上式整理为235(cosinma,通过移项可以得到 。再利用换元思想对1i)+m2sin+si340am该式进行重新构造（配方），最后可得 ，再次通过函数与方程思想，可进一2()340t步得到 ，从而转化为求 问题。此时，通2()340,1gtin(),1gtt过讨论参数 的范围结合二次函数的单调性求 的表达式，再通过解不等式从而求得 取值范min()gt m围。解： 原不等式可化为： (35)cosifmfa第 3 页(共 5 页 )又因为 ()yfx为奇函数，即 2(35)(cosin)fmfam又因为 在 上递减，故 R即 2s
8、insi40am对任意 0,2恒成立，令 si,0,2ta构造函数 2()3,1gttt，即 0,1恒成立。所以 min()0,gt2()4,tmt当 0时， ,()ygt在 递增，所以 min 4()030,3gt m0,1即 43当 时， 0,1m，所以 2min()340,1gt1即 当 时， ,()yt在 ,递减，所以 min()1,4gt m即 1综合 可知 4(,)3m注：本题也可以将参数 及含 的表达式各放一边，即 2(32sin)i4am恒成立。a2sin432sin0,0,32a，同样构造函数 (3sinha，转化为求 ()yh在 ,a上最小值问题。例题 1 主要是针对不等式
9、进行求解，该题涉及知识点较多，需要进行多次整理，才能将求解问题转化为函数问题。而在高中数学的学习中，学生会遇到无法用方程直接进行解答的问题，对于这种题型，也可考虑用函数与方程的思想求解。以例题 2 为例进行说明。例题 2:定义 满足条件: 25x，同时 x满足条件: (1)2log5x。求 12x的取值。1x解题思路：题目需要求解求 1和 2的值，需要用到方程求解，但分析题目所给条件后，无法直接得到对应的方程值，此时可考虑运用函数与方程思想进行题型变换。具体解决步骤为：首先将第 4 页(共 5 页 )25x定义为方程 1，通过等式两边同时减去 的方式将上式转化为 (1)52x，定义为方程2x(
10、1)；然后以相同的方法将另一满足条件 (1)log5定义为方程 2，再将其通过等式两侧同时减去 2x 进行转换，则转换过程及结果为 ()2lx，定义为方程(1)。通过对方程 a 和方程 b 进行分析，最后带入到相应的函数模式中，对方程(1)进行分析时，可将其视做函数 ()gx( 12x)与函 ()hx( 52x)在坐标轴相交中所产生交点 M 的横坐标数值；而对方程(2)的分析则可将其视做函数 k( (1)log)与函数 ()hx( 52x)在坐标轴相交中所产生交点 N 的横坐标数值。根据上述解题思路中的步骤分析，成功地将此题中方程求解问题转换为函数关系问题。然后，再将方程(1)和方程(2)中所
11、对应的 和 进行进一步的处理，其过程为:函数 是由 这一函()k ()gx2xy数向右侧平行移动一个单位所得到的函数；而函数 同是由 这一函数向右侧平行移动一个()kx2loxy单位所得到的函数，又因为 与 互为反函数，故他们关于 对称，所以函数 与2xy2logx ()g关于 对称。通过对函数图象的观察可以知道，MN 中点 G 即为函数 和函数()kx()1tx ()1t交点，通过联立方程组易求交点 ；因此可以进一步得出: 52h73(,)4G。1742xG解 : 依题意 (1)52xx （1）(1)(1)2loglogxx （2）令 1()x， (1)2)lxk， 5hx对方程（1）知，可
12、将其视做函数 g与函 在坐标轴相交中所产生交点 M 的横坐标数值；而对方程（2）则可将其视做函数 ()kx与函数 ()h在坐标轴相交中所产生交点 N 的横坐标数值.在直角坐标系中作 1()2xg， (1)2logx， 5x图像（如右图所示）。由函数图象易知，MN 中点 G 即转化为求函数 ()1tx和函数 5()2hx交点，联立方程组得：xM0yNG1()2xg(1)2logxk()1tx5()2hx第 5 页(共 5 页 )714532xyxy73(,)4G因此可以进一步得出: 122x。注:（2016 届高三皖南八校第三次联考理科第 12 题）已知 2(1)3,3,log6xxab ab分
13、 别 是 方 程 的 两 根 。 则 的 值 为 （ ）A.5 B.7 C.9 D.11 21(1)335,log5,1xx xtx解 析 ： 依 题 意 知 ： （ -） 令3 12125,log, ,=,tt ttab则 ： 设 两 方 程 的 分 别 为 其 中 =-+7B t结 合 三 个 函 数 的 图 象 及 对 称 性 可 知 ,所 以 故 选 选 项 。通过以上分析可以发现此题背景及方法与上面例题相同。3 总结在高中数学学习中，函数与方程思想是一种重要的解决问题的方法，无论是教师在教学过程中，还是学生在学习过程中，均应该重视函数与方程思想的应用。在应用过程中，应对题目已知条件进行深入的分析和挖掘，从而学会灵活解决抽象复杂的数学问题。函数与方程思想不仅可帮助学生解决数学问题，还锻炼了学生对事物进行全方位思考的能力，从而激发了学生的创造性思维，提高了学生分析问题和解决问题的能力。参考文献1刘佰秋. 函数与方程思想在普通高中教学中的实践研究D. 东北师范大学,2012.2侯青华. 高中数学中函数与方程思想的研究分析J. 高中数理化,2014,14:9.3欧阳可慧. 高中数学中函数与方程思想的研究J. 数学学习与研究,2014,21:83.4韩智明. 高中数学思想方法教学的若干研究D. 华中师范大学,2013.
