1、项目 3 绘制立体及其表面交线【教学目标】1掌握基本几何体的投影特性和作图方法及在立体表面上取点的方法。2掌握截交线和相贯线的性质 及作图过程。3掌握基本体、截断体和相贯体的尺寸标注。【教学要求】能力目标 知识要点 权重 自测分数会画两类立体的三视图及在立体表面上求点的投影平面立体、曲面立体的投影及在立体表面上求点的投影30%会画两类立体的表面产生截交线的投影平面立体、曲面立体的截交线30%会画两形体相交产生的相惯线以及特殊情况下相惯线的求法两形体相交产生的相惯线以及特殊情况下相惯线的求法30%基本体、截断体和相贯体的尺寸标注基本体、截断体和相贯体的尺寸标注10%项目导入在生产实践中，我们会接
2、触到各种形状的机件，这些机件的形状 虽然复杂多样，但都是由一些简单的立体经过叠加、切割或相交等形式 组合而成的。我们把这些形状简单且规则的立体称为基本几何体，简 称为基本体。基本体的大小、形状是由其表面限定的，按其表面性质的不同可分为平面立体和曲面立体。表面都是由平面围成的立体称 为平面立体（简称平面体），例如棱柱、棱锥。表面都是由曲面或是由曲面与平面共同围成的立体称为曲面立体（简称曲面体），其中围成立体的曲面又是回转面的曲面立体，又叫回 转体，例如 圆柱、圆锥、球体和圆环体等。在机件中常见平面截切立体表面、立体与立体表面相交产 生交线，前者的交 线称为截交线，后者的交线称为相贯线 。如图 3
3、-1所示，本项目通过绘制基本体的投影，研究基本体的投影规律和投影特性。图 3-1 常见的基本体任务 3.1 基本体的投影3.1.1 平面立体的投影由于平面立体是由平面围成，因此平面立体的三视图，就可归结为各个表面（棱面）的投影的集合。由于平面图形系由直线段组成，而每条线段都可由其两端点确定，因此平面立体的三视图，又可归结为其各表面的交线（棱线）及各顶点的投影的集合在立体的三视图中，有些表面和表面的交线处于不可见位置，在图中用虚线表示。1.棱柱棱柱体由顶面、底面和若干个棱面组成，它的棱线相互平行。顶面和底面为正多边形的直棱柱，称为正棱柱。常见的棱柱有三棱柱、四棱柱、六棱柱等。1）棱柱的三视图 图
4、 3-2 表示一个直三棱柱的投影。它的三角形顶面及底面为水平面，三个侧棱面（均为矩形）中，后面是正平面，其余二侧面为铅垂面，三条侧棱线为铅垂线。画三视图时，先画顶面和底面的投影：水平投影中，顶面和底面均反映实形（三角形）且重影，正面和侧面投影都有积聚性，分别为平行于 OX 轴和 OYW轴的直线；三条侧棱的水平投影有积聚性，为三角形的三个顶点，它们的正面和侧面投影，均平行于 OZ 轴且反映棱柱的高。【特别提示】在与底面平行的投影面上的投影图为一多边形，其它两面投影图的外形轮廓为矩形。图 3-2 三棱柱的三视图及属于表面的点的求法2）棱柱表面上的点 当点属于几何体的某个表面时，则该点的投影必在所属
5、表面的各同面投影范围内。若该表面的某一投影为可见，则该点的同面投影也可见；反之为不可见。棱面在某一投影面上的投影为不可见时，该棱面上点的投影需加括号，以表示其为不可见。当棱柱的表面为特殊位置时，属于该棱面的点，可利用平面的积聚性求得。如图 3-2b 所示，已知三棱柱上一点 M 的正面投影 m，求 m 和 m。方法：按 m 的位置和可见性，可判定点 M 属于三棱柱的右侧棱面。因点 M 所属平面AEFD 为铅垂面，因此，其水平投影 m 必落在该平面有积聚性的水平投影 aefd 上。再根据m 和 m即可求出侧面投影 m。由于 M 点属于三棱柱的右侧面，该棱面的侧面投影为不可见，故 m为不可见。2.棱
6、 锥棱锥的底面为多边形,各侧面为若干具有公共顶点的三角形。从棱锥顶点到底面的距离叫做锥高。当棱锥底面为正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。常见的棱锥有正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥。1）棱锥的三视图 图 3-3 表示正三棱锥的投影。它由底面 ABC 和三个棱锥面 SAB、SBC、SAC所组成。底面为水平面，其水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚为一直线。棱面SAC 为侧垂面，因此侧面投影积聚为一直线，水平投影和正面投影都是类似形。棱面SAB 和 SBC 为一般位置平面，它的三面投影均为类似形。棱线 SB 为侧平线，棱线SA、SC 为一般位置直线，棱线 AC 为侧垂线，棱线 AB、B
