1、1习题 11-1已知质点位矢随时间变化的函数形式为 (cosin)r=Rttj其中 为常量求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：(1) 由 ，知： ，(cosin)r=RttjxsyR消去 t 可得轨道方程： 22xy质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为 R 的圆；（2）由 ，有速度：dvtsicosvttj而 ，有速率： 。122(n)()R1-2已知质点位矢随时间变化的函数形式为 ，式中 的单位为 m， 的单位为 s。求：4(3rtitjrt（1）质点的轨道；（2）从 到 秒的位移；（3） 和 秒两时刻的速度。0t10解：（1）由 ，可知 ，24(3)rtij2xy消去 t 得轨道
2、方程为： ，质点的轨道为抛物线。x2y（2）由 ，有速度：dv8vtij从 到 秒的位移为：0t11100(82)42rdtijdtij（3） 和 秒两时刻的速度为： ， 。t )v1-3已知质点位矢随时间变化的函数形式为 ，式中 的单位为 m， 的单位为 s.求：（1）2rtijrt任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。解：(1)由 ，有： ， ，有： ；drvt2vtijdvatai（2）而 ，有速率： 122() ，利用 有： 。tad21ttn221nt1-4一升降机以加速度 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为a，求螺钉从天花
3、板落到底板上所需的时间。解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为 ，升降机上升的高度为 ，运1y2y动方程分别为（1）210yvtg（2）2a（3）1d（注意到 为负值，有 ）y1y联立求解，有： 。2tga解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为 ，ga利用 ，有： 。21dgtdt21-5一质量为 的小球在高度 处以初速度 水平抛出，求：mh0v（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的 ， ， 。drtt解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：， ， ；0xvt21yhgt201()rvtihgtj（2）联立上面两式，消去
4、t 得小球轨迹方程： （为抛物线方程） ；20xyhv（3） ， ，201()rvtihgj0drigtjt即： ，jdt在落地瞬时，有： ， 2g02rvighjt又 ， 。v2220()xyv12200()ghtdv1-6路灯距地面的高度为 ，一身高为 的人在路灯下以匀速 沿直线行走。试证明人影的顶端作匀1hh1速运动，并求其速度 .2v证明：设人向路灯行走，t 时刻人影中头的坐标为 ，足的坐标为 ，1x2x由相似三角形关系可得： ，121xh 12hx两边对时间求导有： ，考虑到： ，12dxdxtht21dxvt知人影中头的速度： （常数） 。212vv影1-7一质点沿直线运动，其运动
5、方程为 (m)，在 t 从 0 秒到 3 秒的时间间隔内，则质点24tx走过的路程为多少？解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在 03s 的时间间隔内，质点速度为 0 的位置：若 解得 ，tdtxv40vt1m2)2(01 8)4(33 。xx211-8一弹性球直落在一斜面上，下落高度 ，斜面对cm20h水平的倾角 ，问它第二次碰到斜面的0xy0vhOO1 1hh3位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角) 。解：小球落地时速度为 ，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，ghv20 （1）006cosvx 2006cos16cost
6、tx （2）iny 0iningvy第二次落地时： ，代入（2）式得： ，vt0所以： 。2001cos6cos6480hxvtgcmg1-9地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为 ，设赤道上重力加速度为 。2s/m4.3 2/s.9解：由向心力公式： ，2FR向赤道上的物体仍能保持在地球必须满足： ，而现在赤道上物体的向心力为：Fg向 Fma向 098016.73.4mga1-10已知子弹的轨迹为抛物线，初速为 ，并且 与水平面的夹角为 。试分别求出抛物线顶点及落0v0地点的曲率半径。解：（1）抛物线顶点处子弹的速度
7、 ，顶点处切向加速度为 0，法向加速度为 。cosx g因此有： ，22011(cos)vg；201cosv（2）在落地点时子弹的 ，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成 角，则：0v ，有： 则： 。csnag2cosg20cosvg1-11一飞行火箭的运动学方程为 ，其中 b 是与燃料燃烧速率有关的量，u 为1()ln)xutttb燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。解：一维运动，直接利用公式： ， 有：dvtvat（1） ， （2）)1ln(budtxvbtu11-12飞机以 的速度沿水平直线飞行，在离地面高 时，驾驶员要把物品投到前方
8、s/m10v m98h某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解：设此时飞机距目标水平距离为 有：xgyx0v0vxna0vxyhO4， tvx021gth联立方程解得： ， 。mx4705.7arctnhx1-13一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为 ，而气球以速度s/m0.49v匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？s/6.19v解：物体在任意时刻的速度表达式为： gtvy0故气球中的观察者测得物体的速度 代入时间 t 可以得到第二秒末物体速度： ， （向上）29.8s第三秒末
