1、1 1第五章 晶体中电子能带理论习题晶体常数为 的一维晶体中，电子的波函数为a（1） ,xixk3cos（2） 是某一函数，flf)(-l求电子在以上状态中的波矢解 答由固体物理教程 （5.14）式reRrkrinkn可知，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足 xaxi由此得(1) xe xaiaiixkiak 3cos3cos3cos于是1i因此得,53,ak若只取布里渊区内的值： ，则有k(2) .)1()( alxflaxfaxllk 令1得.xealxfaxkiakk 由上式知=1ie所以有,64,20ak因此得在布里渊区内的值为0k2.一维周期势场为 .1,2122 bnaxnxb
2、mWxV当 当其中 ， 为常数，试画出此势能曲线，并求出势能的平均值ba4解 答2 2图 5.1 一维周期势场如图 5.1 所示，由于势能具有周期性，因此只能在一个周期内求平均即可，于是得= =a1dxV2dxVb241= mWb4= bx3182= .63.用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度解 答根据教科书（5.35）式知禁带宽度的表示式为， ngVE2其中 是周期势场 傅里叶级数的系数，该系数可由固体物理教程 （5.22）式nVx= a1dexai2求得，第一禁带宽度为=21VEgdxeaai22=2baimW224=2 b dxbxcos12= .328第二禁带宽度
3、为=22VEgdxeaai241=2bbimW42=2 b dxxcos1223 3= 2bmW4.已知一维晶格中电子的能带可写成，kaakE2cos8172式中是晶格常数 是电子的质量，求（1）能带宽度，（2）电子的平均速度，（3）在带顶和带底的电子的有效质量解 答（1）能带宽度为.minaxE由极值条件0dk得上式的唯一解是 的解，此式在第一布里渊区内的解为sina.,当 取极小值 ，且有kE,0时min=in0当 ，E(k)取极大值 ,且有a,时axE.2max由以上可得能带宽度为.2minaxE（2）由固体物理教程 （5.81）式，得电子的平均速度为.sin41i1kadkv（3）由固
4、体物理教程 （5.87）式得，带顶和带底电子的有效质量分别为.322cos12 mkmkEmaaka .2cos2101020 kkk 对简立方结构晶体，其晶格常数为 a（1）用紧束缚方法求出对应非简并 态电子的能带；（2）分别画出第一布里渊区110方向的能带电子的平均速度、有效质量以及沿110方向有恒定电场时的加速度曲线解 答（1）非简并态电子的能带4 4.enRksatssJCEk式中 是晶体参考格点最近邻格矢对于简单立方晶体，任一格点有 6 个最近邻取参考格点的坐标为nR（0,0,0）,则 6 个最近邻点的坐标为.,0,0,简单立方体非简并 s 态电子的能带则为 .coscos2akak
5、JCEk zyxsat （2）在110方向上,0yxz能带变为,2cos40kaJEks其中,0satsC在110方向上,在第一布里渊区内,电子的能带如图 5.2 所示.图 5.2110方向电子的能带电子的平均速度.2sin21kaJkEv平均速度曲线如图 5.3 所示.图 5.3 平均速度曲线电子的有效质量,2cos22 kaJkEm有效质量曲线如图 5.4 所示.5 5图 5.4 有效质量曲线 在110方向有恒定电场情况下,电子的受力eF电子的加速度.2coskaJma设电场方向与110方向相反,加速度曲线则如图 5.5 所示.图 5.5 加速度曲线6.用紧束缚方法处理面心立方体晶格的 s
6、 态电子,试导出其能带, 2cos2cos2co4 akakakJCE xzzyyxsats并求出能带底的有效质量.解 答用紧束缚方法处理晶格的 s 态电子,当只计及最近邻格点的相互作用时,根据固体物理教程（5.60）式,其能带表示式为, 是最近邻格矢.nsatssJknRke对面心立方晶格,取参考点的坐标为(0,0,0),则 12 个最近邻格点的坐标为( , ,0),( ,0, ),(0, , ).22a2a将上述 12 组坐标带入能带的表示式,得nsatssJCEknRkesatsJ zyzyzyzkyai zkxaizkxaizkxaizx yxyxyxyx kaikaikaikai k
