1、第 1 页 共 23 页2019 届广西柳州市高三 1 月模拟考试数学（理）试题一、单选题1已知集合 ，则 （ ）A B C D【答案】A【解析】求出直线 与 的交点，即可得到答案。【详解】由题意 ，解得 ， ，故 .故答案为 A.【点睛】本题考查了集合的交集，两直线的交点，属于基础题。2已知复数 与 为共轭复数，其中 ， 为虚数单位，则 （ ）A 1 B C D【答案】D【解析】由共轭复数的概念可以得到 ，解方程即可得到 ，进而可以求出 .【详解】由题意得， ，解得 ， ，则 ， .故答案为 D.【点睛】本题考查了共轭复数的知识，考查了复数的模，属于基础题。3关于函数 ，下列叙述正确的是（
2、）A关于直线 对称 B关于点 对称C最小正周期 D图象可由 的图像向左平移 个单位得到【答案】C第 2 页 共 23 页【解析】由辅助角公式可得 ，然后将 代入可排除 A、B，由 可判断 C 正确，将 的图像进行平移变换即可判断 D 错误。【详解】由题意， ，当 时， ，不等于最值，也不等于 0，故 A、B 都不正确， ，选项 C 正确， 的图像向左平移 个单位得到 ,故选项 D 不正确。答案为 C.【点睛】本题考查了三角函数的化简，考查了三角函数的对称轴、对称中心、周期，以及三角函数的平移变换，属于基础题。4某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高（cm ）体重（kg）给出两个回归
3、方程：（1） （2）通过计算，得到它们的相关指数分别为 ，则拟合效果最好的回归方程是（ ）A BC两个一样好 D无法判断【答案】A【解析】两个变量 的回归模型中，它们的相关指数 越接近 1，这个模型的模拟效果越好，比较 、 ，即可得到答案。【详解】第 3 页 共 23 页因为两个变量 的回归模型中，它们的相关指数 越接近 1，这个模型的模拟效果越好，所以 更好。【点睛】本题考查了相关指数的知识，根据所给的相关指数判断模型的模拟效果，属于基础题。5设方程 的根为 表示不超过 的最大整数，则 =（ ）A B C D【答案】B【解析】构造函数 ，则它的零点为 ，结合 的单调性即可判断的取值范围，从而
4、得到答案。【详解】构造函数 ，由于函数 与 在定义域上都是单调递增函数，故 在定义域上单调递增，由 ， ，则函数 的零点在（2，3）之间，故 ， ，故选 B.【点睛】本题考查了函数零点问题，考查了函数的单调性，考查了对数函数的性质，属于基础题。6在区间 内任取两个实数 与 ，则满足 的概率等于（ ）A B C D【答案】B【解析】点 在边长为 1 的正方形内部（含边缘） ，满足 的点在图中阴影部分，运用定积分方法即可求出阴影部分面积，然后利用几何概型的概率公式即可得到答案。【详解】由题意，点 在边长为 1 的正方形内部（含边缘） ，正方形面积为 1，满足 的点第 4 页 共 23 页在图中阴影
5、部分，阴影部分面积为 ，则 .【点睛】本题考查了利用定积分求几何图形面积，考查了利用几何概型求概率，属于基础题。7已知数列 的首项为 ，第 2 项为 ，前 项和为 ，当整数 时，恒成立，则 等于（ ）A B C D【答案】D【解析】由 ，可以得到 ，从而可以证明 是等差数列，即可求出 .【详解】由题意， 时， ，则 ，即 ，又 ，故数列 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， ，.故答案为 D.【点睛】本题考查了由递推关系证明等差数列，考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了计算能力，属于中档题。8如图，网格纸上正方形小格边长为 ，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（
6、）第 5 页 共 23 页ABCD【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，作出图形即可求出表面积。【详解】该几何体为四棱锥 ，如图.选 C.【点睛】本题考查了三视图，考查了四棱锥的表面积，考查了学生的空间想象能力与计算能力，属于基础题。9某公司每月都要把货物从甲地运往乙地，货运车有大型货车和小型货车两种。已知台大型货车与 台小型货车的运费之和少于 万元，而 台大型货车与 台小型货车的运费之和多于 万元.则 台大型货车的运费与 台小型货车的运费比较（ ）A 台大型货车运费贵 B 台小型货车运费贵C二者运费相同 D无法确定【答案】A【解析】设大型货车每台运费 万元，小车每台运费 万元，
