1、0第一章 随机事件与概率习题参考答案与提示1 设 为三个事件,试用 表示下列事件,并指出其中CBA、 CBA、哪两个事件是互逆事件:(1)仅有一个事件发生; (2)至少有两个事件发生;(3)三个事件都发生; (4)至多有两个事件发生;(5)三个事件都不发生; (6)恰好两个事件发生。分析:依题意,即利用事件之间的运算关系,将所给事件通过事件表示出来。CBA、解:(1)仅有一个事件发生相当于事件 有一个发生,CBA、即可表示成 ;CBA类似地其余事件可分别表为(2) 或 ;(3) ;(4)ABBA或 ;(5) ;(6) 或C C。C由上讨论知, (3)与(4)所表示的事件是互逆的。2如果 表示一
2、个沿着数轴随机运动的质点位置,试说明下列事件的包含、x互不相容等关系:0|A3|xB9|xC5xD9E解:(1)包含关系: 、 。ADBE(2)互不相容关系: 与 (也互逆) 、 与 、 与 。CD3写出下列随机事件的样本空间:(1)将一枚硬币掷三次,观察出现 (正面)和 (反面)的情况;HT(2)连续掷三颗骰子,直到 6 点出现时停止, 记录掷骰子的次数;(3)连续掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和;(4)生产产品直到有 10 件正品时停止,记录生产产品的总数。解:(1) ;THTHT,(2) ; ,2(3) ;184(4) 。,014设对于事件 有 , ,CBA、 )(P4/1)(CB8/1
3、)(AP,求 至少出现一个的概率。0)()(PAB、提示: 至少出现一个的概率即为求 ,可应用性质 4、 及性质 5 得 )5/85设 、 为随机事件, ,求 。3.0)(7.0)(BAP, )(ABP提示:欲求 ,由概率性质 3 可先计算 。)(ABP解:由于 ,且 ,从而)()()即4.0)(BAPABP由概率性质 3 得。6.1)()(6已知事件 、 满足 且 ,求 。()3/1(APPB()解法一:由性质(5)知= (性质 5) PB()APB)()= (性质 3)1A(= (对偶原理)()= = (已知条件)PA321解法二:由于=B()()BPA()()1= 31P从而得 ,即0)
4、(32PB7一个袋中有 5 个红球 2 个白球,从中任取一球,看过颜色后就放回袋中,然后再从袋中任取一球。求:(1)第一次和第二次都取到红球的概率;(2)第一次取到红球,第二次取到白球的概率。解:设 表示:“第一次和第二次都取到红球” ;A表示:“第一次取到红球,第二次取到白球“。B2(1)由于 ( )= ,且 ( )= ,故nA5n7492)(P(2)由于 ( )= ,且 ( )= ,故B10)n8一批产品有 8 个正品 2 个次品,从中任取两次,每次取一个(不放回)。求:(1)两次都取到正品的概率;(2)第一次取到正品,第二次取到次品的概率;(3)第二次取到次品的概率;(4)恰有一次取到次
5、品的概率。解:设 表示:“第 次取出的是次品” ( =1,2) ,则所求概率依次化为iAi i、 、 、 。)(21P)(21 )()212AP)(21AP由于无放回地从 10 个产品中任取两次,每次取一个,第一次有 10 个可取,第二次有 9 个可取,因此 ( 。n)90(1)由于 ( 87,所以 21A)P4590(2) ( 82,所以 n12)A或直接用乘法公式)(21P)|(121AP458920(3)由于 ( 21, ( 82,且 ,所以 nn2 21A。)2A)11或直接用乘法公式)()()() 2121212 APAP|)519208(4)由于 互不相容, 21、)(21AP)(
6、)(1AP3)|()|() 121121 APAP。4569089设有 80 件产品,其中有 3 件次品,从中任取 5 件检查。求所取 5 件中至少有 3 件为正品的概率。解:设 :“所取 5 件中至少有 3 件为正品” ;则 的对立事件为至多有 2AA件为正品,即:“恰有 2 件为正品” (最多有 3 件次品) 。因此)(1)(P82165)(507CnA或: 57134237CAn。82165)(58071342310从 5 双不同的鞋子中任取 4 只,求 4 只鞋子至少有 2 只配成一双的概率。分析:直接求 4 只鞋子至少有 2 只配成一双的概率不易得到正确的结果,这是由于所考虑事件比较
