1、求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例 1 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。a
2、nn1n23aa1an解： 两边除以 ，得 ，则 ，n123a 23n123n1故数列 是以 为首，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得n1a23，所以数列 的通项公式为 。23)1(2ann nn2)13(a二、利用累加法求通项公式例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 1an2a1n， an解：由 2n1得 an1则 1)n(2)1( 1)n(2 1)2()( 所以数列 的通项公式为an2na例 3 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 3a12an1n， an解：由 32n1得 an1则 1232n1nn a)()a()a()( )(33(2 3121n1 1
3、 所以 nan 例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 3a12a3n1n， an解： 两边除以 ，得23an1 n，1nn1则 ，1232n a)()a()a()a( 1nn32a3故 3a)()3a()3a()a3(a 12n22n11nn )1()()2()( 22n1nn 333122n1n因此 ，nnn 21)()(2a 则 2133nn三、利用累乘法求通项公式例 5 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 3a5)1n(21n1， an解：因为 ，所以 ，则 ，3a5)(21n1n， 0nn15)(2a则 1232n1n aaa 35)1(25)(5)(5)(2 2
4、n1 33n12)n(11n 所以数列 的通项公式为an!5232)1(n四、利用待定系数法求通项公式例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 6a53a21n1n， an解：设 )x(5xn11n将 代入式，得 ，等式两边消去n13a2 nn1n5x2a5x3a2，得 ，两边除以 ，得 ，则 x=1，代入式，nan15x5 得 )a(2n1n由 0 及式，得 ，则 ，则数列56a105an25an1是以 为首项，以 2 为公比的等比数列，则 ，故n1 1nn。1n52a例 8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 1a425a3n1n ， an解：设 )yx(y2xn11n
5、将 代入式，得45a3n1n )y2xa(3y2xn1nn 整理得 。4)5( nn令 ，则 ，代入式，得y34x225)a(5an1n1n 由 及式，01321得 ，则 ，5an 325an11n故数列 是以 为首项，以 3 为公比的等比数列，2n 11因此 ，则 。1n35a 253annn例 9 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 1a422n1 ， an解：设 z)(y)(x21nza(22n将 代入式，得5n432n1 z)1(y)(xa222n ，则zynx(2nz2ynx2a )5zyx()4()3(n 等式两边消去 ，得 ，na z2ynx2)5zyx(n)42()3(
6、 则得方程组 ，则 ，代入式，得z25yx42180y3x)1n(0)(3a21n )n3a(2n由 及式，得0821 01n3a2n则 ，故数列 为以28a1)()(2n1 18n03a2n为首项，以 2 为公比的等比数列，因此30321，则 。1nn28a 18n03a4n五、利用对数变换法求通项公式例 10 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。an5n1na3271an解：因为 ，所以 。在 式两边取常73215n1n， 01nn， 5n1na32用对数得 2lgalgl 设 )yxn(l5y)1n(xalg111将式代入 式，得 ，两边消去11 )yxna(lg5y)(2lg3a
7、lgn 并整理，得 ，则nalg5 xn5yx)3(，故y52lgx3l42lg163x代入 式，得11 l)n(lal1n42lg634g(l5n12由 及 式，042lg63l7l1al1 12得 ，042lg63n4lgl 则 ，542lg163n4lgal)(n1 所以数列 是以 为首项，以 5 为公比的llln 42lg163l7g等比数列，则 ，因此1n5)4(l2163g4ag 2lg63nl5)l3l7(algnn 1n4645)2lg3llg7( )l()237lg(2lll 4164n141644164 1n4164)l(，则237g)3g( 51n5n5n51n1n nn
8、 。456n45n27a六、利用迭代法求通项公式例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 5a12)n(31， an解：因为 ，所以n2)1(3n1n2n1n3)1(323aa2)1n(1n )1n(2)3n(211n )1n(2)3n(3 )(2)1n(2!3)()(n)1(3aa 又 ，所以数列 的通项公式为 。51an 2)1n(1n!35a七、利用数学归纳法求通项公式例 12 已知数列 满足 ，求数列 的通项an 98a)3n2()1(8a1n1 ， an公式。解：由 及 ，得22n1)3n()1(8a98a12212 )()(a54984982534)32()1(a238
9、1049)32()(a34由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。2n)(a（1）当 n=1 时， ，所以等式成立。98)12(a1（2）假设当 n=k 时等式成立，即 ，则当 时，2k)1(a1kn22k1)3k()1(8a22222222)3k()1(1k)k(8)()()(3k11k )()()(221)()(3由此可知，当 n=k+1 时等式也成立。根据（1）（2）可知，等式对任何 *Nn八、利用换元法求通项公式例 13 已知数列 满足 ，求数列 的通项an 1a)241a(16nnn ， an公式。解：令 ，则nna241b)b(24nn故 ，代入 得)(a1n1n )a241a
10、16nnnb)(246)b(24nn1n即 n1)3(因为 ，故0a24bnn0a241b1nn则 ，即 ，3n13n1n可化为 ，)3b(21nn所以 是以 为首项，以 为公比的等比3bn 23143a2411 21数列，因此 ，则 +3，即 ，得nn)(2n)(b 3)(a4n。3)(4132ann九、利用不动点法求通项公式例 14 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 4a142n1n， an解：令 ，得 ，则 是函数x4210x2 3x21，的两个不动点。因为2)x(f。 ，所以数列91327a6)14(32a13a4213a nnnnn1n a2n是以 为首项，以 为公比的等比
11、数列，故 ，3an1 93a2n1n)9(则 。3)9(21n例 15 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 2a3271n1， an解：令 ，得 ，则 x=1 是函数 的不动点。3x270x4)x(f7413因为 ，所以3a251a1nnn ，所以数列 是以1an 521a)21(5a5a32 nnnn 1an为首项，以 为公差的等差数列，则 ，故评注：本1 2 52)(n题解题的关键是先求出函数 的不动点，即方程 的根 ，进而可7x413)(f3x271推出 ，从而可知数列 为等差数列，再求出数列 的通521an1n an an项公式，最后求出数列 的通项公式。n十、利用特征根法求通项公式例 16 已知数列 满足 ，求数列 的通项公an 1a)2n(a321n1 ， an式。解： 的相应特征方程为 ，解之求特征根是)2(a3a1n1n 032，所以 。5251， 5c5ca21n由初始值 ，得方程组1a222111)53(c)53(c求得 52c1从而 。nnn )253(5)23(a
