1、 概率论与数理统计 第 1 页（共 57 页）概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设 A，B ，C 为 3 事件，则这 3 事件中恰有 2 个事件发生可表示为 。2、设 ，且 A 与 B 互不相容，则 。.0)(,1.0)(BP)(BP3、口袋中有 4 只白球，2 只红球，从中随机抽取 3 只，则取得 2 只白球，1 只红球的概率为 。4、某人射击的命中率为 0.7，现独立地重复射击 5 次，则恰有 2 次命中的概率为 。5、某市有 50%的住户订晚报，有 60%的住户订日报，有 80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。6、设 A，B 为
2、两事件， ，则 。3.0)(,7.0)(BAP)(BAP7、同时抛掷 3 枚均匀硬币，恰有 1 个正面的概率为 。8、设 A，B 为两事件， ，则 。2.)(,5.)()(9、10 个球中只有 1 个为红球，不放回地取球，每次 1 个，则第 5 次才取得红球的概率为 。10、将一骰子独立地抛掷 2 次，以 X 和 Y 分别表示先后掷出的点数， 10YXA，则 。YXB)|(ABP11、设 是两事件，则 的差事件为 。A,12、设 构成一完备事件组，且 则 ， C,7.0)(,5.)(BP)(C)(ABP。13、设 与 为互不相容的两事件， 则 。B,)()|(A14、设 与 为相互独立的两事件
3、，且 ，则 。A 4.07.)(概率论与数理统计 第 2 页（共 57 页）15、设 是两事件， 则 。BA, ,36.0)(,9.0)(ABP)(BAP16、设 是两个相互独立的事件， 则 。,4.2)(17、设 是两事件，如果 ，且 ，则 , 20)(,7.)( |。18、设 ，则 。21)(,41)(,3)( BAPAP)(BAP19、假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30% ，10%。从中随机取一件，结果不是三等品，则为一等品的概率为 20、将 个球随机地放入 个盒子中，则至少有一个盒子空的概率为 。nn二、选择题1、设 ，则下列成立的是( ) 0)(ABP A 和 B 不相容
4、 A 和 B 独立 0)(BorPA)(APB2、设 是三个两两不相容的事件，且 ，则 的最大值C, aC为 ( ) 1/2 1 1/3 1/43、设 A 和 B 为 2 个随机事件，且有 ，则下列结论正确的是( )1)|(ABCP )()(PC 1)(BPA )(4、下列命题不成立的是 ( ) BABA ( ) 5、设 为两个相互独立的事件， ，则有 （ ）, 0)(,)(P 0 )(1)(BPA|(A)(1|AB)|(BP(6、设 为两个对立的事件， ，则不成立的是 （ ）, )(,)概率论与数理统计 第 3 页（共 57 页） 0 0 1)(1)(BPA)|(A)|(BAP)(ABP7、
5、设 为事件， ，则有 （ ）, A 和 B 不相容 A 和 B 独立 A 和 B 相互对立 )(8、设 为两个相互独立的事件， ，则 为（ ）, 0)(,)(P)BA )(P)(11(1P9、设 为两事件，且 ，则当下面条件（ ）成立时，有BA, A3.0 7.0) 与 独立 与 互不相容 与 对立 不包含BABAB10、设 为两事件，则 表示（ ）, )(必然事件 不可能事件 与 恰有一个发生 与 不同时发生11、每次试验失败的概率为 ，则在 3 次重复试验中至少成功一次的概率为)10(p（ ） )1(3p3)1(3213)(pC12、10 个球中有 3 个红球 7 个绿球，随机地分给 10
6、 个小朋友，每人一球，则最后三个分到球的小朋友中恰有一个得到红球的概率为（ ） )10(3C2)10(213)07(3102713、设 ，则下列结论成立的是（ ） 8.|,7.,8. BAPAP 与 独立 与 互不相容B )()(BPA14、设 为三事件，正确的是（ ） C, )(1)(ABP 1)()(P AB15、掷 2 颗骰子，记点数之和为 3 的概率为 ，则 为（ ） p 1/2 1/4 1/18 1/36概率论与数理统计 第 4 页（共 57 页）16、已知 两事件的概率都是 1/2, 则下列结论成立的是（ ） BA, 1)(P1)(BAP)()(ABP21)(17、 为相互独立事件