7、复杂,解决此类问题的方法通常是利用概率性质 3,即先求逆事件的概率。该题的解法较多,现分述如下:解:设事件 表示:“取出的 4 只鞋子至少有 2 只配成一双” ,则事件 表A A示:取出的 4 只鞋任意两只均不能配成一双” 。方法一若取鞋子是一只一只地取(不放回) ,则共有取法 10987 种,而取出的 4 只鞋任意两只均不能配成一双的取法共有 10864 种,所以2137891046)(1)( AP方法二、从 5 双不同的鞋子中任取 4 只,共有 =210 种取法。取出的 440C只鞋任意两只均不能配成一双共有 =80 种取法(先从 5 双中任取 4 双共5种取法,然后从每双鞋子中任取一只,
8、每双鞋子有 2 种取法,故共有 种取45C 2法) 。所以1308)(1)(AP方法三、为了使取出的 4 只鞋子任意两只均不能配成一双,故可考虑 4 只鞋子中取左脚 ( 只,右脚 只(这 只右脚只能从剩k02, , , , )k4k4余的 双鞋子中任取)其共有 种取法,故 k54058kkC213)(1)(AP方法四、 (直接法)设事件 表示:“取出的 4 只鞋子恰有 双配对”i i( =1, 2) ,则 ,且 。 包含基本事件数为从 5 双鞋子i 21211A中任取一双,同时在另外 4 双鞋子中任取不能配对的两只的不同取法共有种( ) ; 包含基本事件数为从 5 双鞋子中任取 2 双,C51
9、8241()(5C2不同取法共有 种。故2213)()()( 40541028521 CAP11假设每个人的生日在一年 365 天都是等可能的,那么随机选取个人,求他们的生日各不相同的概率及这 个人至少有两个人生日在同)365(n n一天的概率;若 ,求上述两个事件的概率。n40分析:此问题属于占位问题。解:设 表示事件:“ 个人的生日各不相同” ; 表示事件:“这 个人ABn至少有两个人生日在同一天” 。由于每个人的生日在一年 365 天都是等可能的,所以 ( )= , ( ) ,从而 。n365nnA365nAP365)(由于 事件是 事件的对立事件,所以BnP1)()(365若取 ,则4
10、0n09.365)(40A891.1)(PB12某进出口公司外销员与外商约谈,两人相约某天 8 点到 9 点在预定地点会面,先到者要等候另一个人 20 分钟,过时就离去,若每人在这指定的一个小时内任一时刻到达是等可能的,求事件 =两人能会面 的概率。A解:设 分别表示两人到达预定地点 xy、的时刻,那么两人到达时间的可能结果 60 对应边长为 60 的正方形里所有点(见图 1-51) , 这个正方形就是样本空间 ,而两人能会面 的充要条件是 ,即 且 xy20xy20,所以,事件 对应图中阴影 图 1-1xy20A部分里的所有点。因此,所求概率为 P()60459213设某光学仪器厂制造的透镜
11、,第一次落下时被打破的概率为 3/10,第二次落下时被打破的概率为 1/2,第三次落下时被打破的概率为 9/10,试求透镜落下三次未打破的概率。分析:解决此问题的关键在于正确理解题意,弄清概率 1/2、9/10 的具体含义。依题意“第二次落下时被打破的概率为 1/2”指的是第一次落下未被打破的情况下,第二次落下时被打破的概率;概率 9/10 的含义类似。解:设 表示“第 次落下时未被打破” , 表示“落下三次未iAi )321(,iA被打破” ,则 ,321)|()|()() 213121PAP079)014由长期统计资料得知,某一地区在 4 月份下雨(记作事件 )的概率A为 4/15,刮风(
