1、1基于多目标 CRLB 的分布式相干 MIMO 雷达阵列优化马 鹏,张 珂,张剑云(电子工程学院 305 教研室,安徽合肥 230037)摘 要：根据分布式相干MIMO 雷达的工作原理和空间多目标信号模型，在目标位置估计的基础上，推导证明了多目标位置估计的CRLB。在对比单目标条件下阵列优化的前提下，提出了基于多目标空间分集增益和目标互扰模型的优化布阵准则，同时分析论证了多目标条件下优化布阵存在的必然性，给出了均匀非对称水平布型为优化布阵的结论。仿真实验有效地验证了理论分析的正确性。关键词：多目标；分布式相干MIMO雷达；CRLB；阵列布型中图分类号：TN958 Optimizing Ante
2、nna Placement in Distributed Coherent MIMO Radar based on Multi-Target Cramer-Rao low BoundMa Peng, Zhang Ke, Zhang Jianyun(Electronic Engineering Institute Lab305, Anhui Province Hefei 230037)Abstract: In this paper, the model of multi-target based on the distributed multiple-input multiple-output
3、(MIMO) radar is analyzed, and the CRLB of multi-target localization estimation in this model is also present. The optimal rule is improved by the thesis of diversity gain and mutual interference based on the CRLB by contrasting the optimal antenna placement within the signal target case. It is shown
4、 that the existing inevitability of optimal antenna placement is demonstrated, and the non-symmetrical but horizontal placement is optimal. The performance of the proposed estimator is validated by simulation results. Keywords: multi-target; distributed coherent MIMO radar; CRLB; antenna placement 1
5、 引 言作为新体制雷达的一种标志1，MIMO雷达目前已成为雷达学界研究的热点问题。与传统相控阵雷达不同的是， MIMO雷达能够在空间形成多个通道，增加系统的自由度2(DOF: degrees of freedom)，并改善空间目标的分辨率3，有效地克服空间目标的RCS闪烁4 ，增强系统的检测性能。同时由于发射多组正交信号，所带来的波形分集增益也能够提高雷达系统的整体性能。优化布阵问题一直是雷达信号处理研究中的难点内容，对于MIMO雷达而言，目前研究的成果还非常少，且主要集中在波形分集MIMO雷达的布阵问题。现有文献主要是关于优化波束方向图，抑制旁瓣电平和提高波达方向精度为目标的布阵理论研究：文
6、献5研究了采用稀布天线时，为了克服栅瓣效应并且降低旁瓣电平，同时为了避免算法进入局部最优，提出了一种与模拟退火算法相结合的多重混合遗传布阵优化方法；文献6考虑优化波束方向图情况下的MIMO雷达的布阵问题，在给定的旁瓣峰值电平的约束条件下，采用遗传算法对阵元位置进行优化，得到一组符合要求的收发阵元位置；文献7以波达方向估计精度为目标，提出了一种MIMO雷达天线阵列设计方法，并通过抛物线理论得出来收发组合的唯一性和合理性，通过分析各种收发组合，给出了发射阵元的最佳间隔设置。而对于分布式MIMO雷达，由于无法直接利用阵列信号处理的理论，无疑增加了优化布阵的难度。目前的文献仅有基于空间单目标参数估计误
