1、-_2014 年 4 月全国 100 所名校单元测试示范卷数学（二）函数的概念及其性质（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1函数 y=|x-1|+1 的图象的对称轴方程为（ ）Ax=1 Bx=-1 Cy=1 Dy=-12函数 y= （a0）的定义域为（ ）2aA0， +） B（ 0，+ ）C0 D以上答案都不对3直角梯形 ABCD 如图 1，动点 P 从点 B 出发，由 BCDA 沿边运动，设点 P 运动的路程为 x， ABP 的面积为 f（x）如果函数 y=f（x）的图象如图 2 所示，则ABC 的面
2、积为（ ）A10 B32 C18 D164已知函数 f（x）= 是（- ，+）上的增函数，则实数 a 的取值范围是(2)4,1,ax（ ）A（0， ）13B ，2）13C（ -1，0） D（-1 ，2）5若 f（x）=x 2+ax+b-3，xR 的图象恒过（2，0 ），则 a2+b2 的最小值为（ ）A5 B4 C 14D 15-_6已知函数 f（x）= ，g（x ）=x 3，则 f（ x）g（x）的奇偶性为（ ）1,0A是奇函数不是偶函数 B是偶函数不是奇函数C是奇函数也是偶函数 D不是奇函数也不是偶函数7已知图甲为函数 y=f（ x）的图象，则图乙中的图象对应的函数可能为（ ）Ay=|f（
3、x）| By=f（|x|） Cy=f（-| x|） Dy=-f（-|x|）8已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，g（x）是定义在 R 上的奇函数，且 g（x ）=f（x-1）则 f（2011）+f（2013）的值为（ ）A-1 B1 C0 D无法计算9某商店已按每件 80 元的成本购进某种上装 1000 件，根据市场预测，当每件售价 100 元时可全部售完，若定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件，若要获得最大利润，则销售价应定为（ ）A110 元 B130 元 C150 元 D190 元10定义在 R 上的偶函数 f（x），满足 f（x+1 ）=-f（x），且在区间-1，0上为递增，则
4、（ ）Af (3) f( ) f(2) Bf (2) f(3) f( )2Cf (3) f(2) f( ) Df ( ) f(2) f(3)11已知函数 f（x）和 g（x ）均为奇函数，h（x）=af （x ）+bg（x）+2 在区间（0，+）上有最大值 5，那么 h（x ）在（ -，0）上的最小值为（ ）A-5 B-1 C-3 D512已知定义在实数 R 上的函数 y=f（x）不恒为零，同时满足 f（x +y）=f（x）f（y），且当 x0 时， f（x ）1，那么当 x0 时，一定有（ ）Af（x） -1 B-1f（x）0 Cf（ x）1 D0f（x） 1-_二、填空题：本大题共 4 小
5、题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上.13已知函数 f（x）= 是（- ，+ ）上的奇函数，则 g（-1）= 23,0()xg14已知函数 f（x）=x 2+2x+4若 x1+x2=0 且 x1x 2，则 f（x 1）与 f（x 2）的大小关系是 15已知函数 f（x）=x 2-2x+a，x0，3的任意三个不同的函数值总可以作为一个三角形的三边长，则实数 a 的取值范围 16设函数 f（x）=|x |x+bx+c，给出下列 4 个命题：b=0， c0 时，方程 f（ x）=0 只有一个实数根；c=0 时，y=f（x）是奇函数；y=f（ x）的图象关于点（ 0，c）对称；函数
6、 f（x）至多有 2 个零点。上述命题中的所有正确命题的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17已知函数 f（x）=a x2+bx+c（a0 ）的图象过点 A（0，1）和 B（-1，0），且 b2-4a0（1）求 f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当 x-2 ，2时，g（x）= f（x）-kx 是单调函数，求实数 k 的取值范围18已知定义在区间0，1上的两个函数 f（x ）和 g（x），其中 f（x）=x 2-ax+2（a0），g（x）= 21（1）求函数 f（x）的最小值 m（a）；（2）若对任意 x1，x 20 ，1
