1、-_2010 年考研数学一真题一、选择题（1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 ）(1)极限lim 2()(+)=(A)1 (B)(C) (D) 【考点】C。【解析】【方法一】这是一个“ ”型极限1lim 2()(+)=lim1+()+()(+)()(+)()+()+()(+)=【方法二】原式 =2()(+)而 2()(+)= (1+()+()(+)(等价无穷小代换)= ()+()(+)=则lim 2()(+)=【方法三】对于“ ”型极限可利用基本结论：1-_若 , ,且lim ()=0 lim ()=0 lim ()()=则 ,
2、求极限m(1+()()=由于lim()()=2()(+)()(+)=()2+()(+)=则lim 2()(+)=【方法四】lim 2()(+)=lim()(+)2 -=(1)(1+)=综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2)设函数 由方程 确定，其中 为可微函数，且=(,) (,)=0 ,则 。20 +=(A) (B) (C) (D) 【答案】B 。【解析】因为 ,=1(2)+2(2)21 =1+22=1121=12-_所以+=1+22 12=22=综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】高等数学多元函数微
3、分学多元函数的偏导数和全微分(3)设 为正整数，则反常积分 的收敛性, 102(1) (A)仅与 的取值有关 (B)仅与 的取值有关 (C)与 的取值都有关 (D)与 的取值都无关, ,【答案】D。【解析】本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在和 时无界0+ 1-102(1) =1202(1) +1122(1) 在反常积分 中，被积函数只在 时无界。1202(1) 0+由于 ，2(1) 0lim0+2(1)1=0已知反常积分 收敛，则 也收敛。1201 1202(1) 在反常积分 中，被积函数只在 时无界，由于1122(1) 1-_2(1) 0(洛必达法则)lim1-2(1)11
4、= 1-2(1)(1)12=0且反常积分 收敛，所以 收敛112dx1 1122(1) 综上所述，无论 取任何正整数，反常积分 收敛。, 102(1) 综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学一元函数积分学反常积分(4)lim=1 =1 (+)(2+2)=(A) (B)100 1(1+)(1+2) 100 1(1+)(1+)(C) (D)1010 1(1+)(1+) 1010 1(1+)(1+2)【答案】D。【解析】因为lim=1 =1 (+)(2+2)=lim=1 =1 (1+)2(1+()2)=lim=1 =1 1(1+)(1+()2)12=1010 1(1+)(1+2)综上所述，本
5、题正确答案是 C。【考点】高等数学多元函数积分学二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(5)设 为 矩阵， 为 矩阵， 为 阶单位矩阵，若 n -_,则=(A)秩 秩 (B)秩 秩()=,()= ()=,()=(C)秩 秩 (D)秩 秩()=,()= ()=,()=【答案】A。【解析】因为 为 阶单位矩阵，知= ()=又因 ,故()(),()(),()另一方面， 为 矩阵， 为 矩阵，又有 n(),()可得秩 秩()=,()=综上所述，本题正确答案是 A。【考点】线性代数矩阵矩阵的秩(6)设 为 4 阶实对称矩阵，且 ，若 的秩为 3，则 相似 2+=0 于(A) (B)1 1 1 0 1
6、 1 1 0(C) (D)1 1 1 0 1 1 1 0【答案】D。【解析】由 知 ，那么对于 推出来=,0 = 2+=0-_(2+)=02+=0所以 的特征值只能是 0、 -1再由 是实对称矩阵必有 ，而 是 的特征值，那么由 ,可知 D 正确()=3综上所述，本题正确答案是 D。【考点】线性代数特征值与特征向量实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵(7)设随机变量 的分布函数 ,则()= 0, 1. =1=(A)0 (B)12(C) (D)121 11【答案】C。【解析】=1=(1)(10)=1112=121综上所述，本题正确答案是 C。【考点】概率论与数理统计随机变量及其分布随机变
7、量分布函数的概念及其性质(8)设 为标准正太分布的概率密度， 为 上均匀分布1() 2()1,3得概率密度，若f()=1(), 0,2(), 0,(0,0)为概率密度，则 应满足,-_(A) (B)2+3=4 3+2=4(C) (D)+=1 +=2【答案】A。【解析】根据密度函数的性质1=+-()=0-1()+0 2()=0-1()+0 2()为标准正态分布的概率密度，其对称中心在 处，故1() =00-1()=12为 上均匀分布的概率密度函数，即2() 1,32()=14， -130， 其他 +0 2()=3014=34所以 ,可得1=12+34 2+3=4综上所述，本题正确答案是 A。【考
8、点】概率论与数理统计随机变量及其分布连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的分布二、填空题（9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分。 ）(9)设 ，则 。=,=0(1+2) 22|=0=-_【答案】 。0【解析】【方法一】=()()=(1+2) =(1+2)22=n(1+2) 1()=2 21+2+ln(1+2)则 ，22|=0=10+0=0【方法二】由参数方程求导公式知，22|=0=(0)(0)(0)(0)(0)3()=,()=,(0)=1,(0)=1()=n(1+2),()= 21+2,(0)=0,(0)=0代入上式可得 。22|=0=0【方法三】由 得， ，则= =-0 (1+2)
9、=1(1+2)22=12n(1+2) 21+2-_当 时 ，则=0 =1 22|=0=0综上所述，本题正确答案是 。0【考点】高等数学一元函数微分学基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(10) 。20 =【答案】 。-4【解析】令 ,则= =2,=220 =022=202=22|0-40t=4|040=4综上所述，本题正确答案是 。4【考点】高等数学一元函数积分学基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(11)已知曲线 的方程为 起点是 终点是 =1|,1,1, (1,0),，则曲线积分 。(1,0) +2=【答案】 。0【解析】如图所示 ,其中=1+2,1:=1+,(10)2:=1,(01)所以 +2= 1+2+ 2+2-_=0-1(1+)+2+10(1+)2=0-122+1022=0综上所述，本题正确答案是 。0【考点】高等数学多元函数积分学两类曲线积分的概念、性质及计算(12)设 ，则 的形心坐标 。=(,)|2+21 =【答案】 。23【解析】= =201012201012=2010(1242)2=20(24612)|1021 2-1 O 1
