1、概率论与数理统计期末复习题一、 填空题：1. 两封信随机投入 4个邮筒，则第一个邮筒只有一封信得概率为 。2. 设 且 , 则 。,31)(,2)(BPAA)(BP3. 已知 则 。,) cba(A4. 设 ，则 .2.0(,6.0)(,7.)( )|5. 一批产品 100件，其中 95件正品，5 件次品，从中逐件抽取，则第二次抽到次品的概率为 。 6.袋中有 4只白球与 3只红球，每次取一只球，不放回地去两次，设 表示第 次取到白iAi球（ ） ，则 。 2,1i )(12AP7. 设随机变量 的分布函数为 则 。X),0(xexF8. 设随机变量 的概率密度为 ，则 。 ,21 ,)(ot
2、herf 2/34/1XP9. 设二维随机变量 的联合密度为 ，则 。),(YX ,0,)(tyxCyxf C10. 设随机变量 服从参数为 的泊松分布，则 。 21)32XE11. 设 为随机变量，且 则 , ,1)(,4(,7( YDYDXY。 12. 设随机变量 与 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则 _.XY21)23(13. 设随机变量 的期望为 ，方差为 ，试用切比雪夫不等式估计概率0EX。)146(P14. 设 的联合概率分布如下表所示。,YXX Y 1 2 31 1 / 6 1 / 9 1 / 182 1 / 3 a bX Y 1 2 31 1 / 6 1 / 9 1 /
3、182 a 2 / 9 bX Y 1 2 31 6 1 / 9 1 / 182 1 / 3 a bX Y 1 2 31 6 1 / 9 1 / 182 1 / 3 a bX Y 1 2 3若 与 相互独立，则 ， 。XYab15.若 ，则 。)1,0(32NX16. 设随机变量 ，则 。 U)2(DE17设随机变量 的分布函数为 ，则 ， X0)(2xBeAxFxX AB。18. 设随机变量 的概率密度为 ，其中 为常数，则 。Xotherxkf06,321)(kk19. 设随机变量 相互独立且同分布，它们的期望为 ，方差为 ，令 ,21n a2b，则对于任意正数 ，有 。niiXY1)|(|
4、limaYPnn20. 设随机变量 ，且 ，则 。B(8,0.5)102X(E21.某正态总体的方差 ，从中抽取 个个体，其样本平均数 ，则总体期4262.5x望 的 的置信区间为 .（ ）%90 961 ,6.10.05.u22. 在假设检验中犯第一类错误（也称“弃真”错误）是指 。23. 设总体 ， 为其样本，则 的矩估计量 .),(pnBXnX,21 pp24. 设总体 为简单随机样本，则对于假设检nXN, 21已 知 ， 且验问题 ，在显著水平 下，应取拒绝域 0100:,:HW。25. 随机变量 与 相互独立且都服从 ，则 = 。XY)1,(N)0,(YP二、选择题： 1. 从一批产
5、品中任取 5件，事件 表示“这 5件中至少有一件废品” ，事件 表示“这AB5件都是合格品” ，则 表示（ ） 。B必然事件 不可能事件 抽取 5件均为合格品 所抽 5件均为废)(A)()(C)(D1 1 / 6 1 / 9 1 / 182 1 / 3 a bX Y 1 2 31 1 / 6 1 / 9 1 / 182 1 / 3 a b品2. 设 为随机事件，且 ，则 （ ） 。BA, AB(A) (B) (C) (D) ABBA3. 设随机变量 的概率分布为 ，则 （ ） 。X),210(!)(2keXP)2(XE(A) (B) (C) (D) 02464. 设二维随机变量 的概率密度为
6、，则 ( ),(Y),(yxf1(YP（A） （B）dxyf,1 dxyf,1（C） （D）f),(1 fx),(15. 随机变量 的概率密度为 ，则常数 （ ） 。Xotheraxf03)(2 a1 )(A1 B21 )(C2 )(D6. 设随机变量 ，且 ，则（ ）),(pn8.6 ,4)(XE25.0,6 )( 15.0,3)(pnB8C 2D7. 对于事件 ，下列等式不成立的是（ ） 。BA,(A) (B) 若 则 。)()(C ,AB(C) (D) )(8. 某人向同一目标连续独立地射击次，他第次击中目标的概率为 1ip，以 表示此人次射击中命中目标的次数，则 （ ） 。)3,21(