7、可得到 ，利用线性规划知识，得到目标函数 过 时， 最小，从而可判断 最小为 0，即可得出答案。第 6 页 共 23 页【详解】设大型货车每台运费 万元，小车每台运费 万元，依题意得过 时， 最小.，即 ，选 A.【点睛】用线性规划的方法来解决实际问题：先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型，画出表示的区域。10已知点 是抛物线 上的动点，以点 为圆心的圆被 轴截得的弦长为 ，则该圆被 轴截得的弦长的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】先设出圆心坐标 ，然后由圆被 轴截得的弦长为 可以表示出半径，进而可以表示出
8、圆的方程，然后可以将该圆被 轴截得的弦长的表达式表示出来，进而求最小值即可。【详解】设圆心 ，而 ，第 7 页 共 23 页圆 的方程为： ，当 时，得.故选 D.【点睛】求圆的弦长的常用方法：几何法：设圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则r 2d 2； 代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB| |x1x 2|.11已知 三点都在表面积为 的球 的表面上，若 .则球内的三棱锥 的体积的最大值为（ ）A B C D【答案】C【解析】先求出外接球的半径 ， 的外接圆半径 ，即可求出球心 到平面 的距离 ，然后利用余弦定理及基本不等式可以得到 ，从而可以求出 面积的最大值，即可求出三棱锥
9、 体积的最大值 .【详解】，在 中， 球心 到平面 的距离 ，设 的角 所对的边分别为 ，由，得 （当且仅当 时取“=” ） ，即， ，故三棱锥 体积的最大值为 ，选 C.【点睛】本题考查了外接球问题，考查了球的表面积，考查了解三角形知识，考查了利用基本第 8 页 共 23 页不等式求最值，考查了计算能力，属于中档题。12若关于 的不等式 的解集为 ，且 内只有一个整数，则实数 的取值范围是（ ）A BC D【答案】D【解析】不等式可化为 ，从而构造函数 ，求导可判断函数 的单调性，进而画出函数 的图象，利用数形结合即可求出 的取值范围。【详解】不等式 ，即 ，令 ， ， ， 过点 ，当 时，
10、 ，当 时， 为增函数，当 时， 为减函数，则 的最小值为 ，记 ， ，记 ，因为 ，所以当 时，不等式在 内只有一个整数解为 ，满足题意。故选 D.第 9 页 共 23 页【点睛】本题考查了不等式，通过构造函数并判断函数单调性，利用数形结合思想是解决本题的关键，属于难题。二、填空题13已知向量 与 是互相垂直的单位向量，设 ，若 ，则实数 的值为_.【答案】【解析】由 得 ，代入计算即可。【详解】由题意， ， ，则 ，所以 .【点睛】本题考查了向量垂直的性质，考查了向量的数量积，属于基础题。14设 ，则 的展开式中的常数项为_.（用数字填写）【答案】【解析】由定积分可以求出 ，然后写出二项展
11、开式的通项，即可求出常数项的值。【详解】第 10 页 共 23 页，则 ，展开式的通项为，当 时得到常数项为 ，故答案为 60.【点睛】本题考查了定积分的计算，考查了二项式定理的运用，考查了计算能力，属于基础题。15已知双曲线 的离心率为 ，左焦点为 ，点（ 为半焦距）. 是双曲线 的右支上的动点，且 的最小值为 .则双曲线 的方程为_.【答案】【解析】由 ，可知 ，而 的最小值为，结合离心率为 2，联立计算即可。【详解】设双曲线右焦点为 ，则 ，所以 ，而的最小值为 ，所以 最小值为 ，又 ，解得 ，于是 ，故双曲线方程为 .【点睛】本题考查了双曲线的方程，双曲线的定义，及双曲线的离心率，考查了计算能力，属于中档题。16已知点 在函数 的图象上（ ）. 数列 的前 项和为 ，设，数列 的前 项和为 .则 的最小值为 _【答案】【解析】先求出等比数列 的通项公式，代入 ，即可得到等差数列
