1、基于 MF-DFA 的中国商品期货价格的多重分形实证分析苑莹 庄新田 东北大学 工商管理学院，辽宁 沈阳 摘要： 运用消除趋势波动分析方法，对之前较少被研究的中国铜和大豆两个期货品种的价格时间序列进行实证研究发现，两种期货价格均存在明显的多重分形特征,仅用单一的标度指数对其进行描述是不充分的。进一步对其多重分形的成因进行分析，发现期货价格的多重分形特征主要是由收益序列的波动相关性引起的，该相关性导致了价格的有偏随机游走，市场未达到弱式有效。关键词：资本市场复杂性，消除趋势波动分析方法，期货价格1引言分形理论打破了传统金融学中整数维度的概念，从而引入了分数维，它以一个崭新的视角来刻画和描述金融系
2、统中各种复杂现象，因此受到了各国学者的广泛关注。在将多重分形理论应用于经济系统方面，Mandelbrot et al 最早于 1997 年创立了著名的资产收益率多重分形模型（Multifractal Model of Asset Returns, 简记为 MMAR）用以描述金融资产价格变化规律 1。此模型可以解释资产回报率的厚尾（Fat trail）与波动率（Volatility）的长期记忆等现象，并将多重分形的概念扩展到随机过程中，通过矩的标度特性提出多重分形过程，而以往所研究的随机模型如 ARCH/GARCH、Lvy 过程、分数布朗运动（Fractal Brownian Motion，简记
3、 FBM）等只能抓住价格波动的某一特征，却无法描述波动的长程相关性。因此，由 Mandelbrot 等提出的多重分形模型被认为是迄今为止最为全面的描述价格波动特征的模型，它不仅囊括了上述模型所描述的价格波动特征，更预见了在其他模型中没有体现的价格波动多重分形特性。正如 Mandelbrot（1999）在 Scientific American 上所指出的，多重分形分析可以复现金融市场剧烈振荡的金融交易，能得到金融资产价格在不同时间标度上的不同波动程度的详细信息，提供关于市场动向的概率估计值，显示市场易变性的实质，从而为无法预测的金融市场注入某些有序性 2。此后，各国学者通过不同的多重分形方法对
4、资本市场的复杂性进行了有益的探索，得到了许多较有价值的理论成果 3-10。2002 年，Kantelhardt 11提出了多重分形消除趋势波动分析方法（MF-DFA） ，该方法较其他方法的优势在于它能够发现非平稳时间序列中的长范围相关性，并且能够避免对相关性的错误判断，Norouzzaden12等人运用该方法对外汇汇率的多重分形特征进行了研究。卢方元、胡学明及施锡铨13-15等人也分别运用该方法对我国股票市场进行了实证研究，确认了股指收益率的多重分形特征。然而，在对资本市场进行多重分形特征分析时，绝大多数学者更多地关注于股票及外汇市场，而对同样重要的我国期货市场研究的较少。实际上，自从九十年代
5、我国第一家商品期货市场成立以来，中国的商品期货市场有了长足的发展，尤其是铜和大豆两个期货品种，现已分别成为世界第二大期货市场，仅分别低于英国的伦敦金融交易所和美国的芝加哥期货交易所，因此在这样的背景下，本文运用 MF-DFA 方法对我国铜和大豆期货市场进行实证研究，确认了市场中多重分形特征的存在。并通过将原始收益序列进行重排处理及相位随机化处理，对转换后的收益时间序列及原始时间序列进行 MF-DFA 分析，结合多重分形谱模型探讨了股票市场中多重分形特征与非线性时间序列的长程相关性及胖尾概率分布之间的联系，对商品期货价格的多重分形成因进行了研究与探讨。2多重分形消除趋势波动分析方法Kantelh
6、ardt 提出的 MF-DFA 方法是验证一个非平稳时间序列是否具有多重分形性的有效方法，对给定长度为 N 的序列x i，i =1,2,.,N，MF-DFA 方法如下：（1） 通过求和把原序列归并成一个新的序列：，i=1,2, N （1）1()ikyx式中 为 xi 的均值。（2）把序列 yi 分割成长度为 s 的 Ns=int(N/s)个互不相交的等长区间，由于长度 N 经常不是 s 的整数倍，为了不丢弃尾部剩余部分，从序列尾部重复这一分割过程，因此得 2Ns 区间。（3）通过最小二乘法拟合每一子区间v（v=1,2,2N s）上的局部趋势 pv(j)函数消除子区间 v 中的局部趋势序列：,（
7、j=1,2,s） ()vvZjyj（2）（4）分别计算 2Ns 个消除趋势子区间序列的平方均值： 221(,)()svjFZ（3）这里 v=1,2,Ns，进而求出序列的 q 阶波动函数：2/211()(,)sqvFF（4）（5）确定波动函数的标度指数，先固定阶数q，通过在双对数图中分析 Fq(s)与 s 的如下关系：()hqFsS（5）对每一个分割长度 s，可求出相应的一个波动函数值 Fq(s)，作出 Ln(Fq(s)Lns 函数关系图，其斜率为 q 阶广义 Hurst 指数 h(q)。这里，当 h(q)独立于q 为一常数时，序列为单一分形，当 h(q)为 q 的函数时，序列为多重分形。（6）
