1、#*2019年中考数学题型专项研究第 8讲：平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质1简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题2四边形动态问题旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠( 翻折) 、轴对称解答最值问题3平行四边形的存在性问题4四边形与二次函数的综合题1折叠、轴对称及特殊平行四边形的性质应用出错2平行四边形的存在性问题中解有遗漏3很难解答四边形与二次函数的综合题，无从下手1四边形是几何知识中非常重要的一块内容，因其“变化多端”更是成为中考数学考试的一个热门考点近几年随着新课改的不断深入，中考题更加考查学生思维能力，如出现一些图形折叠、翻转等问
2、题这类问题的实践性强，要利用图形变化前后线段、角的对应相等关系，构造一些特殊三角形等知识来求解2中考还常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查，这类题目不仅仅把“数”与“形”联系起来思考，更提高同学们综合运用知识的能力数形结合题目可以考查学生对“新事物”“新知识”的接受和理解能力，也考查学生运用所学知识来解决“新事物”“新知识”的能力#*3四边形作为特殊的四边形，一直是中考试题中的主角尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方
3、程等数学思想1简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题：平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用：(1)求角的度数；(2)求线段的长；(3)求周长；(4) 求第三边的取值范围2四边形动态问题旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠( 翻折) 、轴对称解答最值问题：有关矩形纸片折叠的问题，通过动手操作去发现解决问题的方法其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形，利用勾股定理来求解折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向( 反方向 )，(2) 转化与化归思想； (3)归纳与分类的思想；(4)
4、 从变寻不变性的思想3综合了函数知识后动态研究平行四边形的存在性问题：此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想学生在处理问题的时候，往往不能正确分类，导致漏解此外，在解题时一般需要添设辅助线，利用平行四边形的性质，转化为全等进行计算，学生顺利完成的难度就更大如何才能让他们有目的的进行分类、简单明了的给出解答，从而减轻学习负担呢？借助平行四边形的对角线性质，来探究平行四边形的存在性#*问题就是一个很好的途径4四边形与二次函数的综合题是压轴题：综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平
5、面直角坐标系，一元二次方程，轴对称翻折，最值问题读懂题目、准确作图、熟悉二次函数及其图象是解题的关键解决压轴题关键是找准切入点，如添辅助线，构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息，等等压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高，除了要熟知各类知识外，平时要多练，提高知识运用和转化的能力【典例解析】【例题 1】（2017 广西河池）如图，在ABCD 中，用直尺和圆规作 BAD 的平分线 AG，若 AD=5，DE=6，则 AG 的长是（ ）A6 B8 C10 D12【考点】N2：作图基本作图； L5：平行四
6、边形的性质【分析】连接 EG，由作图可知 AD=AE，根据等腰三角形的性质可知 AG 是 DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出 CDAB，故可得出2=3，据此可知 AD=DG，由等腰三角形的性质可知 OA= AG，利用勾股定理求出 OA 的长即可【解答】解：连接 EG，由作图可知 AD=AE，AG 是BAD 的平分线，1=2，AGDE，OD= DE=3四边形 ABCD 是平行四边形，CDAB，#*2=3，1=3，AD=DGAGDE，OA= AG在 RtAOD 中，OA= = =4，AG=2AO=8 故选 B【例题 2】（2017 江苏徐州）如图，在ABCD 中，点 O 是边 BC 的中点
7、，连接DO 并延长，交 AB 延长线于点 E，连接 BD，EC （1）求证：四边形 BECD 是平行四边形；（2）若A=50，则当BOD= 100 时，四边形 BECD 是矩形【考点】LC：矩形的判定；L7 ：平行四边形的判定与性质【分析】 （1）由 AAS 证明BOECOD，得出 OE=OD，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出BCD=A=50，由三角形的外角性质求出ODC=BCD，得出 OC=OD，证出 DE=BC，即可得出结论【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 为平行四边形，ABDC，AB=CD，#*OEB=ODC ，又O 为 BC 的中点，BO=CO，在BOE 和COD 中，
