1、习题 1-21. 选择题(1) 设随机事件 A，B 满足关系 ,则下列表述正确的是( ).B(A) 若 A 发生, 则 B 必发生. (B) A , B 同时发生.(C) 若 A 发生, 则 B 必不发生. (D) 若 A 不发生，则 B 一定不发生.解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).(2) 设 A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件 表示( ).(A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销.(C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销 .(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.解 设 B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商
2、品滞销” ，根据公式 , 本题应选(D).BC2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) 一袋中有 5 只球, 其中有 3 只白球和 2 只黑球, 从袋中任意取一球 , 观察其颜色;(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色；(3) 从(1)的袋中不放回任意取 3 只球, 记录取到的黑球个数；(4) 生产产品直到有 10 件正品为止, 记录生产产品的总件数.解 (1) 黑球, 白球； (2) 黑黑,黑白,白黑,白白； (3) 0,1,2；(4) 设在生产第 10 件正品前共生产了 n 件不合格品，则样本空间为 .10|,12n3. 设 A, B, C 是三个随机
3、事件, 试以 A, B, C 的运算关系来表示下列各事件：(1) 仅有 A 发生；(2) A, B, C 中至少有一个发生;(3) A, B, C 中恰有一个发生;(4) A, B, C 中最多有一个发生;(5) A, B, C 都不发生;(6) A 不发生, B, C 中至少有一个发生.解 (1) ; (2) ; (3) ;ABC(4) ; (5) ; (6) .()4. 事件 Ai 表示某射手第 i 次(i=1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件：(1) A1A2; (2) A1A2A3; (3) ; (4) A2A 3; (5) ； (6) .2312A解 (1) 射手第一次或
4、第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.习题 1-31. 选择题(1) 设 A, B 为任二事件 , 则下列关系正确的是 ( ).(A) . (B) .()()PAPB)()ABP(C) . (D) .解 由文氏图易知本题应选(D).(2) 若两个事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB)=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A 和 B 互不相容 . (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件
5、 . (D) P(A)=0 或 P(B)=0.解 本题答案应选(C).2. 设 P(AB)=P( ), 且 P(A)p，求 P(B).解 因 ,)11()()A故 . 于是)AB.3. 已知 , , , 求 .(04()3(0.4PB解 由公式 知 . 于是()()()PABPAB()03P0.14. 设 A, B 为随机事件, , , 求 .7解 由公式 可知, . 于是 .()()()4()6AB5. 设 A, B 是两个事件, 且 , .问:0.6PA7B(1) 在什么条件下 取到最大值 , 最大值是多少？(2) 在什么条件下 取到最小值 , 最小值是多少？()解 =1.3 .()()P
6、()P(1) 如果 , 即当 时, =0.7, 则 有最大值是 0.6 .()AB(2) 如果 =1，或者 时, 有最小值是 0.3 .BASAB6. 已知 , , , 求 A, B, C 全不发生的概率.1()()4PC()01()2C解 因为 ,所以 =0, 即有 =0.0P （ ） ()由概率一般加法公式得由对立事()()()()7.12P P件的概率性质知 A ,B, C 全不发生的概率是.5()()1()12PBACABC习题 1-41. 选择题在 5 件产品中, 有 3 件一等品和 2 件二等品. 若从中任取 2 件, 那么以 0.7 为概率的事件是( ) (A) 都不是一等品.
