1、-_目录第一章 数与式1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4 分式1.2 分解因式第二章 二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表达方式2.2.3 二次函数的应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组的解法第三章 相似形、三角形、圆3.1 相似形3.1.1 平行线分线段成比例定理3.1.2 相似三角形形的性质与判定3.2 三角形3.2.1 三角形的五心3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦
2、定理和余弦定理及其应用3.3 圆3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理3.3.2 点的轨迹3.3.3 四点共圆的性质与判定3.3.4 直线和圆的方程（选学）初中升高中数学教材变化分析21.1 数与式的运算1.1绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即 ,0,|,.a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义： 表示在数轴上，数 和数 之间的距baab离例 1 解不等式： 413x解法一：由 ，得 ；由 ，得 ；00x3x若 ，不等式可变为 ，x()4即 4，解得 x0，2又 x1，
3、x0；若 ，不等式可变为 ，(1)34x即 14，不存在满足条件的 x；若 ，不等式可变为 ，3x()即 4， 解得 x42又 x3，x4综上所述，原不等式的解为x0 ，或 x4解法二：如图 111， 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点1A 之间的距离|PA|，即 |PA|x1| ；|x3|表示x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离| PB|，即| PB| x 3|所以，不等式 4 的几何意义即13为|PA|PB| 41 3A Bx0 4C DxP|x 1|x 3|图 111初中升高中数学教材变化分析3由|AB |2，可知点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或
4、点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧x0 ，或 x4练 习1填空：（1）若 ，则 x=_；若 ，则 x=_.54x（2）如果 ，且 ，则 b_；若 ，则ba1a 21cc_.2选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A）若 ，则 （B）若 ，则 abab（C ）若 ，则 （D）若 ，则b3化简：|x5|2x 13|（x5） 1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；2()abab（2）完全平方公式 2我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；23()（2）立方差公式 ；2abab（3）三数和平方公式 ；()ccca（4）两数和立方公式 ；32
5、23()（5）两数差立方公式 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例 1 计算： 22(1)(1)()xxx解法一：原式= 2= 42= 6x解法二：原式= 22(1)(1)x= 3= 6例 2 已知 ， ，求 的值4abc4abc22abc解： 22()()8c练 习1填空：（1） （ ） ；21()943aba（2） ；(m2164(m)(3 ) 2)cc初中升高中数学教材变化分析42选择题：（1）若 是一个完全平方式，则 等于 （ 21xmkk）（A） （B ） （C） （D）2 214m213m216m（2）不论 ， 为何实数， 的值 （ ab8ab）（A）总是正数 （B）
6、总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3二次根式一般地，形如 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能(0)a够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ， 等是无理式，而23ab2ab， ， 等是有理式21x22xy1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 与2， 与 ， 与 ， 与 ，等等 一般地，23a362323与 ， 与 ， 与 互为有理化因式xxbyaxbyaxb分母有理化的方法是分母和分子
7、都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ；而对于二次根式的除法，通常先写成(0,)abb分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式 的意义2a,0,.a例 1 将下列式子化为最简二次根式：（1） ； （2） ； （3 ） b2(0)ab64(0)xy解： （1） ；3（2） ；2a（3） 6334()xyxy初中升高中数学教材变化分析5例 2 计算
