1、智浪教育普惠英才文库1995 年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有 6 个小题，每一个小题都给出了以（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D）为代号的四个答案，其中只有一个答案是正确的，请将正确的答案用代号填在各小题的括号内。1已知 ， ， 则有（ ）53a4b35c（A） ；（B） ； （C） ； （D）abbacbca2方程组 的正整数解的组数是（ ）26yzx（A）1； （B）2； （C）3； （D）43如果方程 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实0)(mx数 m 的取值范围是（ ）（A） ； （B） ； （C） ； （D）10431m143m4如果边长顺次为 25，3
2、9，52 和 60 的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（ ）（A）62 （B）63 （C）64 （D）655AB 是圆 O 的一条弦，CD 是圆 O 的直径，且与弦 AB 相交，记，则（ ）ABDCSNSM2.|（A） ； （B）M=N； （C） （D）M，N 的大小关系不确定6设实数 a，b 满足不等式 （ ）|)(| baa（A） 且 （B） 且00（C） 且 （D） 且二、填空题1 在 12，2 2，3 3，95 2 这 95 个数中，十位数字为奇数的数共有_个。2 已知 是方程 的根，则 的值等于_。041x 2345213 设 为正实数，则涵数 的最小值是_。xxy24 以线段 A
3、B 为直径作一个半圆，圆心为 O，C 是半圆周上的点，OC 2=ACBC，则CAB=_。第二试一、已知ACE=CDE=90，点 B 在 CE 上，CA=CB=CD，过 A，C，D 三点的圆交 AB 于F（如图） 。求证：F 为CDE 的内心。智浪教育普惠英才文库二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点。试在二次函数的图像上找出满足 的所有整点（ ， ）59102xy |xyxy二、试证：每个大于 6 的自然数 n 都可表示为两个大于 1 且互质的自然数之和。1995 年全国初中数学联赛试题答案第 一 试一、选择题1 （C），115243)(3a，46b，1135)(5c .a2 （
4、B）第二个方程可以改写为.23)(zyx因为 x+y2,且 23 是质数，故 z=1， x+y=23，由此得 y=23-x，将此代入第一个方程得，6)1(23即 .04x解之得 , .12因此，原方程组的两组解为：, , ；1x1y1z, , .20323 （C）因为 有两根，故 0，得 m1.原方程的三根为 ，2mx41x， .显然， x2 x1 x3.注意到x12 13 21x智浪教育普惠英才文库，由此得 .31xm434 （D）设 ABCD 为圆内接四边形，且 AB=25， BC=39， CD=52， DA=60.圆内接四边形对角互补，故 .连接 BD，由余弦定理（如图） ，AC80AD
5、BBcos22 CDBCcos22即 60565 A539539解得 0)22(cosA故 为圆的直径. .BD9065B故圆周长为 .655 （B）如图，作 于 E， 于 F，延长 CF 交圆 O 于 G，连接 DG，因 CD 是直径，AC故 是直角，从而 EFGD 是矩形， .不妨设 ，作 于 G，GCDFCCH于 L，则 H 是 CG 的中点，于是O.LHF2因此 DABCSM )(2ABE.O6 （B）若 a,b 满足题设的不等式.则有，22)(baba经化简整理得 .由此知 ， .从而 ，0abab上式仅当 ， 时成立，从而00二、填空题19在 12,22,102中，十位数字是奇数的
6、只有 ， .两位数的平方可以表164232示为 ，它的十位数的奇偶性与 b2十位数字的奇偶性相同.20)0( baba因此， b 只能取 4 与 6.即相邻的每 10 个数中有两个数的十位数字是奇数.因此，题目给的95 个数中，十位数字是奇数的共有 19 个.220,)1)(1(23 aa智浪教育普惠英才文库.22345 )1(aaa a 满足等式 ，042 ， .1所以 22345 )1(aa.0)4(231.1)()1()( 222 xxxy当 x=1 时， 与 同时取最小值 0，因此 y2)1(2)(x的最小值为 1.475或 15如图，因 AB 是直径，故 ， .由 得90ACBABC
7、sinBCO2.BCOA在 中，由正弦定理得OCsinsin.21AB 或 .30A5在等腰 中，OC或 .7218B1第 二 试一、证明 ， ，BCA90 .45 A,C,F,D 四点共圆. ，F ，E D智浪教育普惠英才文库，CDF45即 DF 平分 .CDE ， ，AA又 F180，B45CD DF180.F即 CF 平分 .E所以 F 是 的内心.二、由 y| x|，得| x|，1082即 10| x|. 2x当 x0 时，式为 10 x，8即 0，12x解得 2 x9.对于上述区间内 x 的整数值，当 x=2,4,7,9 时，相应的 y 为整数值.此时，满足条件的点有(2,2),(4
8、,3),(7,6),(9,9).当 时，式为0x-10 x，182即 0，9x解得 -6 x-3.对于上述区间内 x 的整数值，当 x=-6,-3 时，相应的 y 为整数值.此时，满足条件的点有(-6,6)(-3,3).故满足条件的整点共有 6 个.三、证明 对 n 分情况讨论.（1）当 n 为奇数时，设 (k1,k 为整数）.若 n=4k，此时12n=k+(k+1)由于 ，上述表示符合要求.),(k（2）当 n 为偶数时，设 或 (k1,k 为整数).若 ，此时kn4k4.)12()(与 是互质的，因为若它们有公因数 d2，设 , (m,n1k nd12d智浪教育普惠英才文库是自然数)，则
