正弦定理和余弦定理应用举例.DOC

1、正弦定理和余弦定理应用举例自主梳理1.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)(2)方位角一般指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如方位角 45，是指北偏东 45，即东北方向(3)方向角：相对于某一正方向的水平角( 如图所示)北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向南偏西等其他方向角类似(4)坡度角坡面与水平面所成的二面角的度数.坡面与水平面的夹角(如图所示)(5)坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 i tan (i

2、为坡比， 为坡角)hl自我检测1如图某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点 A，B，观察对岸的点 C，测得CAB75，CBA45，且 AB200 米则 A，C 两点的距离为( )A. 米 B100 米200 63 6C. 米 D200 米100 63 22如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A北偏东 10 B北偏西 10C南偏东 10 D南偏西 10灯塔 A、B 的相对位置如图所示，由已知得ACB80，CABCBA50，则 605010 ，即北偏

3、西 103在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是 30、60 ，则塔高为_m. 40034如图，某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45，沿倾斜角为 30的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 60，则山的高度 BC 为_ m. 500( 1)35ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD33，sin B ，cosADC ，求 AD.513 35解 由 cosADC 0 知 B ，35 2由已知得 cos B ，sinADC ，1213 45从而 sinBAD sin(ADCB)sinADCcos BcosADC sin B .451

4、213 35 513 3365由正弦定理得， ，ADsin B BDsin BAD所以 AD 25.BDsin Bsin BAD335133365用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型题型一 与距离有关的问题例 1 如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 )海里的两个观测点，现位于 A 点北3偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 20 海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/ 时，该救援船到达3D 点需要多长时间？实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正

5、确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当解 由题意知 AB5(3 )海里， DBA 906030，DAB90 4545，3ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定理，得 ，DBsin DAB ABsin ADBDB ABsin DABsin ADB 5(3 r(3)sin 45sin 105 10 (海里)5(3 r(3)sin 45sin 45cos 60 cos 45sin 60 3又DBCDBAABC 30(9060)60，BC20 (海里) ，3在DBC 中，由余弦定理，得 CD2BD 2BC

6、22BDBCcosDBC3001 200210 20 3 312900，CD30(海里)，需要的时间 t 1(小时)3030故救援船到达 D 点需要 1 小时变式训练 1 （1）要测量对岸 A、B 两点之间的距离，选取相距 km 的 C、D 两点，并3测得ACB75，BCD45，ADC30 ，ADB45 ，求 A、B 之间的距离.解:在ACD 中，ACD120，CADADC30 ，ACCD km.3在BCD 中，BCD45，BDC75，CBD60.BC . 3sin 75sin 60 6 22在ABC 中，由余弦定理，得AB2( )2 22 cos 753 (6 22 ) 3 6 2232 5

7、，3 3AB (km)， A、B 之间的距离为 km.5 5（2）某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25方向，从 A 出发有一条南偏东 35走向的公路，在 C 处测得与 C 相距 31 千米的公路上 B 处有一人正沿此公路向 A 走去，走 20 千米到达 D，此时测得 CD 为 21千米，求此人在 D 处距 A 还有多少千米？解 如图所示，易知CAD2535 60，在BCD 中，cos B ，312 202 21223120 2331所以 sin B .12331在ABC 中，AC 24，BCsin Bsin A由 BC2AC 2AB 22AC ABcos A，得 AB224AB3850，解

8、得 AB35，AB 11(舍)，所以 ADABBD15.故此人在 D 处距 A 还有 15 千米点评： (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解 (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个( 或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形中的解有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解 （3）如图，在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A 处( 1)海里的 B 处有一艘走私船 .在 A 处北3偏西 75方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 海里/小时的

9、速度追截走私船，此时走3私船正以 10 海里/小时的速度，以 B 处向北偏东 30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点) 走私船，则 CD10 t 海3里，BD10t 海里， 在ABC 中，由余弦定理，有BC2AB 2AC 22AB ACcos A( 1)22 22( 1)2cos 1206.3 3BC 海里.6又 ，BCsin A ACsin ABCsinABC ，ACsin ABC 2sin 1206 22ABC45，B 点在 C 点的正东方向上，CBD9030 120， 在BCD 中，由

10、正弦定理，得 ，BDsin BCD CDsin CBDsinBCD .BDsin CBDCD 10tsin 120103t 12BCD30，缉私船沿北偏东 60的方向行驶.又在BCD 中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即 10t .6t 小时15 分钟.610缉私船应沿北偏东 60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟.题型二 测量高度问题例 2 如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB.解 在BCD 中，CBD.由正弦定理得 ，BC

11、sin BDC CDsin CBD所以 BC ，CDsin BDCsin CBD ssin sin( )在 RtABC 中， ABBCtanACBstan sin sin( )变式训练 2 (1)某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进 40 米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为 30，求塔高解由题意可知，在BCD 中，CD40，BCD30， DBC135，由正弦定理得，CDsin DBC ，BDsin BCDBD 20 .40sin 30sin 135 2过 B 作 BECD 于 E，显然当人在 E 处时，测得塔的仰角最大，有BEA30.在 RtBED 中，又BDE1801353

