1、第二学期高等数学试题解答 (一)一、填空题(每小题 3 分，共 15 分)1 设 u=x4+y4-4x2y2 ，则 u x x=12x2-8y2 2 设 u=xy+y/x，则 u y= x+1/x 3 函数 z=x2+4xy-y2+6x-8y+12 的驻点是 (1, -2) 4 设幂级数 0nxa的收敛半径是 4，则幂级数 012nxa的收敛半径是 R=2 5 设 是柱面 x2+y2=4 介于 1z3 之间部分曲面，它的法向指向含 oz 轴的一侧，则dxyzx22= 0 二、单选(每小题 2 分，共 8 分)1、函数 zf(,在点 (,0处连续是它在该点偏导数存在的：(A)必要而非充分条件；
2、(B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。 答（A ）2、微分方程 yx满足条件 y(2)=1, y(2)=1 的解是(A) y=(x-1)2 (B) y=(x+1/2)2-21/4(C) y=1/2(x-1)2+1/2 (D) y=(x-1/2)2-5/4 答（C）3、若方程 0qyp的系数 p+qx=0，则该方程有特解(A) y=x (B) y=e x (C) y=e x (D) y=sin x 答（A ）4、微分方程 sin的一个特解应具有形式 答（D ）(A) Asin x (B) Acos x (C) Asin x +Bcos x (D) x(Asin
3、x+Bcosx)三、解答下列各题1 (本小题 6 分)利用二重积分计算由曲面 z=x2+y2，y=1，z=0，y=x 2 所围成的曲顶柱体的体积。1058122xdyV2、(本小题 7 分)证明极限3420limyxy不存在。证明：取不同的直线路径 y=kx 234201limkxkxy沿不同的路径极限不同，故由定义二重极限不存在。3、(本小题 5 分)验证：y 1=cosx，y=sinx 都是微分方程 y+2y=0 的解，并写出该方程的通解。验证：y 1=-sinx, y1=- 2cosx 代入方程左端- 2cosx+2cosx=0 满足方程。y2=cosx, y2=- -2sinx 代入方
4、程左端- 2sinx+2sinx=0 满足方程。故 y1 、 y2 皆是微分方程的解。又 y1 /y2=(cosx)/( sinx)常数，故 y1 与 y2 线性无关 。方程的通解为 y=C1cosx+C2sinx4、(本小题 5 分)设 0cosxxf若 s(x)是以 2 为周期的函数 f(x)的 Fourier 级数之和函数，求 S(-3)。解：S(-3)=- /2四、解答下列各题：1、(本小题 6 分)更换积分次序： yyx dxfdxfdyf 4121021 ,),(2、(本小题 6 分)求曲线2,1,tztytx在 t=1 处的切线及法平面方程。解：切线方程：14法线方程012214
5、zyx五、解答下列各题：1、(本小题 6 分)已知 是 z=x2+y2 上 z1 的部分曲面，计算:34141022 rddsz2、(本小题 6 分)计算 dzyxdzydxz )()(，其中光滑曲面围成的 的体积为 V。解：由高斯公式，原积分= v3=3V六、解答下列各题1、(本小题 5 分)判别级数nsi1的敛散性。解：因为当 n 趋于时，一般项 u n 的极限为 1，其极限不为 0，故级数发散。2、(本小题 5 分)级数 227131是否收敛，是否绝对收敛？解：原级数=41/)2(1lim)()2nnn原级数绝对收敛。3、(本小题 5 分)试求幂级数12!3knx的收敛半径。解0!31l
6、im2Rnn4、(本小题 5 分)试将函数 y=1/(4-x4)展开为 x 的幂级数解：24411 01244 xxxxy nn七、(本大题 10 分)已知上半平面内一曲线 y=y(x) (x0)过点(0,1)，且曲线 上任一点 M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴，y 轴，直线 x=x0 所围成的面积与该点纵坐标之和，求此曲线方程。解： 00 yyd即特征方程：r 2-r-1=0 251,r通解：xxecy251251初始条件：y(0)=1 , y(0)=1 解得：C 1= 05，C 2= 0特解是： xxe25100第二学期高等数学重修 1 解答一、 计算下列各题(每小题
7、6 分，共 30 分)1设 dtzytxz求,sin,3,2。解： ttdtztdt 2sin318cos62. 设 yxzcosln求:d z 。解： ydxdxyy sinllnlncos1cos3. 设 222,4xzzyx求。解：原式两端对 x 求偏导解出 得 z24 再对 x 求偏导得：32222 44 zxzxzxxz 4. 设 xuyzxfu求,5。解： 21f 2211fzyfyzf5 dzyzeZ求 ,0。解：原式对 x, 求偏导， 0xzyxe解得： xyez同理可得： yz， dxyezedz二、解下列各题 (每小题 6 分，共 24 分)1更换积分次序： yyx dxf