9、物体速度： 3v第四秒末物体速度： （向下） 。49.8ms思考题 11-1质点作曲线运动，其瞬时速度为 ，瞬时速率为 ，平均速度为 ，平均速率为 ，则它们之间的vvvv下列四种关系中哪一种是正确的?（A） ；（B） ；（C） ；（D）v, , , ,答：（C）1-2沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是：（A ）与速度大小成正比；（B）与速度大小平方成正比；（ C）与速度大小成反比；（ D）与速度大小平方成反比。答：B1-3如图所示为 A，B 两个质点在同一直线上运动的 图像，vt 由图可知（A）两个质点一定从同一位置出发（B）两个质点都始终作匀加速运动
10、（C）在 末两个质点相遇2st（D）在 时间内质点 B 可能领先质点 A0:答：D1-4质点的 关系如图，图中 ， ， 三条线表示三txabc 个速度不同的运动问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速 度小？ 答：匀速直线运动； 。abcv1-5如图所示，两船 和 相距 ，分别以速度ABR 和 匀速直线行AvB驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近 的距离图中 和 为已知。答：方法一：如图，以 A 船为参考系，在该参考 系中船 A 是静止的，而船B 的速度 。vB5是船 B 相对于船 A 的速度,从船 B 作一条平行于 方向的直线 BC,它不与船 A 相交,这表明两船不v v会相
11、碰.由 A 作 BC 垂线 AC,其长度 就是两船相靠最近的距离 minr sinmiRr作 FD/AB,构成直角三角形 DEF，故有： ，vABsin在三角形 BEF 中,由余弦定理可得： )co(22Av。RvvrBAAB)cos(2insi2min 方法二：两船在任一时刻 的位置矢量分别为：tjir)in)cos(BA(BtsBvvR ji )sini()co- tvtABA 任一时刻两船的距离为： 22snscos( vrB令： 0)dt RvvABABAB 22)sini()coss(c。r )ni2min 1-6若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？ （A
12、） ， ；（ B） ， ；（C） ，0drtt0dvtt0datt答：(1) 质点作圆周运动； (2) 质点作匀速率曲线运动； (3) 质点作抛体运动。1-7如图所示，质点在 t=0 时刻由原点出发作斜抛运动，其速度 ，回到 x 轴的时刻为 t，则xyvij（A） （B）00dttxv00dttyv（C） （D）tt tt答：A （注意：题目中各处的 v 应为矢量！须加上箭 头。 ）1-8一质点作斜抛运动，用 代表落地时，1t（1）说明下面三个积分的意义： ；111000d,dtttxyv（2）用 和 代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：AB6。BArd,dr答： 表示物体落地时
13、x 方向的距离，tvtxd10表示物体落地时 y 方向的距离，tty1表示物体在 时间内走过的几何路程，10dtv1t抛出点到落地点的位移，BAr抛出点到落地点位移的大小，d抛出点到落地点位移的大小。BAr习题 22-1 质量为 16kg 的质点在 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 ， ，当xOy 6Nxf7yf时， ， ， 。当 时，求：0t0xy2m/sxv0yvst(1) 质点的位矢；(2) 质点的速度。解：由 ，有： ，xfaxa263/18s27m/16yfas（1） ，20 5/4xxvdt。7m/168yyas于是质点在 时的速度：2s7/vij（2） 220()xyrvti
14、at 137(4)()42816ij13748ij2-2 质量为 2kg 的质点在 xy 平面上运动，受到外力 的作用，t =0 时，它的初速度为24Fij，求 t=1s 时质点的速度及受到的法向力 。034vij n解：解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。由： ，有： ，两边积分有：dvFmt24dvitjt7， ，0 21(4)vtditjd 3024vtij考虑到 ， ，有3s115由于在自然坐标系中， ，而 （ 时） ，表明在 时，切向速度方向就是 方向，teist1st1i所以，此时法向的力是 方向的，则利用 ，将 代入有 ，j 2Ftj424tnFije 。24nFN2-3如图，物
15、体 A、B 质量相同，B 在光滑水平桌面上滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计系统无初速地释放，则物体 A 下落的加速度是多少？ 解：分别对 A，B 进行受力分析，可知：mgTa21BAa则可计算得到： 。45ag2-4如图，用质量为 的板车运载一质量为1m 的木箱，车板与箱2m底间的摩擦系数为 ，车与路面间的滚动摩擦可 不计，计算拉车的力为多少才能保证木箱不致滑动？ F解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须 使板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。即： max2122fga可得： ()Fg解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为 ，列式有：axFm