7、，f（x 2）g（x 1）恒成立，求 a 的取值范围-_19函数 f（x）= （ a 为常数）12（1）若 a=1，证明：f（x）在（-2，+）上为单调递增函数；（2）若 a0 ，且当 x（ -1，2）时，f（x）的值域为（ - ，3），求 a 的值420已知函数 f（x）=x|x -m|+2x-3（mR）（1）若 m=4，求函数 y=f（x）在区间1，5的值域；（2）若函数 y=f（x ）在 R 上为增函数，求 m 的取值范围21已知函数 f（x）= （a，cR ，bN ，a0，b0）是奇函数，在区间21xb（0，+）上，函数有最小值 2，且 f（1） 5（1）求 f（x）的解析式（2）函数
8、 f（x）图象上是否存在两点关于点（1，0）对称？若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由-_22对于定义域为 D 的函数 y=f（x ），若同时满足：f（x）在 D 内单调递增或单调递减；存在区间a，bD，使 f（x）在a，b上的值域为a，b那么把函数 y=f（x）（xD ）叫做“同族函数 ”（1）求“同族函数 ”y=x2（x0）符合条件的区间 a，b（2）是否存在实数 k，使函数 y=k+ 是“ 同族函数” ？若存在，求实数 k 的取值范围；2x若不存在，请说明理由-_2014 年 4 月全国 100 所名校单元测试示范卷数学（二）函数的概念及其性质（理科）答案1、解：把函数 y=|x
9、|的图象向右平移 1 个单位、再向上平移 1 个单位，可得 y=|x-1|+1 的图象，函数 y=|x|为偶函数，其图象关于 y 轴对称，即对称轴方程为 x=0，函数 y=|x-1|+1 的图象关于 x=1 对称，函数 y=|x-1|+1 的对称轴为 x=1， 故选：A 2、解：由 a2x0，且 a20，解得 x0，函数 y= 的定义域为x|x0=0，+ ） 故选：A x3、解：由题意知，BC=4，CD=5，AD=5过 D 作 DGABAG=3，由此可求出 AB=3+5=8SABC = ABBC= 84=1612故选 D4、解：由已知条件得， ；205a a 2；13实数 a 的取值范围是 ，
10、 2）故选 B135、解：把（2，0）代入二次函数解析式得：4+2a+b-3=0，即 2a+b=-1，解得：b=-1-2a，则 a2+b2=a2+（-1-2a） 2=5a2+4a+1=5（a+ ） 2+ ，51所以当 a=- ，b=- 时，a 2+b2 的最小值为 故选 D516、解：f（x）g （x）= ，若 x0，则- x0，3,x则 f（- x）=-（-x ） 3=x3=f（x），若 x0，则- x0，则 f（-x）=（- x） 3=-x3=f（x），故函数为偶函数不是奇函数， 故选：B-_7、解：比较图甲与图乙中两个函数的图象，x0 时，函数图象与原函数图象相同，只有 B符合，观察图乙
11、中函数的图象，图象关于 y 轴对称，故图乙中的图象对应的函数为偶函数，选项B 仍符合， 故选：B8、解：f（-x -1）=g（-x）=-g （x）=- f（x-1），又 f（x）为偶函数f（x+1）=f- （x +1）=f（-x -1），于是 f（x+1） =-f（x-1）f（x+1）+f（x-1 ）=0 f（2011）+f（2013）=f（2012-1）+f（2012+1）=0， 故选 C9、解：假设提高售价 x 元，获得总利润 y 元由题意得，y=（20+ x）（1000-5x）-805x=-5x 2+500x+20000（0x200，xN）对称轴 x=50 当 x=50 即售价定为 15
12、0 元时，利润最大；ymax=-52500+50050+20000=32500售价定为 150 元时，利润最大 故选 C10、解：因为 f（x+1）=-f（x），所以 f（x+2）=-f（x +1）=- f（x ）= f（x）所以 f（ x）是以 2 为周期的函数又 f（x）为偶函数，且在-1 ，0上递增，所以 f（x）在0 ，1上递减，又 2 为周期，所以 f（x）在1，2 上递增，在2 ，3上递减，故 f（2）最大，又 f（x）关于 x=2 对称，且 离 2 近，所以 f（ ）f（3），故选 A211、解：令 F（x）=h（x）-2=a f（x ）+bg（x），则 F（x）为奇函数x（0，