9、，可见 ，所以 ，这与 ， 均为奇数相矛2)(dnm2d1k2盾.若 ，此时4k.)3()1(k与 是互质的.因为若它们有公因数 d2，设 , (m,n12k3 ndk12dk3是自然数)，则 ，可见 ，所以 ，这与 ， 均为奇数相矛2)(dnm盾.若 ，此时4k.)3()1(k与 是互质的.因为若它们有公因数 d2，设 , (m,n12k3 ndk12dk3是自然数)，则 ，可见 ，即 d=2 或 4.这与 ， 均为奇数相矛4)(dnm盾.综上所述，原命题得证. 1995 年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后
10、比较底数，本题是化为同指数，有c(5 3)11125 11243 11(3 5)11a256 11(4 4)11b。选C。利用lg20.3010，lg30.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。2讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)也可以不解方程组直接判断：因为xy(否则不是正整数)，故方程组或无解或有两个解，对照选择支，选B。3讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x 1x 221。三根能作为一个三角形的三边，须且只须x 1x 21又有044m1智浪教育普惠英才文库4讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一
11、，从而直径也存在且唯一又由AB2AD 225 260 25 2（5 212 2）5 2132(3 24 2)13239 252 2BC 2CD 2故可取BD65为直径，得周长为65，选D5讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由是错误的比如有的考生取AB为直径，则MN0，于是就选B其实，这只能排除A、C，不能排除D不失一般性，设CEED，在CE上取CFED，则有OFOE，且S ACES ADE S AEF 2S AOE 同理，S BCE S BDE 2S BOE相加，得S ABC S DAB 2S OAB ，即MN选B若过C、D、O分别作AB的垂线（图3） ，CEAB、
12、DFAB、OLAB，垂足分别为E、F、L连CF、DE，可得梯形CEDF又由垂径分弦定理，知L是EF的中点根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有CEDF2OL即MN选B6讲解：取a-1、b2可否定A、C、D，选B一般地，对已知不等式平方，有a(ab)aab显然a(ab)0（若等于0，则与上式矛盾） ，有两边都只能取1或-1，故只有1-1，即有a0且ab0，从而b-a0选B二、填空题1讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力经计算12，2 2，10 2，知十位数字为奇数的只有4 216，6 236然后，对两位数10ab，有（10ab） 220a
13、（5ab)b 2智浪教育普惠英才文库其十位数字为b 2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2，95中个位数出现了几次4或6，有291192.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a 2a作为整体代入这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活比如，由有由，得由并将代入，得还可由得即得所求3讲解：这个题目是将二次函数yx 2x与反比例函数智浪教育普惠英才文库因而x1时，y有最小值15 讲解：此题由笔者提供，原题是求sinCAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角
14、函数值sin75、sin156 解法如下：与AB 2AB 2AC 2联立，可推出而式、表明，AB、AC是二次方程改为求CAB之后，思路更宽一些如，由智浪教育普惠英才文库第二试一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角ABC中，斜边BC上的高，过ABD的内心与ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，ABC和AKL的面积分别记为S和T求证S2T在这个题目的证明中，要用到AK ALAD今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AKALAD(斜边上的高)，再求证KL通过ABD、ADC的内心（图7） 其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、FE，
15、然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等下面是几个有代表性的证法证法1：如图6，连DF，则由已知，有连BD、CF，由CDCB，知FBDCBD45CDB45FDB，得FBFD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是ECD的平分线由于F是CDE上两条角平分线的交点，因而就是CDE的内心证法2：同证法1，得出CDF459045FDE之后，由于ABC=FDE，故有B、E、D、F四点共圆连EF，在证得FBD=FDB之后，立即有FEDFBDFDBFEB，即EF是CED的平分线本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂由这个证明可知，F是DCB的外心