12、015.BEDB sin 1520 10( 1)26 24 3在 RtABE 中，ABBEtan 30 (3 )(米)103 3故所求的塔高为 (3 )米103 3(2) 如图，某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西 60的方向以每小时 6 千米的速度步行了 1 分钟以后，在点 D 处望见塔的底端 B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB， 的最大值为 60.(1)求该人沿南偏西 60的方向走到仰角 最大时，走了几分钟；(2)求塔的高 AB.解 (1)依题意知，在 DBC 中，BCD30 ，DBC 18045 135，CD6 000 100( 米)，D 180 135301

13、5 ，160由正弦定理得 ，CDsin DBC BCsin DBC CDsin Dsin DBC 100sin 15sin 135100 6 2422 50(r(6) r(2)250( 1)(米).3在 RtABE 中， tan .ABBEAB 为定长，当 BE 的长最小时， 取最大值 60，这时 BECD.当 BECD 时，在 RtBEC 中，ECBCcos BCE50( 1) 25(3 )(米).332 3设该人沿南偏西 60的方向走到仰角 最大时，走了 t 分钟.则 t 60 60 (分钟).EC6 000 25(3 r(3)6 000 3 34(2)由(1)知当 取得最大值 60时，B

14、ECD，在 RtBEC 中，BEBCsinBCD，ABBEtan 60BCsin BCDtan 6050( 1) 25(3 )(米).312 3 3即所求塔高 AB 为 25(3 )米 .3题型三 几何中的正、余弦定理应用问题例 3 如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB5，AC9 ，BCA 30，ADB45，求 BD 的长.探究提高 要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形.在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理.解 在ABC 中，AB5，AC 9，BCA 30.由正弦定理，得 ，ABsin BCA ACsin ABCsinABC .ACsin BCAAB 9sin

15、305 910ADBC，BAD 180ABC ，于是 sinBAD sinABC .910同理，在ABD 中，AB 5，sinBAD ，910ADB45，由正弦定理： ，ABsin BDA BDsin BAD解得 BD .故 BD 的长为 .922 922变式训练 3 如图所示，ACD 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，BD 交AC 于 E，AB2.(1)求 cosCBE 的值；(2)求 AE.解: (1)因为BCD9060150，CB ACCD，所以CBE15，所以 cosCBEcos(45 30) .6 24(2)在ABE 中，AB2，由正弦定理 ，AEsin(45 15

16、) 2sin(90 15)故 AE .2sin 30cos 15 1cos 15 6 2四 三角形中最值问题例 4 某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度 h4 m，仰角ABE，ADE.(1)该小组已测得一组 、 的值，算出了 tan 1.24，tan 1.20，请据此算出 H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位：m)，使 与 之差较大，可以提高测量精度若电视塔实际高度为 125 m，试问 d 为多少时， 最大？解(1)由 AB ，BD ，AD 及 ABBD AD，Htan htan Hta

17、n 得 ，Htan htan Htan 解得 H 124(m)htan tan tan 41.241.24 1.20因此，算出的电视塔的高度 H 是 124 m.(2)由题设知 dAB，得 tan . tan .Hd H hd所以 tan()tan tan 1 tan tan ，hd H(H h)d h2H(H h)当且仅当 d ，H(H h)d即 d 55 时，H(H h) 125(125 4) 5上式取等号，所以当 d55 时，tan( )最大5因为 00，0)，x0,4 的图象，且图象的最高点为 S(3,2 )；赛道的后一部分为折线段 MNP，为保证参赛运动员的安全，限定3MNP120.

18、(1)求 A， 的值和 M，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道 MNP 最长？解方法一 (1)依题意，有 A2 ， 3，又 T ， .y2 sin x.3T4 2 6 3 6当 x4 时，y2 sin 3， M (4,3)又 P(8,0)，MP 5323 42 32(2)如图，连接 MP，在MNP 中，MNP120，MP5.设PMN ，则 060.由正弦定理得 ，MPsin 120 NPsin MNsin(60 )NP sin ，MN sin(60)，1033 1033NPMN sin sin(60)1033 1033 sin(60)1033 (12sin 32cos ) 1

19、033060，当 30 时，折线段赛道 MNP 最长即将PMN 设计为 30时，折线段赛道 MNP 最长1解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等(2)根据题意画出示意图(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍2应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等 练习一一、选择题1如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，

20、那么它的顶角的余弦值为 ( )A. B. C. D.518 34 32 782如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB 105 后，就可以计算出 A、B 两点的距离为 ( )A50 m B50 m2 3C25 m D. m225223ABC 的两边长分别为 2,3，其夹角的余弦值为 ，则其外接圆的半径为 ( )13A. B. C. D9922 924 928 24某人向正东方向走 x km 后，向右转 150，然后朝新方向走 3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么 x 的值为 ( )3A. B2

21、 C. 或 2 D33 3 3 35一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60方向，另一灯塔在船的南偏西 75方向，则这只船的速度是每小时 ( )A5 海里 B5 海里 C10 海里 D10 海里3 3二、填空题6把一根长为 30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形 ABC的两边 和 B，且120BC，则第三条边 A的最小值是_ _cm1537一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60，行驶 4h后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 ，这时船与灯塔的距离为 km30 2km8某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为 15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30，第一排和最后一排的距离为 10 米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为 50 秒，6升旗手应以_0.6_米/秒的速度匀速升旗三、解答题9.如图，在ABC 中，已知B45，D 是 BC 边上的一点，AD10 ，AC14，DC6，求 AB 的长.解 在ADC 中，AD10， AC14，DC 6，由余弦定理得 cosADC ，AD2 DC2 AC22ADDC 100 36 1962106 12