1、1习题三1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律.【解】X 和 Y 的联合分布律如表：0 1 2 31 0 3C28A31C/8A03 80 0 1282.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律.【解】X 和 Y 的联合分布律如表：0 1 2 30 0 0 3247C5A13247C5A1 0 12347C65A21347312472 P(0 黑,2 红,2 白 )=247
2、C/35A123472347C5A03.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x ，y）= .,020,sin他yxyx求二维随机变量（X，Y）在长方形域 内的概率.36,4【解】如图 0,(3.2)46PY公 式(),0,(,)466FFXYXY2sinsinsi0sin436362(1).AA题 3 图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）= .,0,0,)43(他yxAyxe求：（1） 常数 A；（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；（3） P0X1，0Y2.【解】 （1） 由 -(34)0(,)ded12xyAfxy得 A=12（2）
3、由定义，有(,)(,)yxFfuv3434012ed(1e)0, xyx 其 他(3) PXY12(34)380,2ed(1e)0.94xy5.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）= .,0,2,),6(他yxyxk（1） 确定常数 k；（2） 求 PX1，Y 3；（3） 求 PX1.5；（4） 求 PX+Y4.【解】 （1） 由性质有3240(,)d(6)d81,fxykxyk故 18R（2） 13,(,)PXYfxy0236d8k(3) 11.5.(,)a(,)x Dfyxfxy如 图40227d).83(4) 24(,(,)dXYDPfyxfxy如 图 b2016).题 5 图6
4、.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为fY（y ）= .,他ye求：（1） X 与 Y 的联合分布密度；（2） PYX.题 6 图【解】 （1） 因 X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为1,0.2,().2Xxfx其 他而45e,0,().yYf其 他所以(,)()XYfxyfxyA独 立551e2,0.20,0.,yyxy且其 他(2) 5()()dedyyxDPYXf如 图0.20.2-5-1e()=.3679yx7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x ，y）= .,0,0),1(24他yxyxe求
5、（X，Y）的联合分布密度.【解】(42)28e,(,)(,),xyfxy其 他 .8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）= 4.(2),01, .yxyx其 他求边缘概率密度.【解】 ()(,)dXffx204.82.4(),01,=0,.,yxx其 他()()dYfyfx1 2y4.82.4(3),01,=0, .0, yy 其 他5题 8 图 题 9 图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）= e,0,.yx其 他求边缘概率密度.【解】 ()(,)dXfxfe,0,=.0,yxx其 他()()dYff0e,0,=.,yxy其 他题 10 图10.设二维随机变量（
6、X，Y）的概率密度为f（x，y）=2,1,0.cxy其 他（1） 试确定常数 c；（2） 求边缘概率密度.【解】 （1） (,)d(,)dDfxyfxy如 图21- 4=1.xcc得 .214c(2) ()(,)dXfxfy621241(),1,d840,0,.xxxy其 他()()Yfyf52217d,01,40, .yxy其 他11.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）= 1,01,.yx其 他求条件概率密度 fYX （yx ） ，f XY （x y）.题 11 图【解】 ()(,)dXfxfy1201,0,.xx其 他 1d,10,()(,)0,.yY xyfyfx其 他所以|1
7、,|1,(,)()20.YXXyxfxyfy其 他7|1, 1,(,)(),0.XYYyxfxyf其 他12.袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 X，最大的号码为 Y.（1） 求 X 与 Y 的联合概率分布；（2） X 与 Y 是否相互独立？【解】 （1） X 与 Y 的联合分布律如下表3 4 5 iPXx1 351C0352C10351062 0 3535233 0 0 251C01iPYy103106(2) 因 61,3,XPYPXYA故 X 与 Y 不独立13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为2 5 80.40.80.15 0.30 0.3
8、50.05 0.12 0.03（1）求关于 X 和关于 Y 的边缘分布；（2） X 与 Y 是否相互独立？【解】 （1）X 和 Y 的边缘分布如下表2 5 8 PY=yi0.4 0.15 0.30 0.35 0.80.8 0.05 0.12 0.03 0.2iPXx0.2 0.42 0.38YXXYXY8(2) 因 20.42.8PXYA016.5(2,0.4),PXY故 X 与 Y 不独立.14.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为fY（y ）= .,2/他ye（1）求 X 和 Y 的联合概率密度；（2） 设含有 a 的二次方程为 a2+
9、2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率 .【解】 （1） 因 1,0,()Xxfx其 他 ; 21e,()0yYf其 他 .故/2e1,0(,)(),.yXYxyfxyfxA独 立 其 他题 14 图(2) 方程 有实根的条件是20aXY2()40XY故 X2Y，从而方程有实根的概率为： 22(,)dxyPfx21/0e()0.45y15.设 X 和 Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计） ，并设 X 和 Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（x）= .,0,102他x9求 Z=X/Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数 ()ZXFzPzzY(1) 当 z0 时， 0（2）
10、 当 0z1 时， （这时当 x=1000 时,y= ）( 如图 a)10z33661022()ddyzZzxyzFx361023=zy题 15 图(3) 当 z1 时， （这时当 y=103 时，x=10 3z） （如图 b）33662210()ddzyZxyzFx362310=yz即 ,1,(),0,2.Zzfz其 他故 21,(),0,.Zzfz其 他16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从 N（160，20 2）分布.随机地选取 4 只，求其中没有一只寿命小于 180h 的概率.10【解】设这四只寿命为 Xi(i=1,2,3,4)，则 XiN（160，20 2） ，从而 1
11、234 12min,)180801iPPXA之 间 独 立34128018080180XPXXAAA4414 6()0.58).03.P17.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为PX=k=p（k） ，k=0，1，2，PY=r=q（r） ，r=0 ，1，2，.证明随机变量 Z=X+Y 的分布律为PZ=i= ，i=0，1， 2，.ikk0)(【证明】因 X 和 Y 所有可能值都是非负整数，所以ii0,1,0YXYiXiY于是 0,ikPZik相 互 独 立0ikXYiA0()ikpqik18.设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布.证明 Z=X+Y 服从参数为 2n，p 的二项分布.【证明】方法一：X+Y 可能取值为 0，1，2，2n. 0,kiPXYPXiYki
