1、1.计算方法实际计算时，由于受计算机字长限制而导致的误差称为 舍入误差 。2.x*=1.1021是经过四舍五入得到的近似数，有 5 位有效数字，相对误差限为0.5*10-4 。3.利用二分法求方程 1-x-sinx=0在0,1内的根要二分 15 次。 （0.5*10 -4）4.写出用 Newton 法建立求 的迭代公式 xk+1=(xk2+b)/2xk 。b5.使用矩阵分解法求解线性方程组时，平方根法适用于 系数矩阵为对称正定矩阵的方程组 ，追赶法适用于 系数矩阵为三对角阵的方程组 。6.设线性方程组 Ax=b，为 ，则|A| 2= 14.933 ,Cond(A)为7.051721x289 ，
2、若右端向量有扰动b=(0.01,-0.01) T，则解的相对误差限为 2.89 。7.求解数值积分的 Simpson 公式的代数精度为： 3 ，若将积分区间 n 等分，步长为 h, 则复化 Simpson 公式的截断误差为 h 的几阶无穷小,即 O(h ？ 4 )8.应用龙贝格求积公式求积分，其整个计算过程的特点是：将积分区间逐次分半，并将每一公式先后两次的计算结果按一定线性组合构成新的精度较高近似值。9.常微分方程初值问题的数值解法分为单步和多步，显式和隐式，下列方法属于哪一类？龙格-库塔法： 单步、显式 ，阿当姆斯内插公式： 多步、隐式 。10.若 s(x)= ，是以 0,1,2为节点的三
3、次样条函数，则)21(2)0(23xcbxb= -2 ，c= 3 。二、解答题（24 分，每题 6分）1.看书上或课件定义2.对于方程组-1 4 22 -3 105 2 1x1x2x3598得分试构造一收敛的高斯-赛德尔迭代格式，并说明收敛理由。解：将方程组变换为：系数矩阵为严格对角占优阵，则方程组存在收敛的高斯-赛德尔迭代格式。把方程组等价变形为： 1092351425815xxxx收敛的高斯-赛德尔迭代格式为： 109231534542851)()()1( )()1()( )()()( kkk kkk xxxx3.以线性拟合为例简述最小二乘原理。答：设近似函数为 y=a+bx，R= 。根据
4、极值理论，要使 R 达到最ni iiybxa12)(小，必有： ，0)(21ni iiybxaR)(1iniix由方程组可以解出 a，b 的值，从而得到拟和曲线的表达式。5 2 1-1 4 22 -3 10x1x2x38594.确定下列求积公式的常数 a，使其代数精度尽量高，并判定其具有的代数精度。 h hffahfdxf0 2)(0)(02)(解：当 f(x)=1 时： 11当 f(x)=x 时： 21202hxh 当 f(x)=x2时： ，解得：a=1/1203had当 f(x)=x3时： 31241220 3hxh当 f(x)=x4时： 454说明所求求积公式具有三次代数精度。三、证明题
5、（16 分，每题 8分）1.若 f(x)=(x-x0)(x-x1).(x-xn)，x i互异，证明当 k=n+1时 fx0,x1,.,xk=1。证明：由差商性质： ki kiiiiii xxxf0 110 ).()().(x1,.f0当 k=671所以至少分为 671 等份。3.（8 分）用欧拉预报-校正法求初值问题 在 x=0.3，0.6 处的数值解，0)(12y步长 h=0.3，小数点后保留 5位数字。解：由预报-校正公式有：h=0.3,n=0,1,2,. )(12)(20120 nnnyhy利用上述公式，及 y(0)=0得：315.0.10*23.)(210yy(0.3) y1=0.31
6、38 6902.428.0135.0*2.35.06)(212y(0.6) y2=0.69026一.填空 k1已知 =3.1415926若其近似值的绝对误差限为 0.510-5, 则该近似值是什么？ 2、对于充分接近 90度的 x, 为不损失有效数字，应对公式 1- sin(x) 做何变化？3、对于不动点迭代 Xk+1=(X k) , 若在不动点 x*满足 (x*)0，则该迭代格式是几阶收敛的 4、牛顿迭代法的特点是什么 ？ 对于单根，它是几阶收敛的？ 5、关于线形方程组系数矩阵的条件数 a、反映绝对误差放大倍数b、反映相对误差放大倍数c、条件数越大，方程组越呈“良”态6、写出两种非线形方程的
7、解法 7、追赶法适合解系数矩阵为 的方程组8、设 xi (i=0，1,2,3，4)为互异结点 ，li(x)为对应的插值基函数则： = = 403)(ixl 402)(i xlix9、什么是三次样条插值函数？，写出三个要点10、A= 1 a ,当 a= ，A 可做 T分解，1 2其中的元素满足 11、向量 X=（x1,x2,x3）T , 则 | x1+2x2|+| x1+x3| 是不是一种向量范数？ 二解答：1、 当 A有扰动 A 和 b有扰动 b 时，如何用矩阵 A的条件数去估计方程组的相对误差|x| / |x|?2写出 gauss列主元的算法描述三、解方程组已知方程组 Ax=b , 其中 A
8、= 1 2 b= 10.3 1 2(1)写出解此方程组的 Jacobi迭代公式，讨论用 Jacobi迭代解此方程组的收敛性(2)写出解此方程组的 Gauss-Seidel迭代公式，讨论用 Gauss-Seidel迭代解此方程组的收敛性四求形如 y=ae bx ( a, b 为常数，且 a0 ) 的经验公式，使它能和下表数据相拟合：xi 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00yi 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46已知对数表x 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46lnx 1.63 1.76 1.88 2.01 2.12五、已知函数表：x 1 2 4 6y 0
9、3 11 231、构造差商表，写出 Newton插值多项式2、写出 Laglanre插值多项式3、写出该插值多项式的余项六、 设 f (x) =g(x)h(x)证明 ： f x0 , x1 = g(x0) hx0 , x1 + g x0 ,x1 h(x1)七、用最小二乘法解矛盾方程组2x + 3y = 6x + y = 22x + y = 42 补充 Newton迭代的大范围收敛性定理，并完成所给问题（8 分）（1）Newton 迭代收敛性定理如下：设 f(x)在区间 a, b上二阶导数存在，且对于 x a, b满足： 则 Newton迭代法收敛于 f(x) =0 在 a, b上的唯一根。（2
10、）说明该定理每个条件的作用（3）图示 Newton迭代法的几何意义（4）推导用 Newton迭代法求正数 a的平方根的迭代格式2补充 Newton迭代的大范围收敛性定理，并完成所给问题（8 分）（1）Newton迭代收敛性定理如下： 设 f(x)在区间a, b上二阶导数存在，且对于xa, b满足：f(a)f(b) 0（2 分）则 Newton迭代法收敛于 f(x) =0在 a, b上的唯一根。（2）说明该定理每个条件的作用保证有根保证单根保证凸凹性不变-保证收敛（2 分）（3）图示 Newton迭代法的几何意义 （2 分） （4）推导用 Newton迭代法求正数 a的平方根的迭代格式 解：即求f(x)= x2-a=0的根 f(x)= x2-a f (x)=2x 由牛顿迭代公式：所以求正数 a的平方根的迭代格式为：