7、， ，则下列 4 对事件中不相互独立的是（ ） C, 0C 与 与 与 与BAC18、对于两事件 ，与 不等价的是（ ） ,BA AB19、对于概率不为零且互不相容的两事件 ，则下列结论正确的是（ ） , 与 互不相容 与 相容 ABAB)()(PA)(AP三、计算题1、某工厂生产的一批产品共有 100 个，其中有 5 个次品。从中取 30 个进行检查，求次品数不多于 1 个的概率。2、某人有 5 把形状近似的钥匙，其中有 2 把可以打开房门，每次抽取 1 把试开房门，求第三次才打开房门的概率。3、某种灯泡使用 1000 小时以上的概率为 0.2，求 3 个灯泡在使用 1000 小时以后至多有
8、1 个坏的概率。4、甲、乙、丙 3 台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的百分比分别为45%，35%，20%。各机床加工的优质品率依次为 85%，90% ，88%，将加工的零件混在一起，从中随机抽取一件，求取得优质品的概率。若从中取 1 个进行检查，发现是优质品，问是由哪台机床加工的可能性最大。6、某人买了 三种不同的奖券各一张，已知各种奖券中奖的概率分别为CBA,；并且各种奖券中奖是相互独立的。如果只要有一种奖券中奖则此人一定02.,13.赚钱，求此人赚钱的概率。7、教师在出考题时，平时练习过的题目占 60%，学生答卷时，平时练习过的题目在考试时答对的概率为 95%，平时没有练习过的题目在
9、考试时答对的概率为 30%。求答对而平时没有练习过的概率8、有两张电影票，3 人依次抽签得票。求每个人抽到电影票的概率。9、有两张电影票，3 人依次抽签得票，如果第 1 个人抽的结果尚未公开，由第 2 个人抽的结果去猜测第 1 个人抽的结果。问：如果第 2 个人抽到电影票，问第 1 个人抽到电影票的概率。概率论与数理统计 第 5 页（共 57 页）10、一批产品的次品率为 0.1，现任取 3 个产品，问 3 个产品中有几个次品的概率的可能性最大。11、有 5 个除颜色外完全相同的球，其中三个白色，两个红色。从中任取两个， （1）求这两个球颜色相同的概率；（2）两球中至少有一红球的概率。12、设
10、 是两个事件，用文字表示下列事件： 。BA, BAA,13、从 1100 这 100 个自然数中任取 1 个，求（1）取到奇数的概率；（2）取到的数能被 3 整除的概率；（3）取到的数能被 6 整除的偶数。14、对次品率为 5%的某箱灯泡进行检查，检查时，从中任取一个，如果是次品，就认为这箱灯泡不合格而拒绝接受，如果是合格品就再取一个进行检查，检查过的产品不放回，如此进行五次。如果 5 个灯泡都是合格品，则认为这箱灯泡合格而接受，已知每箱灯泡有 100 个，求这箱灯泡被接受的概率。15、某人有 5 把形状近似的钥匙，其中只有 1 把能打开他办公室的门，如果他一把一把地用钥匙试着开门，试过的钥匙
11、放在一边，求（1）他试了 3 次才能打开他办公室的门的概率；（2）他试了 5 次才能打开他办公室的门的概率16、10 个塑料球中有 3 个黑色，7 个白色，今从中任取 2 个，求已知其中一个是黑色的条件下，另一个也是黑色的概率。17、装有 10 个白球，5 个黑球的罐中丢失一球，但不知是什么颜色。为了猜测丢失的球是什么颜色，随机地从罐中摸出两个球，结果都是白色球，问丢失的球是黑色球的概率。18、 设有三只外形完全相同的盒子，号盒中装有 14 个黑球，6 个白球；号盒中装有 5 个黑球,25 个白球；号盒中装有 8 个黑球，42 个白球。现从三个盒子中任取一盒，再从中任取一球，求（1）取到的球为
12、黑色球的概率；（2）如果取到的球为黑色球，求它是取自号盒的概率。19、三种型号的圆珠笔杆放在一起，其中型的有 4 支，型的有 5 支，型的有 6 支；这三种型号的圆珠笔帽也放在一起，其中型的有 5 个，型的有 7 个，型的有 8 个。现在任意取一个笔杆和一个笔帽，求恰好能配套的概率。20、有两张电影票，3 人依次抽签得票，如果第 1 个人抽的结果尚未公开，由第 2 个人抽的结果去猜测第 1 个人抽的结果。问：如果第 2 个人抽到电影票，问第 1 个人抽到电影票的概率。21、甲、乙、丙、丁 4 人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为 0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.7,求此密码能译
13、出的概率是多少。22、袋中 10 个白球，5 个黄球，10 个红球，从中取 1 个，已知不是白球，求是黄球的概率。23、设每次试验事件 发生的概率相同，已知 3 次试验中 至少出现一次的概率为AA19/27，求事件 在一次试验中出现的概率。24、甲、乙、丙 3 台机床独立工作，由 1 个人看管，某段时间甲、乙、丙 3 台机床不需概率论与数理统计 第 6 页（共 57 页）看管的概率分别为 0.9，0.8，0.85，求在这段时间内机床因无人看管而停工的概率。25、一批产品共有 100 件，对其进行检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的 4 件产品中至少有 1 件废品。如果在该批产品中有 5%是