13、+）时，h（ x）5，x（0，+）时，F （ x）=h（x）-23又 x（-，0）时，-x（0，+ ），F（-x）3-F（x ）3F（x）-3h（x）-3+2=-1 ， 故选 B-_12、解：对任意 x，yR，恒有 f（x+y ）=f（x）f（y），可令 x=1，y=0 可得 f（0+1）= f（0）f（1）因为当 x0 时，f （x ）1，故 f（1）10所以 f（0）=1再取 x=-y，可得 f（0）= f（-y+y ）=f（-y）f（y）=1所以 f（-y）= ，同理得 f（- x）= ，1()fy1()f当 x0 时， -x0，根据已知条件得 f（-x）1，即 1()fx变形得 0f（
14、x）1； 故选 D13、解：由题意 g（-1）=f（-1 ）=-f（1）=（21-3）=1，故答案为：114、解：根据题意，x 1=-x2，x 20；f（x 1）-f （x 2）=x 22-2x2+4-x22-2x2-4=-4x2 0；f（x 1）f（x 2）故答案为：f（x 1）f（x 2）15、解：由 f（x）=x 2-2x+a=（x-1） 2+a-1，x0， 3，得到 f（x）的最大值为 f（3）= a+3，最小值为 f（1）= a-1，由题意可知：2（a-1）a+3，解得 a5则实数 a 的取值范围是 a5 故答案为：a516、解：、当 b=0，c 0 时，f（x）=|x|x+c= ，
15、结合图形知 f（x）=0 只有一个实2xc数根，故正确；、当 c=0 时，f（x）=| x|x+bx，有 f（- x）=-f（x） =-|x|x-bx，故 y=f（x ）是奇函数，故正确；、y= f（x ）的图象可由奇函数 f（x）=|x|x+bx ，向上或向下平移 |c|而得到，y=f （x ）的图象与 y 轴交点为（0，c），故函数 y=f（x）的图象关于（0，c）对称，故正确；、举例可得，方程| x|x-5x+6=0 有三个解-6、2、3 ，即三个零点，故错误；故答案为17、解：（1）由题设得：f（0）=c=1，f（-1 ）=a-b+1=0，b=a+1；-_代入 b2-4a0，得（a+1
16、） 2-4a0，即（a-1 ） 20，解得 a=1，b=2；所以 f（x）=x 2+2x+1；（2）g（x） =f（x）-kx =x2+2x+1-kx=x2+（2-k）x +1；因为当 x-2，2时，g（x）=f（x ）-kx 是单调函数；所以- -2 或- 2；kk解得，k-2 ，或 k6；实数 k 的取值范围是（-，-26，+ ）18、解：（1）由 f（x）= （x- ） 2+2- 得 m（ a）= a42,043a（2）令 0x 0 1，则 g（x 0）-g（ ）= ，020000()11(xxxx 0 ，x 0- 0， 0，00()1(xx即 g（x 0） g（ ），0函数 g（x）在
17、0，1 上为增函数，值域为0， ，12由题设，得 f（x 2） ming （x 1） max，故 或 ，解得 0a，2014a 3a所求 a 的取值范围为 0， ）5219、解：（1）证明：若 a=1，则 f（x）= ，12设任意 x1，x 2（-2，+），且 x1x 2，则f（x 1）- f（x 2）= = ，12211()()x12()x因为 x1+20，x 2+20，且 x1-x20，-_则 f（x 1）-f （ x2）0，即 f（x 1）f（x 2），所以 f（x）在（-2 ，+）上是增函数（2）若 a0 ，且当 x（ -1，2）时，同理可证明 f（x）在（-1，2）上为减函数，所以
18、f（2）f（x）f（-1），即 f（x）1- a14a因为当 x（ -1，2）时， f（x ）的值域为（- ，3），4所以 解得 a=-2134a20、解：（1）f（x）=x|x-4|+2x-3= = （ 6 分）23()64xx 2(1)4()3xx1，5f（x）在1 ，3上递增，在 3，4上递减，在4 ，5 上递增f（1）=2 ， f（3）=6 ， f（4）=5，f（5）=12，f（x）的值域为2 ，12（ 10 分）（2）f（x）=x|x -m|+2x-3=2(,)3()xm=22()3()()mxx因为 f（x）在 R 上为增函数，所以 -2m 2 （15 分）221、 解：（1）因为函数 f（x）= 是奇函数，21abc所以 f（- x）=-f（x），即 ，化简得 c=022x
