1、智浪教育普惠英才文库数学思想方法和常用的解题技巧巩固训练一、选择题1若 ab1，P ，Q (lg alg b)，Rlg ，则 ( )lg alg b12 (a b2 )AR0 时，可作出 ylnx，yx 22x 的图象如图所示由图示可得函数 f(x)ln xx 22x(x0) 有两个零点当 x1sin x 1sin x1，故不能得到 xsin x0 时，ex e xex e x e2x 1e2x 1 2e2x 1函数为减函数，故选 A.答案 A6已知函数 f(x)sin (0)的最小正周期为 ，则 f(x)的图象的一条对(2x 3)称轴方程是 ( )Ax Bx 12 6Cx Dx512 3解析
2、 由 ，所以 1，所以 f(x)sin ，代入验证可知使 sin22 (2x 3)1 ，只有 x ，选 C.(2x 3) 512答案 C7已知函数 f(x)mx 2(m3)x1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数 m 的取值范围是 ( )A(0,1) B(0,1C(，1) D(，1解析 令 m0，由 f(x)0，得 x ，适合，排除 A，B.令 m1，由 f(x)130，得 x1 ；适合，排除 C.答案 D8已知三个互不重合的平面 ，m， n，且直线 m，n 不重合，由下列三个条件：m ，n ；m，n；m ，n.能推得mn 的条件是 ( )A或 B或C只有 D或解析 构建长方体
3、模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件；取平面 为平面 ADDA，平面 为平面 ABCD，则直线 m 为直线 AD.因 m，智浪教育普惠英才文库故可取平面 为平面 A BCD，因为 n 且 n ，故可取直线 n 为直线 AB .则直线 AD 与直线 AB为异面直线，故 m 与 n 不平行因此，可排除 A，C，D，选 B.答案 B9若动点 P，Q 在椭圆 9x216y 2144 上，且满足 OPOQ，则中心 O 到弦PQ 的距离 OH 必等于 ( ) A. B. 203 234C. D.125 415解析 选一个特殊位置(如图)，令 OP，OQ 分别在长、短正半轴上，由a216，b 29，得
4、OP4，OQ3，则 OH .根据“在一般情况下成立，125则在特殊情况下也成立”可知，答案 C 正确答案 C10在平面直角坐标系中，若不等式组Error!(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 2，则 a 的值为 ( ) A5 B1 C2 D3解析 如图阴影部分即为满足 x10 与 xy10 的可行域而直线axy10 恒过点(0,1)，故看作该直线绕点(0,1)旋转，当 a5 时，则可智浪教育普惠英才文库行域不是一个封闭区域；当 a1 时，封闭区域的面积是 1；当 a2 时，封闭区域的面积是 ；当 a3 时，封闭区域的面积恰好为 2.32答案 D11同时具有性质“最小正周期是 ，图象关于直线
5、 x 对称；在3上是增函数”的一个函数是 ( ) 6，3Aysin Bycos(x2 6) (2x 3)Cysin Dycos(2x 6) (2x 6)解析 对于函数 ysin 的周期是 4，所以排除 A；对于函数 ycos(x2 6)的周期为 ，而 cos2 1，故 x 是此函数的对称轴，但此(2x 3) 3 3 3函数在 上不是增函数，所以排除 B；对于函数 ysin 的周期 6，3 (2x 6)为 ，又 sin 1，故 x 是此函数的对称轴，又由(23 6) 32k 2x 2k ，得 k xk (k Z)，当 k0 时，知此函2 6 2 6 3数在 上是增函数，故选 C. 6，3答案 C
6、智浪教育普惠英才文库12设 0(ax)2 的解集中的整数恰有 3 个，则 ( )A10，解得 x2b，不12 23符合条件，从而排除 A，B.取 a4 代入原不等式得 15x22bxb 21，axaxln xx 3，令 g(x)xln xx 3，h(x )g(x)1ln x 3x 2，h(x) 6x ，1x 1 6x2x当 x(1，)时，h(x) 1.答案 (1，)15过抛物线 yax 2(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P，Q 两点，若线段PF 与 FQ 的长分别为 p， q，则 为_1p 1q解析 若用常规方法，运算量很大，不妨设 PQx 轴，则 pq ， 12a 1p4a.1q答案
7、 4a16定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，给出下列关于 f(x)的命题：f(x)是周期函数； f(x)关于直线 x1 对称；f (x)在0,1上是增函数； f(x)在1,2上是减函数；f(2)f (0)其中正确命题的序号是_解析 由 f(x1)f(x)，可得 f(x2) f(x1)1)f (x1)( f(x)f(x)，所以函数 f(x)是周期函数，它的一个周期为 2，所以命题正确；由f(x1)f(x)，令 x ，可得 f f ，而函数 f(x)为偶函数，所12 (12) ( 12)以 f f f ，解得 f 0，故 f 0.根据函数 f(x)在1