7、iX )(XP(A) (B) (C) (D) 42414129. 设随机变量 独立同分布，且其方差为 ，令随机变量)( ,1nX 0X Y 1 2 31 1 / 6 1 / 9 1 / 182 1 / 3 a b，则（ ） 。niiXY1(A) (B) 21)(nYD 21)(nYXD(C) (D) 213)(X 214)(10. 随机变量 的分布律为：是 的分布函数，则 。)(xFX)1(F(A) (B) (C) (D) 不能确定1.02.08.011. 设 是来自正态总体 的一个样本， ，n,2 ),2(NX16iiX，则 （ ） 。2162)(5XSii84S)tA)16( tB)15(
8、 2C)1,0( ND12 是来自总体 的一个样本， ，n,21 ,2NX61iiX,则 （ ） 。2612)(5XSii84)tA)16( tB)15( 2C)1,0( ND13.在假设检验中，记 为备择假设，则称为犯第二类错误的是（ ） 。1H(A) 真，接受 (B) 不真，接受 1 1H1(C) 真，拒绝 (D) 不真，拒绝 114设总体 ， 已知而 为未知参数， 为样本，记),(2NXnX,21，又 为标准正态分布的分布函数，已知nii1x9.0)28.(,975.0)6.(X Y 1 2 31 1 / 6 1 / 9 1 / 182 1 / 3 a b-2 -1 0 2Pab.则 的
9、置信水平为 置信区间是（ ） 。95.0)975.0,7( ) nXnA )96.1,96.1( ) nXnB)28.1,28.1( )C )0.,0.( )D15. 设 为互为对立事件等价于（ ） 。BA,互不相容 相互独立 )( BA, )(构成对样本空间的一个划分C D三、是非题1. 随机变量 的分布函数为 ，则 。 （ ）X)(xF)()(aFbXaP2. 若二维随机变量 的相关系数不为零，则必有 。 （ ）,(Y0,YCov3. 若事件 与 互不相容，则事件 和 必定相互对立。 （ ）ABAB4. 事件 与事件 互斥，则 。 （ ）0)(P5.设随机变量 的分布函数为 ，则 。 （
10、）X12)(xxF25.0)(XP6. 若事件 与 相互对立，则事件 和 不一定相互独立。 （ ）ABAB7. 概率为零的事件必是不可能事件。 （ ）8. 概率为 1 的事件可能不是必然事件。 （ ）9. 若 ，充分必要条件是 。 （ ）0),(YXCov )()(YEX10. 随机变量 与 不相关的充分必要条件是 （ ）0Y四、计算题1. 箱中装有 10 件产品，其中有 1 件次品，在 9 件合格品中有 6 件一等品，3 件二等品，现从箱中任取 3 件，试求：（1） 取得的 3 件都是合格品，但仅有 1 件是二等品的概率；（2） 取得的 3 件产品中至少有 2 件是二等品的概率。2. 已知
11、， 的概率密度为)4,2(1UX2 otherxkxfX024)(2（1）先给出 与 的值1E)(1D（2）利用 与 的值来计算 与 的值)(k)(2E（注：若用其他方法计算 与 且计算正确的只给一半分数）k)(2X3.设二维随机变量 的概率密度为 ，),(YotheryxAeyxfy00,2.),(5求：（1）常数 ；（2） 的边缘密度函数 ；A, )(,fYX（3）问 与 是否相互独立？并说明理由；（4）XP4. 袋中有标号为 0、1 的球各是 3 个。现从中随机有放回地取两次，每次取一球。设 表X示第一次取到球的号码数； 表示第两次取到球的号码数。Y求：（1） 与 的联合分布律(2) 问
12、 与 是否相互独立？并说明理由。 （3） X ),(YXCov5.一项血液化验，以概率 95%将带菌病人会检出阳性，但也有 1%的概率将健康人误检为阳性。已知该种疾病的发病率为 0.5%，试求：已知某人被检为阳性的条件下，他确实为带菌病人的概率是多少？ 6. 设随机变量 的分布律为：XX 1 2 3P 0.3 0.4 03而随机变量 2Y求：（1） （2）);(,DXXY7.已知随机变量 的分布函数为 )( ,arctn)( xBAxF求：（1）常数 ；（2） ；（3）函数 的密度函数BA,|P12XY)(yfY8. 设二维随机变量 的概率密度函数为 ，),(YXotheryxaxfy0,求：