8、通过 MF-DFA 得到的 h(q）与 Renyi 指数(q)相关，如下式：()1qh（6）（7）用来描述多重分形时间序列的多重分形谱f()可以通过下式得到：(),hq（7） ()-()1.f（8） 3多重分形起因及多重分形强度3.1 多重分形行为起因通常时间序列中的多重分形行为存在两种原因：一是由于小幅波动及大幅波动中不同的长范围相关性造成的；另一种是由于波动的胖尾概率分布引起的。对数据进行重排处理及相位随机化处理能够发现上述两种原因对多重分形起因贡献的大小，并能够说明多重分形的强度。这是因为对数据进行重排能够保留波动分布但是破坏了相关性，即经过重排的数据具有与原始数据相同的波动分布但是却没
9、有记忆性。此外，对数据进行相位随机化处理可以弱化时间序列分布的非高斯性。3.2 多重分形强度Koscielny-Bunde 通过广义多重分形模型发现，整个 q 阶广义 Hurst 指数 h(q)可以通过下式进行拟合：1ln(),2abh（9）其中，(q)=-ln q+bq/ln2。式（ 9）说明广义 Hurst指数 h(q)在无穷大时可以被两个独立参数来描述，这两个参数可以描述一个时间序列的多重分形强度。在广义多重分形模型中，时间序列的强度可以通过(= max-mn)来描述， 越大则多重分形强度越大，即：(10)(ln)()2bah4数据描述数据选自我国铜期货指数 1993 年 11 月 1
10、日至 2005 年 12 月 30 日收盘指数（共 3000 个观察数据）及大豆/豆一期货指数 1994 年 9 月 12 日至2005 年 12 月 30 日收盘指数（共 2645 个观察数据）。数据来源于文华软件，该指数数据是文华公司根据各个单月期货合约的成交量和持仓量的不同比例权重，计算出来的。进行实证研究的数据是对数收益率序列，两个期货指数收益序列的基本统计量如表 1 所示。表 1. 收益序列的基本统计量统计量 原始样本数 均值 标准差 峰度 偏度铜 3000 0.000282 0.010533 4.78463 -0.02765大豆/豆一 2645 0.000079 0.010137
11、6.34174 0.142945实证研究5.1 期货市场的多重分形特征分别对铜期货指数和大豆期货指数收益原始序列及变换后的收益序列进行一阶 MF-DFA 分析，根据式(1)-(8)，s 的取值范围为 3 至 N/5 天（N 为时间序列的总长度） ，当 q 从-10 到 10 变化时，得到随 q 变化的广义 Hurst 指数 h(q)如表 2 所示。从表 2 可以看出，当 q 从-10 变化到+10 时，铜期货指数原始收益序列的 h(q)从 0.858 递减到0.418，大豆期货指数原始收益序列的 h(q)从 1.115递减到 0.483，两个指数的 h(q)显著地不为常数，说明铜期货指数与大豆
12、期货指数收益率均存在较明显的多重分形特征，用单一分形模型对其进行描述是不合适的。对于给定的阶数 q，大豆期货指数原始收益率的 h(q)大于沪铜期货指数原始收益率的 h(q)，说明大豆期货指数收益序列具有更强的状态持久性，更弱的状态反持久性。大豆期货指数原始序列 h(q)的变化范围较铜期货指数 h(q)的变化范围要大，说明大豆期货指数的多重分形特征比铜期货指数更明显。沪期货指数收益序列经重排后 h(q)下降的幅度通常大于大豆期货指数收益序列重排后下降的幅度，说明铜期货指数收益序列的相关程度要高于大豆期货指数收益序列的相关程度。对于两个不同的期货市场，经过变换的收益序列与原始序列相比，其 h(q)
13、值随 q 的变化幅度变小，多重分形特征明显减弱。这说明收益序列的长程相关性及波动的胖尾分布都会导致收益序列的多重分形特征。而且与重排序列相比，相位随机化序列的多重分形特征更弱。这一点可以从图 1 中明显的看出。5.2 多重分形强度及多重分形成因实证分析进一步，将 MF-DFA 方法与多重分形谱结合来分析多重分形的特征及成因。根据式(9)，对图1 中期货指数时间序列的广义 Hurst 指数进行拟合，其结果如表 3 所示。从表 3 可以看出，h(q)随 q 的变化关系可以通过两个参数很好地描述，并且所有拟合都在 95%的置信区间内。此外，由于多重分形谱参数 可以较好地描述多重分形特征的强度，因此由
14、表 3可知，两个指数的原始收益序列的多重分形强度都是很强的，其次是重排序列，最后为替代序列，这一点与图 1 的结果一致。因此，从以上分析可以看出，期货市场多重分形的成因是由两个因素共同作用的，其中收益序列的波动相关性起主导作用，是形成多重分形特征的主要原因，但是收益序列的胖尾概率分布对多重分形特征的形起到了一定的作用。表 2. 期货指数收益率的广义 Hurst 指数阶数 铜期货指数收益序列的 h(q) 大豆期货指数收益序列的 h(q)q 原始 重排 替代 原始 重排 替代-10 0.858 0.667 0.653 1.115 0.964 0.743 -8 0.84 0.652 0.639 1.