8、dxfdyf 2411021 ,2. 求 yzxu3在点 P（1,2,3）沿分别与坐标轴正向成 30 ，45 ，60 角的方向上的方向导数。解： 2,43,13,213,213,21 xzyu53,213,21xyzzu 235.12234cos60s4-4co0- 3. 求曲线2,1tztytx在 t = 1 处的切线及法平面方程。解：t = 1 时 x = 1/2 , y = 2 , z = 1 2,4 1121121 tttttt dzdd切线方程：zyx法平面方程：012244. 求曲面 x 2 2 y 2 +2 z 2 = 1 上过点（1,1,1）的切平面方程。解：F= x 2 2
9、y 2 +2 z 2 1 Fx=2x Fy=4y Fz=4z 切平面方程为：2（x 1）4 ( y - 1) + 4 (z - 1) = 0三、计算下列积分（每小题 6 分，共 30 分）1. I=yxdDD：y = x +1, y = x/2 , y = 0, y = 1 所围成 。解：I=1023210 4dy2. I VdxyzV：1x2 , -2y1 , 0z1/2 .解：I 8923112/0xd3. ),1()0,(ydx501y。 4. sz10 243xd5. I yzdy：是柱面 x2 + y2 = 1 被平面 z=0,z=3 所截得的在第一卦限的部分的前侧。解：I= 101
10、0320232 3cos3ddzxdzy四、 （8 分）求微分方程 yxln的通解。 解：分离变量得： yl两边积分得：ln(lny) = lnx+c 或 y = e c x五、 （8 分）求微分方程 10,60;34yy的特解。解：特征方程：r 2-4r+3=0 (r-3)(r-1)=0 特征值：r 1=3,r2=1通解：y=c 1e3x+c2ex 代初始条件：c 1+c2=6 3c1+c2=10 解出：c 1=2 c2=4特解：y= 2e3x+4ex20012002 高数 2 试题及解答一、填空（每题 4 分）1设 ),(wvufz具有连续的一阶偏导数，其中 ywevxuyln,si,2，
11、则yfeyy1cos0322设 D域是 ,x在dxD2与dyxD41两者中比较大的值是dy213设幂级数nxa)1(0的收敛域为（4，2） ，则幂级数 0)3(nxa的收敛区间为（0 , 6）4微分方程 2yd的通解是xxecy221二、试解下列各题（每题 6 分）1设 ),(yxf是连续函数，改变二次积分 axaxdyfdyf00 2),(),(aydxf0),(2计算曲线积分 xydxL2)(2。式中 L由极坐标方程 sinr所表示的曲线上从 0到的一段。解：yPxQ2积分与路径无关，选择沿坐标轴由点(2,0)到(0,1)原积分 380102dx3计算xyzyz33，其中 为球面 122z
12、yx的外侧。解：由高斯公式，原积分00422 5sin3drdvzv4求微分方程 xey132的一个特解。解：特征方程： ,02rr设x xx xey eyyCeyBAxy e41341,3, 21 221 原 方 程 的 一 个 特 解 ： 用 待 定 系 数 法 确 定 出 的 解是的 解是。三、 （8 分） 设曲面为 ),(,zxMez是此曲面上一点，试证曲面在点 M处的法线与向径 OM垂直。解：法线方向向量：0,1, OnzyxOexyn 故曲面在点 处的法线与向径 OM垂直。四、 （10 分） 修建一座容积为 V的形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别是地面每单位
13、面积造价的 3 倍和 2 倍，问如何设计长、宽、高，使它的造价最小。解：设仓库的长、宽、高分别为 x、y、z,容积为 V=xyz 。 设地上造价每单位面积为单位 1，地上总造价为 S1=2(xy+xz+yz),地下总造价为 S=3xy+xy+2(2xz+2yz)=4(xy+xz+yz)，x0,y0,z0由条件极值，设 F=4(xy+xz+yz)+(xyz-v),求偏导，令偏导为零得驻点：330,),(vzyx由问题的最小值存在，且在定义域内有唯一驻点，其即为所求。五、 （8 分） 函数 ),(yxz由方程 1),(xzyF所确定，其中 F具有一阶连续偏导数，求 dz。解： xyzxydzd y
14、xyx 2121其 中六、 （8 分） 设 是由 2yxz及 2yxz所围的有界闭区域。计算)2(20122 erdzedvyxeI 。七、 （6 分） 求函数 yxu在（1，1）点沿 3,4方向的方向导数。543,)1,(lu解 ：八、 （6 分） 设 ),(,)(yxvyx都是具有二阶连续偏导数的二元函数，且使曲线积分1Lvdyx与 2Ludx都与积分路径无关。试证：对于函数 ),(,)(yxvyxu，恒有0,022yvu。九、 （14 分）11 求幂级数nx12!的收敛区间及和函数。22 周期为 2 的函数 )(xf，设它在一个周期 1,上的表达式为 xf)(，将 )(f展成傅立叶级数。