14、废品，问该批产品被拒收的概率是多少。26、将 3 个球随机地放入 4 个杯子中，求杯子中球的个数的最大值为 2 的概率。27、甲、乙 2 班共有 70 名同学，其中女同学 40 名，设甲班有 30 名同学，而女同学 15名，求碰到甲班同学时，正好碰到女同学的概率。28、一幢 10 层的楼房中的一架电梯，在底层登上 7 位乘客。电梯在每一层都停，乘客在第二层起离开电梯。假设每位乘客在哪一层离开是等可能的，求没有 2 位及 2 位以上乘客在同一层离开的概率。29、某种动物由出生到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的概率为 0.4，问现在 20 岁的动物活到 25 岁的概率为多少？30、每门
15、高射炮（每射一发）击中目标的概率为 0.6，现有若干门高射炮同时发射（每炮射一发） ，欲以 99%以上的概率击中目标，问至少需要配置几门高射炮？31、电路由电池 A 与 2 个并联的电池 B 和 C 串联而成，设电池 A，B，C 损坏的概率分别为 0.2 ，0.3 ，0.3，求电路发生间断的概率。32、袋中 10 个白球，5 个黄球，从中不放回地取 3 次，试求取出的球为同颜色的球的概率。33、假设目标在射程之内的概率为 0.7，这时射击的命中率为 0.6，试求两次独立射击至少有一次击中的概率。34、假设某地区位于甲乙二河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某段时期内甲河流泛滥的
16、概率为 0.1，乙河流泛滥的概率为 0.2，当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为 0.3，求（1）该时期内这地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率。35、 甲、乙、丙 3 人同向飞机射击。击中飞机的概率分别为 0.4，0.5，0.7。如果有 1人击中，则飞机被击落的概率为 0.2，如果有 2 人击中，则飞机被击落的概率为 0.6，如果有 3 人击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。36、一射手命中 10 环的概率为 0.7，命中 9 环的概率为 0.3，求该射手 3 发子弹得到不小于 29 环的概率。38、甲、乙 2 名乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛局甲胜的概率为 0.
17、6，乙胜的概率0.4，比赛既可采用三局两胜制，也可采用五局三胜制，问采用哪种比赛制度对甲更有利。39、有 2500 人参加人寿保险，每年初每人向保险公司交付保险费 12 元。若在一年内死亡，则其家属可以从保险公司领取 2000 元。假设每人在一年内死亡的概率都是 0.002，求保险公司获利不少于 10000 元的概率。40、在 12 名学生中有 8 名优等生，从中任取 9 名，求有 5 名优等生的概率。41、特色医院接待患者的比例为 K 型 50%，L 型 30%，M 型 20%，对应治愈率为0.7，0.8，0.9，一患者已治愈，问他属于 L 型的概率？42、某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞
18、机的概率分别为 0.2，0.4，0.4，乘火车迟到概率论与数理统计 第 7 页（共 57 页）的概率为 0.5、乘轮船迟到的概率为 0.2、乘飞机不会迟到。问这个人迟到的概率；又如果他迟到，问他乘轮船的概率是多少？43、一对骰子抛掷 25 次，问出现双 6 和不出现双 6 的概率哪个大？44、一副扑克（52 张） ，从中任取 13 张，求至少有一张“A”的概率？45、据以往资料表明，某三口之家，患某种传染病的概率有以下规律。孩子得病的概率为 0.6，孩子得病下母亲得病的概率为 0.5，母亲及孩子得病下父亲得病的概率为0.4，求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。46、某人忘记了电话号码的最后一位