7、差分析的布阵理论，文献8-9讨论了非相干模式的速度估计问题，并结合CRLB对布阵理论进行了研究，证明了均匀对称布阵的最优性；文献10研究的是相干MIMO雷达在相位同步误差的条件下的布阵方法，提出稀疏阵元间隔优于均匀布阵的理论。从上述文献可以看出，关于 MIMO 雷达的阵列优化主要存在两个问题：(1)对于分布式 MIMO雷达相干模式的布阵理论还没有研究；(2)对于单目标条件下的优化布阵准则是否适用于多目标条件，能否建立更有说服力的判断依据。鉴于此，2本文根据分布式 MIMO 雷达的工作原理和空间多目标信号模型，在目标位置估计的基础上，推导了多目标位置估计的克拉美罗下界(CRLB: Cramer-
8、Rao low bound)，并给出了一致性证明。此外提出了基于多目标空间分集增益模型的优化布阵准则，给出了最优布阵的结论。2 分布式相干 MIMO 雷达的信号模型分布式MIMO雷达的收发阵列均为大间隔配置，发射、接收阵元数分别为 和 。在笛卡尔平面MN直角坐标定义下，空间 个目标的初始位置为Q，收发站相应坐标位置表示为qyx,1),(与 。kTtk NlyxRrll ,1),(发射信号经能量归一化处理后表示为，其中 ， 为发射Mtsk,),( 2dtsTkT脉冲的持续时间。这里为简化问题，忽略了传输中的路径损耗。正交信号经发射单元 到达目标后，反射到接收k单元 ，则第 接收站的观测信号 可以
9、表示lRl ()lkrt为(1)1()()()Qqqlkklklrtstnt式中 为 Swerling模型下不同目标对应的散射系数，且一般满足零均值复高斯分布 4，即。 表示的是接收端混入的零),0(2CNq)(tnlk均值复高斯白噪声，噪声功率为 。这里2n表示的是由于时延带来的相位)exp(qlkcqlkfj漂移，而 即为路径传输的时延l(2)cyxyqrlqrlqtkqtkql )()()()( 2222 这里 代表光速。为便于分析，将未知的c个参量包括位置、散射系数的实虚部，定义为Q4矢量 ，即，同时为TQimreireQyx,11 了描述概率分布，这里定义总接收信号的矢量形式为 。
10、TNMttr)(,)(13 多目标位置估计的 CRLBCRLB 是对参数估计均方误差(MSE: mean square error)衡量的标准之一。推导 CRLB 前，需要先得到费歇尔信息矩阵 4,8-9(FIM: Fisher information matrix)，这里定义 来表示)(J(3)TffEJ |ln)|(ln)( rr其中 为梯度运算符， 表示总接收信号服)(从的概率密度函数。根据 CRLB 的定义 9-10，实际上 CRLB 就是费歇尔矩阵的逆，即 。1)(JCRLB由于观测信号中的未知参数实际上是由时延与散射系数 表示，因此可利用链式法则qlkq(chain rule)，即
11、 FIM 矩阵 可表达为)(J(4)TJ)()(这里 是以 为参量的 FIM 矩阵，矢量定义为 。TQimreQNMN, 111 根据 FIM 矩阵的定义，为了计算 ，需要)(J先得到含未知参量 的接收信号 的概率密度函数。对于式(1)中未知参量高斯分布的前提，)|(rf即 可以表示为(5)NlMkTQqqlkklwdttstrf1 212 )()(exp)|( 其中 .令：0()sin)clkksdN根据式(4)中关于 FIM 矩阵的定义，结合单目标 CRLB 的证明过程 4，通过复杂冗长的矩阵分块与代数运算，可以得到 FIM 矩阵 的表示式为)(J(6)QNMTJ)2()(0)( 这里 ，