16、ax21g联立得： ，ax12()Fmg有： 。2-5如图所示一倾角为 的斜面放在水平面上， 斜面上放一木块，两者间摩擦系数为 。为使木块相对斜)(t 面静止，求斜面加速度 的范围。a解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图 a） ，列式为：sincosNmg1a可计算得到：此时的 tn（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图 b） ， 列式为：sincosg2Nma8可计算得到：此时的 ，所以： 。tan12gtantan11gg解法二：考虑物体 m 放在与斜面固连的非惯性系中，将物体
17、 m 受力沿 和 方向分解，如图示，同时xy考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式：方向：xsincos0gaf方向：yinN考虑到 ，有： ，fcs(cosin)0mga解得： 。itcosi1aag 的取值范围： 。tannt2-6质量为 的子弹以速度 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比m0v例系数为 ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土k的最大深度。解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为： fkv又由牛顿第二定律可得： ，则dvftdkmt分离变量，可得： ，两边同时积分，有： ，vkm0t
18、vd所以：tkev0（2）子弹进入沙土的最大深度也就是 的时候子弹的位移，则：0v考虑到 ， ，可推出： ，而这个式子两边积分就可以得到位移：dxttdvtmdxvk。0max0vk2-7质量为 的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，2劈形物质量为 ，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为 ，1 求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。解：利用隔离体方法，设方形物 相对于劈形物2m1沿斜面下滑的加速度为 ，劈形物 水平向左的加2a1速度为 ，分析受力有：1a方形物 受力： ， ， （惯性力） ；2m2g1N2劈形物 受力： ， ， ，如图；1对于 ，有沿斜面平行和垂直的方程为：222cosina
19、ma1cosNg对于 ，有：m11sinaxyNmg21m1N22mg2a9将代入有： ，1212sincossinmamg ，代入，有：212coag12()inag再将 在水平和竖直两方向上分解，有：122()sinxm221isy yaga 122ncosixx而相互作用力： 1siNgm21s2-8在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为 ，一小R球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为 ，在 时，球的速率为 ，求任一时刻球的0t0v 速率和运动路程。解：利用自然坐标系，法向： ，而：2fN切向： ，则：dtvmftR，得：0201vtR tv00ln(1)ttSt2-9如图，一质点在几个力作用
20、下沿半径为 的圆周运动，其中有一恒力 N，求质点从20Rm0.6FiA 开始沿逆时针方向经 3/4 圆周到达 B 的过程中，力 所做的功。F解：本题为恒力做功，考虑到 B 的坐标为（ ， ） ， ，再利用： ，20BArij Ar有： （焦耳）.6()12i2-10质量为 m=0.5kg 的质点，在 xOy 坐标平面内运动，其运动方程为 x=5t2,y=0.5(SI),从 t=2s 到 t=4s 这段时间内，外力对质点的功为多少？解：由功的定义： ，题意：AFr250.rtij，24()260ri 2.15dmit 。53AiJ1m1g2NyOBAF10mARB2-11一质量为 的物体，在力
21、的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻 此力所做m2()Fatibj t功的功率为多少。解：由 ，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：PFv22311()()dtatibjdttitjm所以功率为：。v22323251()()()tijtibtjatbt2-12一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为 ，其中 和 单位分2.8.4FxiFx别为 和 。Nm（1）计算当将弹簧由 拉伸至 过程中，外力所做之功；m52.01x34.12x（2）此弹力是否为保守力?解：（1）由做功的定义可知： 211.342052(.8.)xAFdd3216.()69.xJ（2） ，按保守力的定义：)i(
22、()BAABxdlxdrFidr:) ()0BAFiyjzkxiyjdzk该弹力为保守力。2-13如图，一质量为 m 的质点，在半径为 R 的半球形容 器中，由静止开始自边缘上的 A 点滑下，到达最低点 B 时，它对容器的正压力数值为 N，求质点自 A 滑到 B 的过程中，摩擦力对其做的 功。分析： 直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要f 知道它的末速度的情况。解：求在 B 点的速度： ，2vGR可得： Nmv)(21由动能定理： 20fgAmv ()(3)fAGRgR2-14在密度为 的液面上方，悬挂一根长为 ，密度为 的均匀棒 ，棒的 端刚和液面接触如图1l2AB所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在 的条件121下，求细棒下落过程中的最大速度 ，以及细棒能进入液体maxv 的最大深度 。H解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以： ，即 ，则： 。GF浮 hsgl12l12利用功能原理： ，有：gvA浮 2max10hsvsglsyd
