1、12011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题一、填空题（本题共 10 小题，满分 70 分，每小题 7 分要求直接将答案写在横线上）1 复数 44(i)(1i)2 已知直线 是圆 的一条对称轴，则实数0xmy2:450Cxy.3 某班共有 30 名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示） 4 已知 ，则 1cos4544sincos5 已知向量 a，b 满足 ，则以向量 与 表示的有向线段2,3ba2ab3为邻边的平行四边形的面积为 6 设数列 an的前 n 项和为 Sn若S n是首项及公比都为 2 的等比数列，则数列a n3的前n 项和等于
2、7 设函数 若 f(a)f(b) ，且 0ab，则 ab 的取值范围是 2()fx8 设 f(m)为数列 an中小于 m 的项的个数，其中 ，则 2,naN*(201)f9 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 10已知 m 是正整数，且方程 有整数解，则 m 所有可能的值2100xm是 2二、解答题（本大题共 4 小题，每小题 20 分，共 80 分）11已知圆 与抛物线 有公共点，求实数 h 的取值范围21xy2yxh12设 若 时， ，且 在区间 上的最大2()(,)fxbcR2x ()0fx ()fx2,3值为 1，求 的最大值和
3、最小值3AB CP13如图，P 是 内一点ABCV（1）若 P 是 的内心，证明： ；1902BPCBA（2）若 且 ，证明：P 是 的内心1902A BCV14已知 是实数，且存在正整数 n0，使得 为正有理数0证明：存在无穷多个正整数 n，使得 为有理数42011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评一、填空题（本题共 10 小题，满分 70 分，每小题 7 分要求直接将答案写在横线上）1 复数 44(i)(1i)答案：8基础题，送分题，高考难度2 已知直线 是圆 的一条对称轴，则实数10xmy2:450Cxy.答案： 32基础题，送分题，高考难度3 某班共有 30 名学生，若随机
4、抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示） 答案： 1945基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错4 已知 ，则 cos44sincos答案： 5计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度5 已知向量 a，b 满足 ，则以向量 与 表示的有向线段2,3ba2ab3为邻边的平行四边形的面积为 答案： 103可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案6 设数列 an的前 n 项和为 Sn若S n是首项及公比都为 2 的等比数列，则数列a n3的前n 项和等于 答案： 1(84)7高考难度级别，基础好的同学可以做出来
5、7 设函数 若 f(a)f(b) ，且 0ab，则 ab 的取值范围是 2()fx5答案：(0,2)这是一道高考题8 设 f(m)为数列 an中小于 m 的项的个数，其中 ，2,naN*则 201f答案：6这也是一道高考题9 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 答案：4 3还是一道高考题10已知 m 是正整数，且方程 有整数解，则 m 所有可能的值2100xm是 答案：3,14,30这是 2011 年苏州市一模的第十四题。二、解答题（本大题共 4 小题，每小题 20 分，共 80 分）11已知圆 与抛物线 有公共点，求实数 h 的取值范
6、围21xy2yxh解：设公共点（cos，sin ） ，代入抛物线方程，得 22 215sincosini(sin)4h因为 ，所以1,5,14h简单，很简单12设 若 时， ，且 在区间 上的最大2()(,)fxbcR2x ()0fx ()fx2,3值为 1，求 的最大值和最小值解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且 在区间 上的最大值只能在闭端点()f2,3取得，故有 ，从而 且 (2)31ff 5b 38cb若 有实根，则 ，()0fx240c在区间 有 即 消去 c，解出2,(),2,fb ,4,bc 4,5,b 即 ，这时 ，且 4bc06AB CP若 无实根，则 ，将 代入解得 (
7、)0fx240bc38b84b综上 54b 所以 ，单调递减222(38)10486cb故 minmax(),7c注重分类讨论13如图，P 是 内一点ABC（1）若 P 是 的内心，证明： ；1902BPCBA（2）若 且 ，证明：P 是 的内心1902A BCA证明：（1） 118()80()9022BC 这其实是平面几何一个很重要的结论，在一般的平面几何的参考书上都有14已知 是实数，且存在正整数 n0，使得 为正有理数07证明：存在无穷多个正整数 n，使得 为有理数证明：设 ，其中 p，q 为互质的正整数，则 0n20qnp设 k 为任意的正整数，构造 ，2nkq则 22 20 qnpkqpkpQ非常非常常规的一道数论题，不需要数论的预备知识总结：这张试卷大约 90 分以上应该可以出线了。一般说来，出线并不算太难，只要平时基础好，不粗心，填空题应该可以做满分（笔者错了一个） ，对于没有进行过竞赛辅导的同学来说，大题的 1、2 两题还是可以做做的。尤其提醒一点，大题目不管会不会做，一定要写写，写写总是有份的，而且分很多。比如最后一题，只要把他设出来，就有 8 分。