12、且 定义为信噪比( 具体的28cSRf证明过程和矩阵形式的定义，可以参见附录)。根据参量 与 的定义，并结合信号模型的表示式(1)和(2)，可以得到参量偏导数矩阵 的表示形式为(7)2QI0D其中矩阵 定义为分块矩阵的形式，可表示为3(8)NMQNMc221D0D 这里的分块矩阵 定义为 4q(9)111 2coscosiniiniqNqqMqqqqNMNxxyy D 其中 与 分)(tarlqql xy)(ta1tkqqkxy别表示收发站与不同目标之间的观测角度，因此矩阵 实际定义了收发阵列配置与目标之间的关D系。根据 FIM 矩阵 的定义，将式(6-9)代入式)(J(4)中，可以得到 的表
13、示形式为(10)QcJ420)( TD由于 CRLB 是关于参量 估计误差的下界，而实际上这里只对目标的位置参量感兴趣，因此根据 CRLB 与 FIM 矩阵的关系，只需要提取逆矩阵左上分块矩阵 ，即)(J2QCRLB21)(11)1TTDD其中 。从上式中各矩阵的定义可以28cSNf看出，实际上 CRLB 与阵列配置密切相关，且受到不同目标回波之间互相关函数的影响。4 基于 CRLB 的阵列优化准则设计在文献 8,9基于单目标速度估计的布阵理论中指出，由于 和 的 CRLB 由多个参数决定，因xvy此将待设计的系统参数表示在向量中，即最优系统设计应能使关于T,21和 的 CRLB 之和达到最小
14、，也就是说最优的xvy应该满足(12)(minargminargCRB yxvv其中 表示与参数 有关的目标函数， 表示)(的可行域。通常需采用数值法解决上述优化问题。而对于多目标位置估计的 CRLB，不同目标之间存在着互相关项，该项反映了不同目标对于发射信号之间正交性的干扰，因此上述的设计准则不再适用，且此时阵列优化准则的结构更为复杂。实际上，此时的阵列优化需要加入对目标方位的约束，这里令不同目标之间的时延差最大，此时不同目标对于发射信号qlklqlk的正交性可以近似地满足，即。0)()(*dttstslkklk根据附录 A 中 的矩阵定义，此时各分块J矩阵应为对角阵。利用简单的矩阵运算以及
15、式(11)中 CRLB 的定义，则此时多目标位置估计的CRLB 可以表示为(13)QCRLBLdiagCRB,1其中 11)()()( TTTDDqqqqqL。此时不同目标之间的干扰可忽略，也就是说，多目标位置估计的 CRLB 可以近似为 个单目标Q条件下的 CRLB 问题。因此这里联系 CRLB 与时延因子，设计了一种基于多目标参数估计的阵列优化准则，即最优系统设计应能同时使 CRLB 和目标之间的互扰最小。定义位置估计的 CRLB 为(14)12,qxq T1TDDC(15)yq ,考虑到时延因子越大，目标之间的互扰就越小，因此定义互扰因子 q(16)Qq qTT1)()(DD这里 。可以
16、看出 实质上反映的正是qCRLB 中不同目标之间的互扰。因此为满足 CRLB最小且目标之间干扰最小的原则，阵列优化准则应使得 满足(17)qyxqMNQ)(1logminarC4这里向量 表示系统设计的参数，T,21表示 的可行域。其中利用互扰因子来近似目标之间时延的影响。当布阵达到优化，时延增大时则互扰因子减小，在相同环境下其 CRLB 同样减小。因此此时的阵列配置要更为合理，这对于多目标阵列优化来讲是容易理解的。5 分布式相干 MIMO 雷达的阵列布型对于分布式MIMO雷达而言，其布阵理论的研究 8是建立在一个假设前提下的。假定（近似等距）：假设雷达天线可以布置在被探测的区域的四周，所有天
17、线与目标间的距离是近似相等的，记为 。R在这种情况下，待设计的系统参数是发射天线和接收天线相对于目标的角度，这实际上就是阵列布型问题。对于单目标分布式 MIMO 雷达而言，均匀对称布阵是最优的 9，如图 1(a)所示，而多目标此情况却并不是最优的，其布型也更为复杂。1、阵列布型需要考虑收发阵列对目标水平、垂直方向的敏感度。对于图1(b)与(c)中收发阵列分别与目标处于水平和垂直两种状态，从空间分集增益的角度出发，垂直布阵其法线方向与目标方位重合，这样一定程度上会损失增益，因此对于布阵而言，水平布阵效果更好。2、对于均匀非对称布阵，在单目标条件下属于次优布阵。但是对于多目标阵列优化准则，当阵列相