15、20022003 学年解答一、选择题（12 分，每题 4 分）1函数 .00,),( 22yxyxyf（ A ） 。（A）处处连续 （B）处处有极限，但不连续（C ）仅在（0，0）点连续 （D）除（ 0，0）点外处处连续2设 为平面 1432zyx在第一卦限的部分，则dsyxz)342(（ B ）（A） 0)1(4xd（B）0)21(36（C ） )13(2006y（D） 034dyx3若 12),(, 2134 xfxxf ，则 ).(,(2Af（A） 12x （B） x2132（C） （D）二、填空题（25 分，每题 5 分）1设函数 ),(yxz由方程 zeyx2sin所确定，则 xzz
16、e1cos2设 C 为正向圆周 2a，则 ydxC21/2 a43设 )(xf在 ,0内连续，为使它在区间 ,上的傅里叶展开式具有 1coskxa形式，须将作何种延拓？偶式延拓 ， ka 0)(cos2dxfk4设 xyD2:2，由二重积分的几何意义知3222dxyD5设 yxxf tan)1(),(，求 )1,(fx 2x三、解答下列各题（每小题 6 分）1求函数 22zyxu在点 ),(0P处沿 O0方向的方向导数，其中 O 为坐标原点。解：Gradu=2x,2y,4z ;方向导数为：381,34,22在椭圆抛物面 2yxz上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线 032zyx解：切平面
17、法向量：n=2x,4y ，1 直线方向向量：s=3,-6,2 n/s，所求切点：（-3/4,3/4,27/16）四、解答下列各题（8 分）设 ),(yxf为连续函数，交换下列积分的积分次序，并写出该积分在极坐标系中先积 r 后积 的二次积分。 01102),(),(x xdyfdyfd解： sin1043sin204)(10 )sin,co(sin,co,2 rdxrfrrfyfd五、解答下列各题（8 分）设空间 区域由曲面 22yxaz和平面 z所围， 为 的表面外侧，求：dxzdyzx)1(2 解：原积分 2)sinco2()1( 42002 adzrrvxav 六、解答下列各题（8 分）
18、求微分方程 xey23的通解。解：特征方程： 2,102 rr 齐次的通解： xxecY210设非齐次的特解形式为xeBAxy)(由待定系数法确定 A1/2,B 1 于是微分方程通解为xecY2211其中 C1 C 2 为任意常数。七、解答下列各题（10 分）在圆 2yx的 0,yx部分上找点 P，使其到点 M(2,1)的距离为最小。解：设所求点 222)1()(yxdP满 足 ： 最小，条件极值由拉格朗日乘数法设：102)( )1(2222yxyFxx解出： 5,500yx八、解答下列各题（8 分）试求幂函数 1121)()n的收敛域及和函数。解： )lim2xun收敛 x=1 与 x=-1
19、 时数项级数一般项不趋于 0，故皆发散，收敛区间为(-1,1)。设和函数 S(x)= 1121)()nx1121012)( SxnxdxSx 11 1222 arctn,xxnn20 arctarct)()( xxdSx九、解答下列各题（9 分）11设)1()1)( 222 pdvzyxzyxIR，其中 是第一卦限满足22的有界闭区域 1(R。试讨论当 R时 RI的极限及当极限存在时的极限值。解：2.若数列 nu收敛，级数 11)(nnu收敛，则级数 1nu收敛。高等数学下试卷及解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中1、二重积分 (其中 D：0yx 2,0x1
20、)的值为答 ( B )2、设为球面 x2+y2+z2=a2 在 zh 部分，0ha,则答 ( D )二、填空题（将正确答案填在横线上）1. 1. 设 L 是 |y|=1 x表示的围线的正向，则 Lxdy2-22. 设 u= ),(zxf， ),(tsf可微，du= zffdxyf 211.3. 0,2:,2xydsIL为设. I= 354.三、解答下列各题已知曲线积分 Lyxyxd)()(sin与路径无关，其中 ()x可导，且 ()1，求 ()x。解：由积分与路径无关，故cxcdxeexPQxd ossini1)(sin为 ：一 阶 线 性 微 分 方 程 通 解 即代初始条件： ()1 得 )1co(1)1xc 特 解 为 ：四、解答下列各题 设 ),(yxz由方程 xyzyx32所确定， 32zxyu,求 )1,(u。,32 1,3 zu