15、092 0.951 0.731 -6 0.814 0.632 0.62 1.056 0.933 0.716-4 0.773 0.602 0.593 1.005 0.907 0.699 -2 0.702 0.553 0.552 0.932 0.865 0.6770 0.594 0.494 0.502 0.612 0.577 0.648 2 0.545 0.456 0.479 0.569 0.557 0.645 4 0.502 0.424 0.458 0.54 0.545 0.638 6 0.465 0.395 0.438 0.517 0.533 0.628 8 0.438 0.37 0.42 0
16、.498 0.521 0.617 10 0.418 0.351 0.405 0.483 0.51 0.606h 0.44 0.316 0.248 0.632 0.455 0.137-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100.40.50.60.70.80.91qh(q)代代代代代代代代代代代代-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100.40.50.60.70.80.911.11.21.3qh(q)代代代代代代代代代代代代(a) 铜期货 (b) 大豆期货图 1.不同收益序列的广义 Hurst 指数表 3. 原始序列，重排序列及替代序列的多重分形强度铜 a b 大豆
17、a b 原始序列 0.5155 0.8081 0.649 原始序列 0.4346 0.7963 0.874重排序列 0.588 0.8403 0.515 重排序列 0.4757 0.7802 0.714替代序列 0.5969 0.8107 0.442 替代序列 0.5668 0.699 0.3036.结论运用 MF-DFA 方法，并结合多重分形谱模型，对我国商品期货价格进行了多重分形实证分析，其结果发现铜与大豆期货指数收益率均存在较明显的多重分形特征，因此仅用单一的标度指数来对其进行描述是不合适的。此外，经相位随机化处理后的替代序列的多重分形强度要弱于重排序列，这说明对于价格波动的多标度变化，
18、持久相关性起到了重要的作用。事实上，长记忆性存在的根本原因主要是因为中国期货市场一直存在许多不足之处，市场上存在大量的噪声，市场信息以非线性的方式呈现，投资者也以非线性方式对市场信息做出反应，并且只有信息累积到一定程度，才会对信息做出反应，并按他们所能接受的价格进行交易而不管价格是否公平，这导致了价格的有偏随机游走，因此市场未达到弱式有效。针对这一情况，金融监管部门应该加强金融监管，健全法制制度，改善信息披露政策，从而让投资者能够及时准确地掌握真实的信息情况，更好地做出投资决策。参考文献1 Mandelbrot B B, Fisher A, Calvert L. A multifractal
19、model of asset returnsJ, Yale University, Working paper, 1997.2 Mandelbrot B B. A multifractal walk down Wall StreetJ, Scientific American, 1999, 298(2): 70-73.3 Vjushin D, Govindan R B, Monetti R A, et al. Scaling analysis of trend using DFA J. Physica A, 2001, 302(1-4):234-243.4 Alvarez-Ramirez J,
20、 Cisneros M, Ibarra-Valdoz C, Soriano A. Multifractal Hurst analysis of crude oil prices J. Physica A 2002, 313(3-4):651-670.5 Kim K, Yoon S M. Multifractal features of financial markets J. Physica A 2004, 344(1-2):272-278.6 Ho D S, Lee C K. Scaling characteristics in the Taiwan stock market J. Phys
21、ica A 2003, 332 (1):448-460.7 Sun X, Chen H P, Wu, Z Q, et al. Predictability of multifractal analysis of Hang Seng stock index in HongKongJ. Physica A 2001, 301(1-4):473-482.8 Chen H, Sun X, Wu Z, et al , Enlightenment from various conditional probabilities about Hang Seng index in Hong Kong stock
22、market, Physica A, 2004,335(1-2):183-196.9 Sun X, Chen H P, Wu Z Q, et al. Multifractal analysis of Hang Seng index in Hong Kong stock market J. Physica A, 2001, 291(1-4):553-562.10 魏宇,黄登仕. 基于多标度分形理论的金融风险测度指标研究J. 管理科学学报 ,2005,8(4):50:5911 Kantelhardt J W, Zschiegner S A,Koscielny-Bunde Eva et al. Mu
23、ltifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time seriesJ. Physica A 2002, 316(1-4):87-11412 Norouzzaden P, Rahmani B. A multifractal detrended fluctuation description of Iranian rial-US dollar exchange rate J. Physica A, 2006, 367:328-336.13 卢方元. 中国股市收益率的多重分形分析J. 系统工程理论与实践,004, 6:51-55.14 胡学明,宋学锋.深沪股票市场的多重分形分析J. 数量经济技术经济研究,2003, 8:124-127.15 施锡铨,艾克凤.股票市场风险的多重分形分析J.统计研究 ,2004,9:33-36.