18、对于不同目标之间能够达到更大的时延差，相对于均匀对称布阵而言，此时布型即为优化阵列。3、不同目标互扰对相位的影响为，即 ，,210,ucqlk 1)2cos(qlkcf而非相位的影响则为 ，即,4uvqlk。可以看出，对于MIMO雷达而)2os(qlkcf言，均匀对称布阵已不再满足条件，且在性能上，均匀非对称布阵中肯定存在优化布型。4、对于多目标优化准则来说，当互扰因子，即各目标之间的距离 时，此时的0qcd时延差 满足不同目标对于发射信号的正交性，qlk即可将多目标问题近似为多个单目标位置估计问题，此时均匀对称布阵仍为最优布阵。反之，当各目标之间的距离 ，此时目标之间无法区分，d布阵也就失去
19、了意义。OT r 1T r 2R e 2R e 1R e 3T r 3R e 4R e 5D = 7 0 0 0 k mT a 1T a 2OT r 1T r 2R e 2R e 1R e 3T r 3R e 4R e 5D = 7 0 0 0 k mT a 1T a 2T a 1 T a 2OT r 1T r 2R e 2R e 1R e 3T r 3R e 4R e 5D = 7 0 0 0 k m(a)均匀对称布阵 (b)均匀非对称布阵(水平) (c)均匀非对称布阵( 垂直)图 1 分布式 MIMO 雷达阵列布型6 仿真及数值结果分析为了验证本文提出的基于多目标 CRLB 的分布式 MI
20、MO 阵列优化设计的可行性，这里给出了一些计算机仿真结果，并在不同实验条件下对几种阵列布型的性能进行了分析比较。仿真中，主要以发射和接收阵元数 为例，空间目3,5MN标数 ，且阵列布型以图 1 为参考。在笛卡尔2Q坐标下，以目标为圆心，半径为 的圆周上均km7匀布阵，发射站、接收站的初始角度分别为 和0，如图 1 所示，其中实圆点代表发射站，三角0点代表接收站位置，蓝色矩形代表空间目标。发射信号样式为频率扩展的高斯脉冲，数学形式可表示为，)21(2exp()1(4 ftMkTtjTtsk 其中 为信号脉宽， 为信号间的频率增量，信f5号载频 ，波长 ，有效带宽GHzfc2m5.1。空间第 1
21、个目标的位置为坐标原点，k0其它目标的位置依次为 。0,1qqyx仿真一：多目标位置估计的 CRLB本文对位置估计的CRLB 在阵列布型，目标数以及阵元自由度等做了几组仿真，其中信号脉宽，采样频率 。sT01.KHzfs2图 2 分别给出了不同收发阵元数下分布式相干 MIMO 雷达位置估计的 CRLB 曲线，由图(2-a)中看出，在高 SNR 条件下三种布型的 CRLB 中，均匀对称布型与非对称水平布型的参数估计性能比较接近，而垂直布型的估计性能则相对较差。由于两个目标之间的间距不大，阵列布型的范围也没有扩大，这也导致了两者的 CRLB 曲线几乎重合。由图(2-b)可以看出，随着阵元数增加，参
22、数估计的 CRLB 性能有些许提高，但相对于单目标情况 4，效果并不明显，这主要是随着阵元数增多，目标时延差相对增加，会影响估计性能。因此在性能达到要求的条件下，只需选择适合的阵元数即可，从而有效减少计算成本。由于仿真中的目标间距并没有达到时延差的要求，因此由图3 中给出的多目标与单目标的性能比较曲线可以看出，单目标估计的性能是要优于多目标条件，且其 CRLB 曲线能够略微区分，而多目标的 CRLB则由于互扰更加接近。由图(3-c)中可以看出，均匀非对称垂直布型估计性能最差。(a) 3 发 5 收 (b) 6 发 10 收图 2 分布式相干MIMO 雷达位置估计的 CRLB(a)均匀对称布阵
23、(b)均匀非对称布阵(水平) (c)均匀非对称布阵( 垂直)图 3 多目标与单目标位置估计的 CRLB图 4 给出了 CRLB 与雷达系统阵元自由度之间的关系。以均匀非对称水平布型为例，由图(4-a)可以看出，在相同的仿真环境下，对于单发多收(MISO)和多发单收(SIMO)系统而言，两者的性能几乎一样，这表明了在收发阵元数乘积一致，即系统自由度相同时，相同配置的系统性能几乎相同。6(a)1发50收与50发1收 (b)阵列自由度图4 多目标位置估计的CRLB(均匀非对称，水平)因此图(4-b) 分析了系统自由度对于性能的影响。在MISO 系统条件下，随着阵列自由度的提高，性能也随之提高，但曲线