7、C 为水平线。画正三棱锥的三视图时，先画出底面 ABC 的各个投影，再画出锥顶 S 的各个投影，连接各顶点的同面投影，即为正三棱锥的三视图，如图 3-3 所示。【特别提示】在与底面平行的投影面上的投影图外形轮廓为一多边形，其它两面投影图的外形轮廓为三角形。图 3-3 正三棱锥的三视图及属于表面的点的求法2）棱锥表面上的点正三棱锥的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。属于特殊位置平面的点投影 ，可利用该平面投影的积聚性直接作图。属于一般位置平面的点的投影，可通过在平面上作辅助线的方法求得。如图 3-3 所示，已知属于棱面 SAB 的点 M 的正面投影 m和属于 SAC 的点 N 的水平投影 n
8、，试求 M、N 的其它投影。因棱面 SAC 是侧垂面，它的侧面投影 sa（c）具有积聚性，因此 n在 sa（c）上，再由 n 和 n求得（n）。棱面 SAB 是一般位置平面，需过锥顶 S 及点 M 作一辅助线 SII（图 b 中即过 m作 s2，其水平投影为 s2）然后根据属于直线的点的投影特性，求出其水平投影 m，再由 m、m求出侧面投影 m。3.1.2 曲面立体的投影曲面立体的表面是由一母线绕定轴旋转而成的，故称曲面立体，也称为回转体。回转面：由一条母线（直线或曲线）围绕轴线回转而形成的表面。回转体：由回转面或回转面与平面所围成的立体。例如：圆柱、圆锥、圆球、圆环。1.圆 柱1）圆柱面的形
9、成 圆柱面可看作一条直线围绕与它平行的轴线回转而成。轴线称为回转轴，直线称为母线，母线转至任一位置时称为素线。如图 3-4a 所示。【特别提示】搞清回转面上特殊位置素线（如最左、最右、最前、最后等素线）的投影特性及其几何意义， 对画、看回转体的视图和在体表面上取点至为重要。画回转体的视图时，轴线必须 用点划线清晰画出。圆圆a) b) c)圆 圆圆圆 圆圆圆VYXZYWYHXZabc g“e“f“ a(b)c(d)g(h) e(f)ab cd g“h“ f“e“e(g)f(h) a“(c“)b“(d“)a) b)g(h)a(b) e(f)c(d)(a) (b) (c)图 3-4 圆柱的形成、视图
10、及其分析2）圆柱的三视图 圆柱是由圆柱面及顶、底平面所围成。图 3-4b 表示一个圆柱的投影情况。图 3-4c为该圆柱的三视图：俯视图是一个圆线框，主、左视图是两个相等的矩形线框。俯视图的圆线框，表示圆柱面的水平投影（图中圆柱轴线为铅垂线，圆柱面的全部素线皆为铅垂线，因此圆柱面的水平投影积聚为一圆）；顶、底面的水平投影反映实形，即由这一圆线框所围成的圆形。主视图的矩形线框，表示圆柱面的正面投影（前半圆柱面和后半圆柱面投影重合）；矩形的上、下两边分别为顶、底面的积聚性投影；左、右两边 ab、cd分别是圆柱最左、最右素线的投影，其水平投影积聚成点，左视图的矩形线框，表示圆柱面的侧面投影（左半圆柱面
11、和右半圆柱面投影重合）；矩形的上、下两边分别为顶、底面的积聚性投影；前、后两边分别是圆柱最前、最后素线的投影，其水平投影积聚成点。3）圆柱表面上的点 如图 3-5 所示，已知属于圆柱面上的点 A、B、C 的一个投影，求另外两面投影。图 3-5 属于圆柱表面的点的求法2.圆锥1）圆锥面的形成 圆锥面可看作由一条直母线围绕和它相交的轴线回转而成，如图 3-6a 所示。2）圆锥的三视图 圆锥是由圆锥面及底面围成。图 3-6b 表示一个圆锥的投影情况。图 3-6c 是它的三视图：俯视图是一个圆线框，主、左视图是两个全等的等腰三角形线框。俯视图的圆线框，反映圆锥底面的实形，同时也表示圆锥面的投影。主、左
12、视图的等腰三角形线框，其下边为圆锥底面的积聚性投影。主视图中三角形的左、右两边，分别表示圆锥面最左、最右素线（前、后转向线）SA、SB 的投影（反映实长），它们是圆锥面在主视图上可见与不可见部分的分界线；左视图中三角形的两边，分别表示圆锥面最前、最后素线（左、右转向线）SC、SD 的投影（反映实长），它们是圆锥面在左视图上可见与不可见部分的分界线。圆圆a) b) c)圆 圆圆圆 圆圆圆a b)s s“aa bbcdXZYZX YwYhs s“a c“acbd d“ c“d“b(a) (b) (c)图 3-6 圆锥的形成、视图及其分析3）圆锥表面上的点圆锥体的投影没有积聚性，在其表面上取点的方法