7、aikaikaikai eee2222 22222 2226 6 zyzyzx zxxysats kakakaJCE 2cos2cos2co.4 xysats能带底即 的最小值对应的 为(0,0,0),有固体物理教程(5.87)可得在能带底处电子的有效质量kk为.202aJkEmsxxi同理可得,2aJsy2aJsz其它交叉项的倒数全为零.7.用紧束缚方法处理体心立方晶体,求出（1） s 态电子的能带为;2cos2cos8akakJCEk zyxsat（2） 画出第一布里渊区111方向的能带曲线;（3） 求出带顶和带底电子的有效质量.【解 答】（1）用紧束缚方法处理晶格的 s 态电子,当只计及
8、最近邻格点的相互作用时,其能带的表示式为是最近邻格矢.enRksatsJk对体心立方晶格,取参考格点的坐标为（0,0,0）,则 8 个最近邻格点的坐标为（ ）.2,将上述 8 组坐标代入能带的表示式,的.enRksatssJCEk zkyxaizkyxaizkyxai zkyxaizkyxaizkyxaizkyxaizyx ee eisats 222 2222 2cos2coscoscos 2222 akeakJCE zzzzkaisats ykxaiykxaiykxaiyx 42ezykaisats xkaix.cosco8JEzyxsats（2）在111方向上7 7,kkzyx3且第一布里
9、渊区边界在,azyx于是能带化成,kJEs63co80其中 .图 5.6 为第一布里渊区111方向的能带曲线.satC0图 5.6 111方向的能带曲线（3）由能带的表示式及余弦函数的性质可知,当 时, 取最小值,即0zyxksE是能带底,电子的有效质量为0zyxk202aJkEmsxxi同理可得,2aJsy2aJsz其它交叉项的倒数全为零.而在布里渊区边界上的,0,0,处是能带顶,电子的有效质量为.2aJmszyx其它交叉项的倒数也全为零.8.某晶体电子的等能面是椭球面,3212kE坐标轴 1，2，3 相互垂.（1） 求能态密度;（2） 今加一磁场 , 与坐标轴的夹角的方向余弦分别为 ,写出
10、电子的运动方程;B （3） 证明电子在磁场中的回旋频率8 8,meBc其中.213211【解 答】（1） 由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为.22321EmkEk将上式与椭球公式22czbyax比较可知,在波矢空间内电子的等能面是一椭球面.与椭球的体积34比较可得到,能量为 的等能面围成的椭球体积E23132Em由上式可得.dd23134能量区间内电子的状态数目dEVzcc 2133232是晶体体积.电子的能态密度21332mdENc（2） 根据固体物理教程中（5.86）式得,31221211 FkEkFa,322122.323133 kkEa将3212m代入上述三式得运动方程为.
11、321,FaFa即. （1）1,dtvtvdtvm9 9当存在磁场 时,电子受到洛仑兹力B.veF其分量形式为,232322321 vBv,11312 3eve式中, .Be321,将上述结果代入运动方程（1）得（2）.,12133221vdtvmvdtv(3)上述方程可用不同的方法求解.解法一：对(2)式两边作拉普拉斯变换，并采用如下初始条件, ,10v20.30v得+ - = ,pL3L1m- + + = ,1323120- + = .2vvp由此解出.1L其中.BpAmpmpm 22321321312321 , .31A321B321301201102 20330231033201 Cp
12、vmvvm pvvpv ,0323,C.3因此得.BpAABpBpAvL 2231321 1上式两边取逆拉普拉斯变换得10 10.tBACtABCpv sincos12331 同理可得.tti23132 ,301312021, vmv.2033C及.tBACtABpv sincos13 102123021, vv.30313 mm可见电子回旋频率为 .解法二：由于电子作周期运动，将试探解,ticev102tic30（这里 一般为复数，电子的真实速度应为 的实部或虚部.）3021,v 321,v代入（2）式得+ - =0,1mic302v2+ - =0,031- + =0.2ic有不全为零的解的充要条件是021,v.031212331miiiccc由此得.221321 cm于是.Bc 321这样，两种方法均给出电子回旋频率为.21321mBc 再将,eBe21,代入上式即得,c其中