24、趋近平缓，当系统自由度达到20时，即 ，此时系统性能已经达到20MN比较好的效果，因此无须过多阵元，以减少估计成本。仿真二：基于阵列优化准则的布型选取为了更好地说明阵列优化问题，仿真中选取了互扰因子以及优化准则在 SNR 和不同目标数条件下的仿真。图(5-a)分析了三组阵列布型互扰因子的误差曲线，由图中可以看出，仿真曲线随着SNR增大而减小，与CRLB 曲线不同的是，均匀非对称水平布型的互扰因子要明显小于均匀对称布型，且两者均优于非对称垂直布型，也就是说三种布型中，垂直布型效果是最差的。为了更好地比较对称与非对称布型的优劣，图(5-b)仿真了基于优化准则的布型效果，由准则要求得知，最小化优化因
25、子时的布型效果最好。由图中可以看出，两个布型效果接近，但是非对称水平布型的效果要略好于均匀对称布型，也就是说在多目标条件下，均匀对称布型不再是最优的，而均匀非对称水平布型相对性能更好。(a)目标之间的干扰 (b)阵列优化准则图 5 分布式相干MIMO雷达阵列优化7 结束语本文根据分布式相干 MIMO 雷达的工作原理和空间多目标信号模型，在目标位置估计的基础上，推导了多目标位置估计 CRLB，并给出了一致性证明。此外提出了基于多目标空间分集增益模型的多目标优化布阵准则，分析了三种常用分布式 MIMO 雷达的阵列布型，讨论了多目标参数估计的性能，论证了优化布阵存在的必然性，最终通过仿真得出了均匀非
26、对称水平布型为优化布阵7的结论，并给出了阵元数选取的标准以减少计算成本。附录 多目标 CRLB 中 FIM 矩阵的推导本节是在公式(3)与参量 定义的基础上，结合式(5)中的概率密度函数，推导 FIM 矩阵 。)(J根据 分块矩阵的定义形式(6)，其中矩阵 、)(J T和 又均表示为 维分块矩阵的形式，即Q(A1)QA 11因此根据对矢量偏导数的定义，矩阵 可表示为T(A2)qlkqfEJ )|(log1)(20rT其中 ，根据概率密度函数的定义式，8cSNR因此 的矩阵形式记为(A3) qf HqsqNMRqk )()(e22*0 RIT这里为了便于偏导数的计算以及表示形式的简化，定义对角矩
27、阵 ，矢量 表示为)(qqdiagee，且定义求TNMccq ff )2xp,)2exp(1导等价形式 。对于对角线元Aqlk素，可以等价于单目标情形 4，即 。21ckRffk其中 为发射信号的有效带宽，对于窄带信号而k言 。而不同目标之间的互相关矩阵 定1Rf qs义为 kldttstqklqlkqs ,0)()(*(A4)对于矩阵 而言，其每一个分块矩阵 均q为 维矩阵，通过概率密度函数定义形式为2(A5)qimreqq refEf )|(log1)|(l20121r同样其矩阵形式可以记为(A6)qNMReImI18022其中元素 定义为 。*)()(sTqe与矩阵 相似，矩阵 中的分块
28、矩阵均为维矩阵，其定义形式为N2(A7)qimlkq refE )|(log1202r矩阵形式可以记为(A8) qeRsqqrreqiimq *00)(I1, 参考文献1 E Fisher, A Haimovich, R S Blum, D Chizhik, L Cimini, and R Valenzuela. MIMO radar: An idea whose time has comeC. In Proc. IEEE Radar Conf., Apr, 2004, pp: 71-78.2 E Fishler, A Haimovich, R S Blum, L Cimini, D Chiz
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