13、有两种：（1）辅助素线法（2）纬圆法（辅助圆法）方法一：素线法。圆锥面是由许多素线组成的。圆锥面上任一点必定在经过该点的素线上，因此只要求出过该点素线的投影，即可求出该点的投影。如图 3-7 所示，已知圆锥面上一点 K 的投影正面投影 k，求 k、k 。图 3-7 属于圆锥表面的点的求法（素线法）作图步骤：（1）过 k作素线 SA 的正面投影 sa；（2）求 k。连接 sk延长交底于 a，在水平投影上求出 a 点，连接 sa 即为素线SA 的水平投影 sa。（3）由 k求出 k，由 k及 k 求出 k。或先求出 SA 的侧面投影，根据从属关系求出 K 点的侧面投影 k。 方法二：纬圆法。由回转
14、面的形成可知，母线上任意一点的运动轨迹为圆，该圆垂直于旋转轴线，我们把这样的圆称之为纬圆。圆锥面上任一点必然在与其高度相同的纬圆上，因此只要求出过该点的纬圆的投影，即可求出该点的投影。如图 3-8 所示，已知圆锥表面上一点 A 的投影 a，求 a、a。图 3-8 属于圆锥表面的点的求法（纬圆法）作图步骤：（1）过 a作纬圆的正面投影，此投影为一直线；（2）画出纬圆的水平投影；（3）由 a求出 a，由 a 及 a求出 a。（4）判别可见性，两投影均可见。3.圆 球1）圆球面的形成 ，如图 3-9a 所示圆球面可看作一圆（母线）围绕它的直径回转而成。2）圆球的三视图如图 3-9c 所示，圆球的三个
15、视图，都是与球面直径相等的的圆线框，它们均表示圆球面的投影。球的各个投影图形都是圆，但各个圆的意义不同：正面投影的圆是平行于 V 面的圆素线 B（前、后转向线，前、后两半球的分界线，即主视图上可见与不可见的分界线）的投影；水平投影的圆是平行于 H 面的圆素线 A（上、下转向线，上、下两半球的分界线，即俯视图上可见与不可见的分界线）的投影；侧面投影的圆，是平行于 W 面的圆素线 C（左、右转向线，左、右两半球的分界线，即左视图上可见与不可见的分界线）的投影。这三条圆素线的其它两面投影都与圆的相应中心线重合。 圆圆a) b) c)圆 圆圆圆 圆圆圆a) b)XZYZX YwYhbac“ b c“a
16、c a“acb b“ABC(a) (b) (c)图 3-9 圆球的形成、视图3）圆球表面上的点由于圆球体的特殊性，过球面上一点可以作属于球体的无数个纬圆，为作图方便，常沿投影面的平行面作相应投影面的纬圆，这样过球面上任一点可以得到 H、V、W 三个方向的纬圆。因此只要求出过该点的纬圆投影，即可求出该点的投影。如图 3-10 所示，已知球面上的一点 A 的投影 a，求 a 及 a。分析：由 a得知 A 点在左上半球上，可以利用水平纬圆解题。作图：（1）过 a作纬圆的正立投影（为一直线）；（2）求出纬圆的水平投影；（3）由 a求出 a，由 a及 a 求出 a；（4）判别可见性。两投影均可见。图 3
17、-10 圆球表面上取点任务 3.2 立体的截交线图 3-11 截交线的基本性质3.2.1 截交线的基本性质1.截交线的基本性质在机件上常见到一些平面与立体表面相交而产生的交线，这些交线即为截交线。当立体被平面截成两部分时，其中任何一部分称为截断体，用来截切立体的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线成为截交线，如图 3-11 所示。截交线具有两个基本性质：（）共有性：截交线是截平面上的线，又是立体表面上的线，因此是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点都是截平面和立体表面的共有点。（）封闭性: 平面与曲面立体的截交线是一个（或数个）封闭的平面图形，在一般情况下它是一个平面曲线。特殊情况下，可以是由直线段和曲线，或仅由直线段组成的平面图形。2.求截交线的方法和步骤1）求截交线就是求一系列截交点,方法通常有:（）积聚性法:已知截交线的两个投影(截平面的一个积聚性投影和被截切立体表面的一个积聚性投影)。根据共有点性质，可求出截交线另一投影。（）辅助面法：根据三面共点的集合原理，采用辅助平面或辅助球面使其与截平面和立体表面相交，求出截交线，完成截交线的投影。2）常用的作图步骤：（）找出一系列特殊的截交点；转向点：投影轮廓线上的点（即曲面的转向线与截平面的交点）一般为可见性分界点。