7、(B) 恰有 1 件一等品.(C) 至少有 1 件一等品. (D) 至多有 1 件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品 , 其中只含有一件一等品的概率为 , 没有1325C一等品的概率为 , 将两者加起即为 0.7. 答案为（D）.0235C2. 从由 45 件正品、5 件次品组成的产品中任取 3 件. 求: (1) 恰有 1 件次品的概率; (2) 恰有 2 件次品的概率; (3) 至少有 1 件次品的概率; (4) 至多有 1 件次品的概率; (5) 至少有 2 件次品的概率.解 (1) 恰有 1 件次品的概率是 ;(2) 恰有 2 件次品的概率是 ; (3 )至少有
8、 1 件次品的概率25430C5430C是 1- ; (4) 至多有 1 件次品的概率是 + ; (5) 至少有 2 件次品的概率是 +0354C35401540 215430C.3503. 袋中有 9 个球, 其中有 4 个白球和 5 个黑球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率；(3）至少有一个黑球的概率.解 从 9 个球中取出 2 个球的取法有 种，两个球都是白球的取法有 种，一黑一白的取法有29C24C种，由古典概率的公式知道154C(1) 两球都是白球的概率是 ;294(2) 两球中一黑一白的概率是 ;15C(3) 至
9、少有一个黑球的概率是 1 .2944. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和小于 ;(2) 两数之积小于 ;(3) 以上6514两个条件同时满足;(4) 两数之差的绝对值小于 的概率.2解 设 X, Y 为所取的两个数, 则样本空间 S = (X, Y)|00, P(B)0, 则下列关系成立的是( ).(A) A, B 相互独立. (B) A, B 不相互独立.(C) A, B 互为对立事件. (D) A, B 不互为对立事件.解 用反证法, 本题应选(B).(2) 设事件 A 与 B 独立, 则下面的说法中错误的是 ( ).(A) 与 独立 . (B) 与
10、 独立.(C) . (D) A 与 B 一定互斥.()()P解 因事件 A 与 B 独立, 故 ,A 与 及 与 B 也相互独立. 因此本题应选(D).与(3) 设事件 A 与 B 相互独立, 且 0P(B)1, 则下列说法错误的是( ). (A) . (B) .(|)(PAB()()PAB(C) A 与 B 一定互斥. (D) .()PAB解 因事件 A 与 B 独立, 故 也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知与(A)和 (D)也是正确的. 从而本题应选 (C).2设 A, B 是任意两个事件, 其中 A 的概率不等于 0 和 1, 证明P(B|A)= 是事
11、件 A 与 B 独立的充分必要条件.)证 由于 的概率不等于 0 和 1, 故题中两个条件概率都存在.充分性. 因事件 A 与 B 独立, 知事件 与 B 也独立, 因此,()()(PPAB从而 .必要性. 已知 , 由条件概率公式和对立事件概率公式得到()(),()()1ABPPA移项得 ()1()B化简得 P(AB)=P(A)P(B), 因此 A 和 B 独立.3. 设三事件A , B和C两两独立, 满足条件：, 且 ,()()2C9()16C求 .()解 根据一般加法公式有.()()()()()PABPBAPBPAB由题设可知 A, B和C 两两相互独立, , 因此有 ,22()()()
12、()(0,C从而,293)16PABPA于是 或 , 再根据题设 , 故 .3()4PA1()1()2(44 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为 p(0p1), 求此人第 4 次射击时恰好第 2次命中目标的概率.解 “第 4 次射击恰好第 2 次命中 ” 表示 4 次射击中第 4 次命中目标 , 前 3 次射击中有一次命中目标. 由独立重复性知所求概率为 .13()Cp5. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为 0.8. 求：(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；(2) 恰有一人命中目标的概率；(3) 目标被命中的概率. 解
13、甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是(1) ()()0.78.56;PAB(2) 2308(3) ()()()0.78.560.94PABPAB总 习 题 一1. 选择题：设 是三个相互独立的随机事件, 且 , 则在下列给定的四对事件中不相互C()1PC独立的是( ).(A) 与C. (B) 与 .ABA(C) 与 C. (D) 与 .B解 由于 A, B, C 是三个相互独立的随机事件 , 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B) 正确.2. 一
14、批产品由 95 件正品和 5 件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率 .解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为 . 951036(1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为 9.83. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有 的产品是第一家工厂生产的, 其它二厂各2生产 . 又知第一、第二家工厂生产的产品中有 2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有 4%是次品. 现从此箱41中任取一件产品, 求取到的是次品的概率. 解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂
