1、#*绝密启封并使用完毕前2017 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理） （北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 A=x|2x1，B=x| x1 或 x3，则 AB=（A）x| 2x1 （B） x|2x3（C）x|1x1 （D） x|1x3（2）若复数（1i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（A）(，1)（
2、B）(，1)（C）(1，+)（D）(1，+)（3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（A）2（B）3#*（C） 53（D） 8（4）若 x，y 满足 ，则 x + 2y 的最大值为（A）1 （B）3 （C）5 （D）9（5）已知函数 1(x)3xf，则 ()f（A）是奇函数，且在 R 上是增函数（B）是偶函数，且在 R 上是增函数（C）是奇函数，且在 R 上是减函数（D）是偶函数，且在 R 上是减函数（6）设 m,n 为非零向量，则 “存在负数 ，使得 mn”是“ 0 ”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所
3、示，则该四棱锥的最长棱的长度为#*（A）3 2（B）2（C）2（D）2（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 .则下列各数中与 N最接近的是（参考数据：lg30.48）（A）10 33 （B）10 53（C）10 73 （D）10 93第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）若双曲线21yxm的离心率为 3，则实数 m=_.（10）若等差数列 na和等比数列 nb满足 a1=b1=1，a 4=b4=8，则 2a=_.（11）在极坐标系中，点 A 在圆 2cosin0，点 P 的
4、坐标为(1,0)，则|AP| 的最小值为 .（12）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称。若 1sin3，cos()= .（13）能够说明“设 a，b，c 是任意实数.若 abc，则 a+bc”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次#*为_.（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai 的横、纵坐标分别为第 i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi 的横、纵坐标学科&网分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。记 Q1 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q 2，Q
5、 3 中最大的是_。记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1，p 2，p 3 中最大的是_。三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）在ABC 中， A =60，c = 37 a.（）求 sinC 的值；（）若 a=7,求ABC 的面积 .（16） （本小题 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD/平面 MAC,PA=PD= 6,AB=4.(I)求证： M 为 PB 的中点；(II)求二面角 B-PD-A 的大小
6、；(III)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正炫值。#*（17） （本小题 13 分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组个 50 名，一组服药，另一组不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标 xy 和的学科.网数据，并制成下图，其中“”表示服药者， “+”表示为服药者.（）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；（）从图中 A,B,C,D,四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求 的分布列和数学期望 E（ ） ；（）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y
7、 数据的方差的大小.（只需写出结论）（18） （本小题 14 分）已知抛物线 C：y 2=2px 过点 P(1,1).过点(0, 12)作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M,N，过点 M 作 x轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A,B，其中 O 为原点 .（）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A 为线段 BM 的中点.（19） （本小题 13 分）已知函数 f(x)=excosxx.（）求曲线 y= f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；（）求函数 f(x)在区间0, 2上的最大值和最小值.（20）（本小题 13 分）设a n和 bn是两个等差数列，记c
8、n=maxb1a1n,b2a2n,bnann(n=1,2,3,)，#*其中 maxx1,x2,xs表示 x1,x2,xs 这 s 个数中最大的数（）若 an=n，b n=2n1，求 c1,c2,c3 的值，并证明c n是等差数列；（）证明：或者对任意正数 M，存在正整数 m，当 nm 时，ncM；或者存在正整数 m，使得cm,cm+1,cm+2,是等差数列2017 年北京高考数学（理科）参考答案与解析1A【解析】集合 与集合 的公共部分为 ，故选 A|21x|13Bx|21x2B【解析】 ， 对应的点在第二象限， 解得：(1i)(1)iaa10a1a故选 B3C【解析】当 时， 成立，进入循环
9、，此时 ， ；0k31k2s当 时， 成立，继续循环，此时 ， ；13当 时， 成立，继续循环，此时 ， ；2k3k5s当 时， 不成立，循环结束，输出 故选 C4D【解析】设 ，则 ，由下图可行域分析可知，在 处取得最大值，代入可得2zxy12zx 3，故选 Dma9#*5A【解析】奇偶性： 的定义域是 ，关于原点对称，fxR由 可得 为奇函数133xxxf fxf单调性：函数 是 上的增函数，函数 是 上的减函数，根据单调性的运算，增函xyR13xyR数减去减函数所得新函数是增函数，即 是 上的增函数综上选 A=xxf6A【解析】由于 ， 是非零向量， “存在负数 ，使得 ”根据向量共线基
10、本定理可知 与 共线，由mnmnmn于 ，所以 与 方向相反，从而有 ，所以是充分条件。反之，若 ， 与0 00方向相反或夹角为钝角时， 与 可能不共线，所以不是必要条件。综上所述，可知 ”nn n是“ ”的充分不必要条件，所以选 A7B【解析】如下图所示，在四棱锥 中，最长的棱为 ，PBCDP所以 ，故选 B222=()3PAC#*8D【解析】由于 ，36180lglgllg361.48093.2MN=所以 ，故选 D93.28109 2【解析】双曲线的离心率为 33ca 2 ， ，1abm22abc 2231c10【解析】 是等差数列， ， ，na1a48公差 3d 21 为等比数列， ，
11、nb1b48公比 2q 21b故 2a111【解析】把圆 改写为直角坐标方程 ，化简为2cos4in0240xy，它是以 为圆心，1 为半径的圆。画出图形，连结圆心 与点 ，交圆2()()1xy,2 OP#*于点 ，此时 取最小值， 点坐标为 ， APA1,1APO(1,2)P(1,0)A(1,)21yx1279【解析】因为角 和角 的终边关于 轴对称y ，1sin3cos coin2227sinsi1913 ， ，13【解析】由题意知 ， ， 均小于 ，所以找到任意一组负整数，满足题意即可abc014 1Q2p【解析】设线段 的中点为 ，则 ，其中 iABiiCxy2iiQy123i因此只需比较 ， ， 三个点纵坐标的大小即可123由题意， ， ，故只需比较三条直线 ， ， 的斜率即可iiypx 1OC2315【解析】 （1）37ca由正弦定理得：33sini7214CA（2）37ca60A#*为锐角C由 得：3sin1413cos4C()in()BAi332147又3ca1sin2ABCS437616【解析】 （1）取 、 交点为 ，连结 ACBDNM 面P面面 面BD MACNP在 中， 为 中点 B 为 中点M（2）方法一：取 中点为 ， 中点为 ，连结 ，ADOBCEOPE ，PAD又面 面面 面A BC 面POD