8、： 3()解法一： 3 () 39 (1)6 32解法二： 3()3(1)3131()312例 3 试比较下列各组数的大小：（1） 和 ； （2） 和 .21106426解： （1） ，(1)()1，1000又 ，2 1（2） 6(2)(26)2,1+ +又 42 ，2 4 2 ，6 6 2 .例 4 化简： 204205(3)(3)解： 2045() 204()() 204(32)()(3) 2041(3)例 5 化简：（1） ； （2） 9521(1)xx解：（1）原式 422()2()（2）原式= ，1xx初中升高中数学教材变化分析6 ， ，所以，原式 01xx1x例 6 已知 ，求 的
9、值 3232,y2235xy解： ，()()10xy，321 2225()3089xyxy练 习1填空：（1） _ _；3（2）若 ，则 的取值范围是_ _ _；2(5)(3)5xxx（3） _ _；46910（4）若 ，则 _ _12选择题：等式 成立的条件是 （ 2x）（A） （B ） （C） （D ）0x2x02x3若 ，求 的值221abab4比较大小：2 （填“” ，或“”） 3 5 41.1.分式1分式的意义形如 的式子，若 B 中含有字母，且 ，则称 为分式当 M0 时，AB0BA分式 具有下列性质：； MAM上述性质被称为分式的基本性质2繁分式像 ， 这样，分子或分abcd2m
10、np母中又含有分式的分式叫做繁分式例 1 若 ，求常数 的值54()2xABx,AB初中升高中数学教材变化分析7解： ，(2)()254()ABxBAxx 解得 5,24,3例 2 （1）试证： （其中 n 是正整数） ；1()1nn（2）计算： ；2390（ 3） 证 明 ： 对 任 意 大 于 1 的 正 整 数 n， 有 114()n（1）证明： ，()1()nn （其中 n 是正整数）成立1()（2）解：由（1）可知 23910 11()()2390 190（3）证明： ，1124()n ()()()41n 2n又 n2，且 n 是正整数， 一定为正数，1n 1 1234()12例 3
11、 设 ，且 e1，2c 25ac 2a 20，求 e 的值cea解：在 2c2 5ac2a 20 两边同除以 a2，得2e25e 2 0，(2e 1)(e2)0，e 1，舍去；或 e212e2练 习1填空题：对任意的正整数 n， ( )；1(2)12n2选择题：若 ，则 （ 23xyxy）（A） （B） （C ） （D）544565初中升高中数学教材变化分析83正数 满足 ，求 的值,xy2yxy4计算 11.34910习题 11A 组1解不等式： (1) ； (2) ；3x 327x(3) 16已知 ，求 的值y3xy3填空：（1） _；1819(2)()（2）若 ，则 的取值范围是_；22
12、aa（3） _13456B 组1填空： （1） ， ，则 _ _；2a13b225ab（2）若 ，则 _ _；20xy3xy2已知： ，求 的值1,3C 组1选择题：（1）若 ，则 （ 2abba）（A） （B ） （C） （D ）0ab0ba（2）计算 等于 1a（ ）（A） （B） （C） （D）aaa2解方程 21()3()10xx3计算： 4594试证：对任意的正整数 n，有 11234()2n141.2 因式分解初中升高中数学教材变化分析9因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1 分解因式：（1）x 23 x
13、2； （ 2）x 24x12；（3） ； （4） 2()aby1y解：（1）如图 111，将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有x23x2( x1)(x 2)说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中的两个 x 用 1 来表示（如图 112 所示） （2）由图 113，得x24x12( x2)(x 6)（3）由图 114，得2)aby()ayb（4） xy(x y)1(x 1) ( y+1) （如图 115 所示） 课堂练习一、填空题：1、把下列各
14、式分解因式：（1） _。652x（2） _。（3） _。（4） _。2（5）_。ax1（6） _。82（7） _。7（8） _。94m（9） _。265x（10）_。21yx2、 3 4x3、若 则 ， 。42xbaa b二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）12xx图 1111211图 1122611图 113aybyxx图 11411xy图 115初中升高中数学教材变化分析101、在多项式（1） （2） （3） （4）672x42x862x1072x（5） 中，有相同因式的是（ ）15A、只有（1） （2） B、只有（3） （4） C、只有（3） （5） D、 （1）和（2） ；
15、（3）和（4） ；（3）和（5）2、分解因式 得（ ）28baA、 B、 C、 D、3 aba ba 1b13、 分解因式得（ ）02A、 B、 4 5C、 D、1a ba4、若多项式 可分解为 ，则 、 的值是（ ）x32 xA、 ， B、 ， C、 ， D、 ，10b0a2b102b10a2b5、若 其中 、 为整数，则 的值为（ ）mx mA、 或 B、 C、 D、 或393939三、把下列各式分解因式1、 2、2126pqp 22365ab3、 4、642y 82b2提取公因式法例 2 分解因式：（1） （2） ba52 329xx解： （1） = )1(5a（2） = =39xx32()()= 2)或 32x3(183()8x3(1)2x 22)()1x()x课堂练习：一、填空题：1、多项式 中各项的公因式是_。yzy4262、 _。xnxm3、 _。2