15、中某一家工厂的产品. 设A=取到的产品是次品, Bi=取到的产品属于第 i 家工厂生产, i=1, 2, 3. 由于 BiBj= (ij, i, j=1, 2, 3)且B1 B2 B3=S, 所以 B1, B2, B3 是 S 的一个划分.又 P(B1)= , P(B2) = , P(B3)= ,41P(A| B1)= , P(A| B2)= , P(A| B3)= ,0014由全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A| B3)= =0.025.424. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为 90%; 如果调整不成功
16、, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为 75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格 . 问设备被调整好的概率是多少？解 设 A=设备调整成功, B=产品合格 . 则全概率公式得到.()(|)(|)0.759.20375PABPAB由贝叶斯公式可得.(|)()|()5. 将两份信息分别编码为 A 和 B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作 B 的概率为 0.02, 而 B 被误收作 A的概率为 0.01, 信息 A 与信息 B 传送的频繁程度为 2:1. 若接收站收到的信息是 A, 问原发信息是 A 的概率是多少？解 以 D 表示事件 “将信息 A 传递出去” ，以 表示事件“将
17、信息 B 传递出去” ，以 R 表示事件“接收到D信息 A”,以 表示事件“接收到信息 B”.已知R.21()02,()0.1,(),()3PRPD由贝叶斯公式知.96()( 7()()R习题 2-21. 设 A 为任一随机事件, 且 P(A)=p(0p1). 定义随机变量 1,0AX发 生不 发 生 .写出随机变量 X 的分布律.解 PX=1=p, PX=0=1-p.或者X 0 1 P 1-p p 2. 已知随机变量 X 只能取-1,0,1,2 四个值, 且取这四个值的相应概率依次为 . 试确定常cc167,8543,2数 c, 并计算条件概率 .0|解 由离散型随机变量的分布律的性质知，
18、13571,2486cc所以 .3716c所求概率为 PX1| X = .025167821c3. 设随机变量 X 服从参数为 2, p 的二项分布, 随机变量 Y 服从参数为 3, p 的二项分布, 若 , PX519求 .Y1解 注意 px=k= ,由题设 knCq59PX2101,q故 . 从而23qpY329101().74. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为 , 求每次试验成1927功的概率.解 设每次试验成功的概率为 p, 由题意知至少成功一次的概率是 ，那么一次都没有成功的概率是1. 即 , 故 = .278278)1(3p315. 若
19、 X 服从参数为 的泊松分布, 且 , 求参数 . 3PX解 由泊松分布的分布律可知 .66. 一袋中装有 5 只球, 编号为 1,2,3,4,5. 在袋中同时取 3 只球, 以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码, 写出随机变量 X 的分布律.解 从 1，2，3，4，5 中随机取 3 个，以 X 表示 3 个数中的最大值，X 的可能取值是 3，4，5，在 5 个数中取 3 个共有 种取法.0CX=3表示取出的 3 个数以 3 为最大值， PX=3= = ;235C10X=4表示取出的 3 个数以 4 为最大值， PX=4= ;X=5表示取出的 3 个数以 5 为最大值， PX=5= .53
20、24CX 的分布律是X 3 4 5P 10习题 2-31. 设 X 的分布律为X -1 0 1P 0.15 0.20 0.65求分布函数 F(x), 并计算概率 PX0, PX2, P-2X1.解 (1) F(x)=0,.1503,1,.x(2) PX0=PX=-1=0.15;(3) PX2= PX=-1+PX=0+PX=1=1;(4) P-2x1=PX=-1+ PX =0=0.35.2. 设随机变量 X 的分布函数为F(x) = A+Barctanx - x+.试求: (1) 常数 A 与 B; (2) X 落在(-1, 1内的概率.解 (1) 由于 F(-) = 0, F(+ ) = 1,
21、 可知()012,.2ABAB于是 1()arctn,.2Fxx(2) ()PX1(rtarctn(1)21().243. 设随机变量 X 的分布函数为F(x)=0, ,121,x 求 PX-1, P 0.3 X0.7, P0X2.解 PX , 1()0P0.3X0.7=F(0.7)-F0.3-PX=0.7=0.2,P0X2= F(2)-F(0)=1.5. 假设随机变量 X 的绝对值不大于 1; ; 在事件 出现的条11,84PX1X件下, X 在 (-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求 的分布函数 x;()FP(2) 求 X 取负值的概率 p.解 (1) 由条件可知, 当 时, ;1x()0Fx当 时, ;18当 时, F(1)=PX1=P(S)=1.所以 15)(1.84FPX易见, 在 X 的值属于 的条件下, 事件 的条件概率为(1x ,|()xk取 x=1 得到 1=k(1+1), 所以 k= . 2因此 .1PX|12x于是, 对于 , 有x