13、（1）常数 ；（2）计算 ；（3）a)(,yfxYX )1(YXP9. 已知投资一项目其收益率 是一随机变量， 的分布律为：RRR -2% 1% 2% 3% 4% 5%P 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1一位投资者在该项目上投资 100万元，求他预期获得多少收入？收入的方差是多少？10. 设 ，求 的概率密度。otherxxfX013)(2 12XY11. 设总体 的概率分布为：X -1 1 3P2)(2)(其中 为未知参数。现抽得样本 ，求 的矩估计值与极大似然估计值。,3,21xx12. 已知总体 具有概率密度X )0( ,01)(1otherxf求（1） 的矩估计量；（2）
14、 极大似然估计量。 （13. 袋中有标号为 1、2、3、4 的球各 2个。现从中随机任取两个。求：（1）取到两球的号码数之差的绝对值 的分布律； (2) 的分布函数XX)(xF（3） )|(XP五、应用题1. 准备将一批同型号的螺丝钉进行装盒，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是 ，标准差是 。若以概率 99%的可靠性要求一盒螺丝钉的总重量不超过g20g2，那么一盒至多装几颗该型号的螺丝钉。 （ ）k5 9.0)3.2(2. 在保险公司里有 5000 名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在 1 年中每个人死亡的概率为 0.005，每人参加保险的人在 1 月 1 日须交 160
15、 元保险费，而在死亡时其家属可以从保险公司领取 20000 元赔偿金。求：（1）保险公司亏本的概率；（2）保险公司年利润不少于 20 万元的概率。 （利用中心极限定理作近似计算）3. 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取 25位考生的成绩，算得平均成绩为60分，样本标准差为 10分，问在显著性水平 下，是否可以认为这次考试全体考生05.的平均成绩为 70分？并给出检验过程【附表】 0281.)36( ,01.2)35( ,96.1 ,645.1 025.02.02.05. ttzz参考答案一填空题：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（ 6） ；（7） ；（8） ；8b
16、c162011327（9） ；（10 ） ；（11） ；（12） ；（13） ；（14） ；（15）4289,ba；（16） ；（17） ；（18） ；（19） ；（20） ；)25.0,1(N3ba1,BA18（21） .6 ,37.4（22）在原假设 实际为真时，可能犯拒绝 的错误。 （23） ；（24）0H0HnX|2zW（25） 41二单项选择题（1） ；（2 ） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6 ） ；（7） ；（8） ；BABACDC（9） ；C（10） ; (11) ; (12) ; （13） ；（14） ；（15）DCB三是非题（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
17、；（7）；（8）；（9）；（10）四计算题（1） ；5,8（2） ；913)(,62XEk（3） ； ； ； 与 相互独立；5AotherxxfX02.5)( otheryyfY05)(XY1)(eYXP（4）与 不相互独立；XY201),(YXCov（5）32.31%； （6） ；36.9)(;6.0)(D9.（7） ； ；1,2BA1)|XP )(,)1(42)( yyyfY（8） ； ； ；a0)(xexfX 0)(efyY5.012)(YP（9） （ 表示投资收入）4.3)(,.DEX（10） otheryyfY0121)(（11） 估计值 ；;43X6L（12） ；21X21lnii
18、Lx（13） （1）X 0 1 2 3P7371YX 01ip0 0.2 0.3 0.51 0.3 0.2 0.5jp5.（2） ； （3）1276410)(xxxF 43)1|(XP五应用题（1）至多装 246 颗；（2）亏本概率约等于 0.0013；利润不小于 20 万的概率约等于 0.8413（3）提出假设检验 70: ,70:10H在 成立下，选择统计量0H)24(5/tSXT在显著性水平 下，查 分布表得临界值 ，从而得到拒绝05.t 0639.2)(025.t域 639.2 |tW由样本观测值计算统计量 的观测值T52/1076|t因为 ， 所以拒绝 。即认为这次考试全体考生的平均成绩不再是 70)24(|05.t0H分。
