1、四川大学本科（理工）习题课教学大纲课程名称：数学分析习题课 III课程性质：必修 课程代码：20101650本大纲主笔人：李世伦面向专业：数学各专业习题课指导书名称：数学分析习题课讲义 出版单位：高等教育出版社出版日期：2004 年 1 月（第 1 版） 编著：谢惠民 恽自求等一、课程学时学分课程总学时：34 学时 课程总学分： 0 学分二、习题课的地位、作用和目的数学分析是数学专业最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学专业本科一、二年级学生的必修课。数学分析习题课是数学分析课程的重要组成部分，是
2、学生学习这门课程的一个必要环节。通过对数学分析学习中各类习题的讲解，能使学生加深对课程内容的理解，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。三、 习题课课程基本要求其基本内容及基本要求如下：第一讲 平面点集与 R2 上的完备性定理 2 学时1基本内容 加深对内点，外点，界点，聚点，孤立点，开集，闭集，开域，闭域，区域等概念的理解，弄清这些概念之间的联系；进一步讨论与聚点定理有关的某些重要结论。2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解应用各个概念解题的技巧。最后，布置
3、一、二个课堂习题考察学生对各个基本概念的掌握情况。第二讲 多元函数的极限和连续性 2 学时1基本内容 加深对多元函数的极限与连续这两个基本概念的理解，加深领会重极限与累次极限的区别与联系；掌握多元函数连续性的充分条件，充要条件，必要条件；进一步学习和运用连续函数的性质。2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解掌握按定义，按性质判别多元函数连续性的技巧。理解多元函数的极限，连续性与一元函数的相应概念之间的异同。第三讲 多元函数的可微性与偏导数 2 学时1基本内容 加深对多元函数可微、偏导数等基本概念和它们之间的联系；熟练掌握求偏导数的方法；学习用偏导数来研究多元函数的性态，并注意由
4、此所得到的若干有意义的结论。2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解掌握多元函数的可微性，偏导数，连续性之间的联系与区别；熟练掌握多元函数的偏导数的求法，特别是复合函数求导的链式法则。第四讲 方向导数、多元函数的泰勒公式、极值 2 学时1基本内容 深入讨论方向导数与函数其它性质之间的关系；掌握求多元函数高阶偏导数和泰勒公式的方法；掌握求多元函数极值的基本方法。2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解求方向导数、高阶偏导数的方法与技巧。掌握多元函数极值存在的必要条件，条件极值、最值的求法，以及利用极值判别方法证明一些不等式。第五讲 隐函数(组) 和隐函数(组) 定理
5、2 学时1基本内容 深入理解隐函数(组)的概念；学会利用隐函数(组)定理判别隐函数(组 )的存在性；掌握隐函数(组) 的求导法则，并利用隐函数的导数来研究隐函数的性态；学习坐标变换的原理与应用。2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解掌握利用隐函数( 组)定理判别隐函数 (组) 的存在性的充分条件。掌握求隐函数(组)导数的方法。第六讲 偏导数的在几何上的应用 2 学时1基本内容 加深对切向量、法向量、空间曲线的切线和法平面、曲面的法线和切平面等概念的理解；掌握切线方程，切平面方程的求法。2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解掌握求切线方程，切平面方程等的技巧。学会
6、证明几何体的一些空间关系。第七讲 二重积分的概念与性质 2 学时1基本内容 从矩形区域上的二重积分入手，掌握一般区域上二重积分的概念；通过对二重积分与定积分的比较，加深对重积分概念的理解；二重积分的性质。2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解二重积分的概念；掌握可积的必要条件，充分条件。利用二重积分的性质解决实际问题。第八讲 二重积分的计算 2 学时1基本内容 掌握 X 型区域，Y 型区域，以及一般区域上二重积分的计算方法；掌握二重积分的换元公式，重点是极坐标变换。2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解各种区域上二重积分计算的技巧。重点掌握直角坐标系下，极坐标系