8、,0(12) ( 12) (12) (12) ( 12)上为增函数及 f 0，作出函数 f(x)在1,0上的图象，( 12)然后根据 f(x)为偶函数作出其在 0,1上的图象，再根据函数的周期性把函数图象向两方无限延展，即得满足条件的一个函数图象，如图所示 .智浪教育普惠英才文库由函数的图象显然可判断出命题正确，而函数 f(x)在0,1上是减函数，在1,2上是增函数，所以命题是错误的综上，命题是正确的答案 三、解答题17设函数 f(x)x aln x(aR)2x(1)当 a3 时，求 f(x)的极值；(2)讨论函数 f(x)的单调性解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，)当 a3 时，f(x
9、 )1 .令 f( x)0，解得2x2 3x x2 3x 2x2 x 1x 2x2x1 或 2.f(x)与 f(x)随 x 的变化如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，)f (x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)在 x1 处取得极大值，f(1)1；在 x2 处取得极小值， f(2)13ln 2.(2)f(x) 1 ，2x2 ax x2 ax 2x2令 g(x)x 2ax2，其判别式 a 28，当|a|2 时，0，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增2当 a0， g(x)0 的两根都小于 0，所以在(0，) 上，2f(x)0.故 f(x)在(0 ， ) 上单
10、调递增当 a2 时， 0，g(x)0 的两根为 x1 ，x 2 ，且2a a2 82 a a2 82都大于 0，f(x)与 f(x)随 x 的变化如下表：智浪教育普惠英才文库x (0，x 1) x1 (x1，x 2) x2 (x2，)f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 故 f(x)在 ， 上单调递增，在(0，a a2 82 ) (a a2 82 ， )上单调递减(a a2 82 ，a a2 82 )综上，当 a2 时，f(x )在(0 ，)上单调递增；当 a2 时，f (x)在2 2， 上单调递增，在(0，a a2 82 ) (a a2 82 ， )上单调递减(a a2 82 ，a a
11、2 82 )18已知各项均为正数的等差数列a n的公差 d 不等于 0.a12，设 a1，a 3，a 7 是公比为 q 的等比数列b n的前三项(1)求数列a nbn的前 n 项和 Tn；(2)将数列a n中与b n中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列 cn，设其前 n 项和为 Sn，求 S2nn1 2 2n1 32 n1 (n2，nN *)的值解 因为 a1，a 3，a 7 成等比数列，a n是公差 d 0 的等差数列，所以(a12d )2a 1(a16d)，整理得 a12d.又 a12，所以 d1，b 1a 12，q 2，所以b2b1 a3a1 a1 2da1ana 1(n1) dn1
12、，b nb 1qn1 2 n，所以 anbn(n1)2 n.(1)用错位相减法，可求得a nbn的前 n 项和 Tnn2 n1 .(2)新的数列c n的前 2nn1 项和为数列 an的前 2n1 项和减去数列b n的前 n 项和，所以 S2nn1 2n 12 2n2 21 2n1 2(2 n 1)(2n1 1)，所以 S2nn1 2 2n1 32 n1 1.19已知函数 f(x) x3ax 2(a 21)x (aR)13(1)若 x1 为 f(x)的极值点，求正数 a 的值，并求出 f(x)在0,4上的最值；智浪教育普惠英才文库(2)若 f(x)在区间(0,2)上不单调，求实数 a 的取值范围
13、解 (1)f(x)x 22ax a21，由题意，f(1)0，即 a22a0，解得 a0( 舍去) 或 a2.当 a2 时，f(x )x 24x3(x1)( x3)，令 f( x)0，解得 x3；令 f(x)b0) 的右焦x2a2 y2b2点 F，且交椭圆 C 于 A，B 两点，点 A，F，B 在直线 xa 2 上的射影依次为点 D，K，E.(1)若抛物线 x24 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点，求椭圆 C 的方程；3(2)连接 AE，BD，证明：当 m 变化时，直线 AE，BD 相交于一定点(1)解 由题意，易知 b ，椭圆 C 的右焦点 F(1,0)，3则 c1，所以 a2.故所求椭圆 C 的方程为 1.x24 y23