8、 ，BOECOD（AAS） ；OE=OD，四边形 BECD 是平行四边形；（2）解：若A=50，则当BOD=100时，四边形 BECD 是矩形理由如下：四边形 ABCD 是平行四边形，BCD=A=50，BOD=BCD+ODC，ODC=10050=50=BCD，OC=OD，BO=CO，OD=OE，DE=BC，四边形 BECD 是平行四边形，四边形 BECD 是矩形；故答案为：100【例题 3】定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形（1）如图 1，等腰直角四边形 ABCD，AB=BC，ABC=90，若 AB=CD=1，ABCD，求对角线 BD 的长若 ACBD，求证
9、：AD=CD，（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=9，点 P 是对角线 BD 上一点，且BP=2PD，过点 P 作直线分别交边 AD，BC 于点 E，F，使四边形 ABFE 是等腰直#*角四边形，求 AE 的长【考点】LO ：四边形综合题【分析】 （1）只要证明四边形 ABCD 是正方形即可解决问题；只要证明ABD CBD，即可解决问题；（2）若 EFBC ，则 AE EF，BFEF ，推出四边形 ABFE 表示等腰直角四边形，不符合条件若 EF 与 BC 不垂直，当 AE=AB 时，如图 2 中，此时四边形 ABFE是等腰直角四边形，当 BF=AB 时，如图 3 中，此时四
10、边形 ABFE 是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）AB=AC=1，AB CD，S 四边形 ABCD 是平行四边形，AB=BC，四边形 ABCD 是菱形，ABC=90 ，四边形 ABCD 是正方形，BD=AC= = （2）如图 1 中，连接 AC、BDAB=BC，AC BD，ABD=CBD，BD=BD，ABD CBD，AD=CD#*（2）若 EFBC ，则 AE EF，BFEF ，四边形 ABFE 表示等腰直角四边形，不符合条件若 EF 与 BC 不垂直，当 AE=AB 时，如图 2 中，此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形，AE=AB=5当 BF=AB 时，如图 3 中，此时
11、四边形 ABFE 是等腰直角四边形，BF=AB=5，DEBF，DE：BF=PD：PB=1：2，DE=2.5，AE=92.5=6.5，综上所述，满足条件的 AE 的长为 5 或 6.5【例题 4】（2017 浙江衢州）在直角坐标系中，过原点 O 及点 A（8，0） ，C（ 0，6）作矩形 OABC、连结 OB，点 D 为 OB 的中点，点 E 是线段 AB 上的动点，连结 DE，作 DFDE，交 OA 于点 F，连结 EF已知点 E 从 A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 AB 上移动，设移动时间为 t 秒#*（1）如图 1，当 t=3 时，求 DF 的长（2）如图 2，当点 E 在
12、线段 AB 上移动的过程中， DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 tan DEF 的值（3）连结 AD，当 AD 将 DEF 分成的两部分的面积之比为 1：2 时，求相应的t 的值【考点】LO ：四边形综合题【分析】 （1）当 t=3 时，点 E 为 AB 的中点，由三角形中位线定理得出DEOA，DE= OA=4，再由矩形的性质证出 DEAB，得出OAB=DEA=90 ，证出四边形 DFAE 是矩形，得出 DF=AE=3 即可；（2）作 DMOA 于 M，DN AB 于 N，证明四边形 DMAN 是矩形，得出MDN=90，DMAB，DNOA，由平行线得出比例式
13、， = ，由三角形中位线定理得出 DM= AB=3，DN= OA=4，证明DMF DNE，得出= ，再由三角函数定义即可得出答案；（3）作作 DMOA 于 M，DN AB 于 N，若 AD 将 DEF 的面积分成 1：2 的两部分，设 AD 交 EF 于点 G，则点 G 为 EF 的三等分点；当点 E 到达中点之前时， NE=3t，由DMF DNE 得：MF= （3t） ，求出AF=4+MF= t+ ，得出 G（ ， t） ，求出直线 AD 的解析式为y= x+6，把 G（ ， t）代入即可求出 t 的值；#*当点 E 越过中点之后， NE=t3，由DMF DNE 得：MF= （t 3） ，求
14、出AF=4MF= t+ ，得出 G（ ， t） ，代入直线 AD 的解析式 y= x+6 求出 t 的值即可【解答】解：（1）当 t=3 时，点 E 为 AB 的中点，A（8，0 ） ， C（0，6） ，OA=8，OC=6，点 D 为 OB 的中点，DEOA，DE= OA=4，四边形 OABC 是矩形，OAAB，DEAB，OAB= DEA=90，又DFDE，EDF=90，四边形 DFAE 是矩形，DF=AE=3；（2）DEF 的大小不变；理由如下：作 DMOA 于 M，DNAB 于 N，如图 2 所示：四边形 OABC 是矩形，OAAB，四边形 DMAN 是矩形，MDN=90，DMAB， DN
15、OA， ， = ，#*点 D 为 OB 的中点，M、 N 分别是 OA、AB 的中点，DM= AB=3，DN= OA=4，EDF=90，FDM= EDN，又DMF= DNE=90，DMFDNE， = ，EDF=90，tanDEF= = ；（3）作 DMOA 于 M，DN AB 于 N，若 AD 将DEF 的面积分成 1：2 的两部分，设 AD 交 EF 于点 G，则点 G 为 EF 的三等分点；当点 E 到达中点之前时，如图 3 所示，NE=3 t，由DMFDNE 得：MF= （3 t） ，AF=4+MF= t+ ，点 G 为 EF 的三等分点，G（ ， t） ，设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，把 A（8，0 ） ，D （4，3）代入得： ，解得： ，直线 AD 的解析式为 y= x+6，