7、下二重积分的计算方法，学会一般的二重积分计算中的变量代换。第九讲 三重积分的概念和计算 2 学时1基本内容 加深三重积分概念的理解；掌握三重积分的基本计算方法。2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解三重积分计算的技巧。掌握直角坐标系下、柱面坐标系下，球面坐标系下三重积分的计算方法。第十讲 反常重积分 2 学时1基本内容 加深对无界区域上的反常重积分，无界函数的反常重积分等概念的理解，掌握两种反常重积分的计算方法。2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解两种反常重积分计算的技巧；学会判别反常重积分可积的方法。第十一讲 第一类曲线积分与第一类曲面积分 2 学时1基本内
8、容 弄清第一类曲线积分与第一类曲面积分的概念以及它们的物理和几何背景；掌握第一类曲线积分与第一类曲面积分的计算方法。2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解第一类曲线积分与第一类曲面积分计算的技巧；掌握第一类曲线积分与第一类曲面积分的性质。第十二讲 第二类曲线积分与第二类曲面积分 2 学时1基本内容 弄清第二类曲线积分与第二类曲面积分的概念以及它们的物理和几何背景；掌握第二类曲线积分与第二类曲面积分的计算方法。2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解第二类曲线积分与第二类曲面积分计算的技巧；掌握第二类曲线积分与第二类曲面积分的性质，理解两类积分之间的联系。第十三讲
9、Green 公式、Gauss 公式、Stokes 公式 2 学时1基本内容 加深 Green 公式、Gauss 公式、Stokes 公式的理解，弄清应用公式必须满足的条件；利用三个公式计算相应的积分，掌握在应用Green 公式、 Gauss 公式时采用的“挖补”技巧。2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解应用各个公式解题的技巧。掌握曲线积分与路径无关的条件。第十四讲 场论初步 2 学时1基本内容 加深对散度，旋度等概念的理解，弄清如何利用这些概念简化 Green 公式、Gauss 公式、Stokes 公式以及重积分与两类积分之间的联系。2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过
10、具体例子讲解应用各个概念解题的技巧；要求学生会证明第一和第二 Green 恒等式。第十五讲 含参变量的常义积分 2 学时1基本内容 含参变量的常义积分的定义，含参变量的常义积分的分析性质2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解计算含参变量的常义积分的技巧；掌握几种常用的求含参变量积分的方法。第十六讲 含参变量的广义积分 2 学时1基本内容 含参变量的广义积分的定义，含参变量的广义积分的一致收敛性，含参变量的广义积分的分析性质2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解判别含参变量的广义积分一致收敛性的技巧；掌握判别含参变量的广义积分一致收敛性的方法；掌握含参变量的广义积
11、分的连续性、可微性、可积性的条件与结论。第十七讲 函数和 函数 2 学时1基本内容 函数和 函数的定义， 函数的特征刻画和几个重要公式的证明。2基本要求 处理作业批改中发现的问题，通过具体例子讲解计算特殊函数积分的技巧；掌握 函数和 函数的关系，学会利用变量代换转化为 函数和 函数。参 考 书 目1， 数学分析（上、下），复旦大学数学系，陈传璋等编，高等教育出版社，第二版，1983 年2， 数学分析（上、下），陈纪修等编，高等教育出版社，第一版，1999 年3， 数学分析（一、二、三），周民强编著，上海科学技术出版社，第一版，2002年4， 数学分析简明教程（上、下），邓东皋、尹小玲 编 著，
12、高等教育出版社，第一版，1999 年5， 数学分析新讲（一、二、三），张筑生编著，北京大学出版社，第一版，1990年6， 数学分析（上、下），黄玉民、李成章编，科学出版社，第一版，1999 年7， 数学分析（上、下），欧阳光中、姚允龙编著，复旦大学出版社，第一版，1993 年8， 数学分析（上、中、下），吉林大学数学系编，人民教育出版社，第一版，1978 年9， 数学分析（上、中、下），华东师范大学数学系编，高等教育出版社，第三版，2001 年10，数学分析习题集，吉米多维奇11，数学分析习题精解（单变量部分），吴良森等 编著，科学出版社，第一版，2002 年13，数学分析习题精解（多变量部分），吴良森等 编著，科学出版社，第一版，2003 年