19、数字，因而他随机地拨号。求他拨号不超过 3 次的概率；若已知最后一位数字为奇数，此概率是多少？47、某场战斗准备调甲、乙两部队参加，每支部队能按时赶到的概率为 ，若只有一支部队参加战斗，则取胜的概率为 0.4；若两部队参加战斗，则必胜；若两部队未能按时赶到则必败。欲达 0.9 以上的概率取胜，求 的最低值。48、工人看管三台设备，在 1 小时内每台设备不需要看管的概率均为 0.8，求（1）三台设备均不需要看管的概率；（2）至少有一台设备需要看管的概率；（3）三台设备均需要看管的概率。四、证明题1、 假设我们掷两次骰子，并定义事件 “第一次掷得偶数点” ， “第二次掷得奇AB数点” ， “两次都
20、掷奇数点或偶数点” ，证明 A，B，C 两两独立，但 A，B，C 不C相互独立。2、 设每次试验 发生的概率 ， “ 次独立重复试验中至少出现一次A)10(,pn”证明 1)(nnPLim3、设 ，证明,pbX)(,DXE4、证明，如果 ，则)(|(AB|BP5、当 时，证明：bPaA)(,)( ba1)|(6、证明： ，则0)(1)|APB7、设 三事件相互独立，则 与 相互独立。CB, ,C8、设 ， ，则Ai3,21i 2)()(321概率论与数理统计 第 8 页（共 57 页）9、已知 同时发生，则 发生，证明21,A 1)()(21AP10、10 个考签中有 4 个难签，3 人依次抽
21、签参加考试，证明 3 人抽到难签的概率相等。11、设 A，B 为两事件，证明 )()(BABP12、证明如果 与 独立，则 与 独立、 与 独立、 与 独立13、如果 ，证明 与 独立的充分必要条件是0)(P )(|(PA第二章 随机变量及其分布一、填空题1、设随机变量 X 的分布律为 ，则 。0),21(!)( kaPa2、设随机变量 X 服从参数为 1/3 的 01 分布，则 X 的分布函数为= 。3、设随机变量 ，则 。)(),4XN4、设随机变量 X 的分布律为 ，则 。 0),2,(NkaP a5、设随机变量 X 服从(0,1)区间上的均匀分布，则随机变量 的密度函数为 。2XY6、
22、随机变量 X 的密度函数为 ，则 。8)1(2)(xef )k7、随机变量 X 的密度函数为 则 。,4N8、若 ，则 。2112)(,1)( xxPxP )(21xXP9、设离散型随机变量 的分布函数为baxF320)( 21x且 ，则 ， 。1)(XP10、设连续型随机变量 的密度函数为 则X0)(2xkef概率论与数理统计 第 9 页（共 57 页）， ， 。k)21(XP)2(XP11、设 5 个晶体管中有 2 个次品，3 个正品，如果每次从中任取 1 个进行测试，测试后的产品不放回，直到把 2 个次品都找到为止，设 为需要进行测试的次数，则 )3(XP。12、设 为离散型随机变量的分
23、布函数为，若 ，)(xF )()(aFbXaP则 。bXP13、一颗均匀骰子重复掷 10 次，设 表示点 3 出现的次数，则 的分布律 X)(kXP。14、设 为连续型随机变量，且 ， ，且 ，75.0)29.(PY125.0)(Y则 。k15、设随机变量 服从 POISSON 分布，且 ，则 X)2()(XP)1(。16、连续型随机变量 为 ， ，则 22)4(61)(xexfccdxff)()(c。17、设 为分布函数， ， 为分布函数，则)(,21Fx0,21a)()(21Fax。2a18、若连续型随机变量的分布函数 ，则 。601)(2xAxFA19、设随机变量 的概率密度 ，则 的分
24、布函数为 。X|)(xefX20、若随机变量 ，则 的密度函数 。5.0,12N)(f二、选择题概率论与数理统计 第 10 页（共 57 页）1、若函数 是一随机变量 的密度函数，则（ ）)(xfX 的定义域为0,1 值域为0,1 非负 在 连续)(xf )(xf)(xf1R2、如果 是（ ） ，则 一定不可以为某一随机变量的分布函数。)(xFF非负函数 连续函数 有界函数 单调减少函数3、下面的数列中，能成为一随机变量的分布律的是（ ） ),210(!1ke ),21(!ke),210(k),21(k4、下面的函数中，能成为一连续型随机变量的密度函数的是（ ） 0sin)(xf其 他 30sin)(xh 其 他 3 co)(g其 他 2co1)(xu其 他 25、设随机变量 ， 为其分布函数， ，则 （ ） 。)1,0(NX(x)xXP )1(2(1)2(16、设离散型随机变量 的分布律为 ，则 （ ） 。,)(kb 的实数 01b117、设随机变量 ，则 增大时， 是（ ）),(2NX)|(|XP 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定8、设随机变量 的分布密度 ，分布函数 ， 为关于 轴对称，则有（ )(xf)(xFfy） )(1)(aF)(21)a)(a1)(2)aF9、设 为分布函数， 为分布函数，则下列成立的是（ ）,2x21x 531 53,21 23,123,1