12、记作事件 )的概率为 7/15,刮风又下雨(记作事件 )的概BC率为 1/10。求 , , 。 )|(AP)|()(BAP解: 1435/70| 8/)(|(B.3019571)(APAP15设 、 为随机事件,若 , ,求:B6)(.0B, 8.)|(AP(1) ;(2) 。 )()(B分析:该题主要是考查条件概率公式、乘法公式及概率性质的应用。解:(1) ;4.08.)|()( APA6(2) 。 7.046.50)()()( ABPBAP16一机床有 1/3 的时间加工零件 ,其余时间加工零件 ,加工零件B时,停机的概率是 3/10,加工零件 时,停机的概率是 4/10,求这台机床停A机
13、的概率。分析:依题意,这是一全概率问题。解:设 事件表示:“加工零件 ”; 事件表示:“加工零件 ; 事件表示:ABBC“机床停机” 。 则由全概率公式得)|()|()( CPPC3014210317有两个口袋,甲袋中盛有 2 个白球 1 个黑球;乙袋中盛有 1 个白球 2个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋,再从乙袋中取出一球,求取到白球的概率。分析:依题意,这是一全概率问题,因为从乙袋中取出一球是白球有两个前提,即由甲袋任取一球放入乙袋有两种可能(由甲袋任取出的球可能是白球,也可能是黑球) ,并且也只有这两种可能。因此若把这两种可能看成两个事件,这两个事件的和事件便构成了一个必然事件。解:设 表
14、示:“由甲袋取出的球是白球” ; 表示:“由甲袋取出的球是AB黑球” ; 表示:“从乙袋取出的球是白球” 。则由全概率公式得C)|()|()( CPBP125121218设有一箱同类产品是由三家工厂生产的,其中 是第一家工厂生产的,其余两家各生产 ,又知第一、二家工厂生产的产品有 2%的次品,第三家工厂4生产的产品有 4%的次品,现从箱中任取一只,求: (1)取到的是次品的概率;(2)若已知取到的是次品,它是第三家工厂生产的概率。解:设事件 表示:“取到的产品是次品” ;事件 表示:“取到的产品AiA是第 家工厂生产的 ”( ) 。则 ,且 。ii123, , 123Pi()0(1)又由于 两
15、两互不相容,由全概率公式得1、 、PAPAiii()()|) .132104140257(2)由条件概率定义、乘法公式、全概率公式得= 。 )|(3AP 4.025.1)|()()313j jjAP19某专门化医院平均接待 K 型病患者 50%,L 型病患者 30%,M 型病患者 20%,而治愈率分别为 7/10、8/10、9/10。今有一患者已治愈,问此患者是K 型病的概率是多少?分析:依题意,这是一全概率公式及贝叶斯公式的应用问题,解决问题的关键是找出一组两两互斥事件。解:设事件 表示:“一患者已治愈” ;事件 ( )表示:“患者AiA321,是 K、L 、M 型病的” 。则 ,且 , 两
16、两互321A0)(iP32A、斥,由全概率公式得31)|()(i iiPP 179218075= )|(1A311)|()j jjA50720三个人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概率分别为1/5、1/3、1/4,求此密码被译出的概率。 解:设事件 表示:“此密码被译出” ;事件 表示:“第 个人破译出密AiBi码” ( ) ,则 。i123, , 321B方法一、 )()P)(321PP321)3B21544545 方法二、由 相互独立知, 也相互独立,所以321B、 321、)()321PA)(BP(3218。53)41()51(21若 ,证明事件 相互独立。|)|(BAPBA与 事
17、件证明:由于 ,且 ,所以)|()|()( P)|()|()( BABP从而有|)( PAB故由定义 1-4 知,事件 相互独立。与 事 件22一个系统由三个元件按图所示方式连接而成,设每个元件能正常工作的概率(即元件的可靠性)均为 A;求系统的可靠性。r()01(设三个元件能否正常工作是 C相互独立的) 。 B分析:此问题是考查事件间的关系及独立性的应用。解:设事件 、 、 分别表示如图: “元件 、 、 正常工作” ; 则ABCA问题化为求 。)(P)2(2)()(3rrBPC 23设事件 与 相互独立,已知 , ,求 ,5.08.0BP)(BAP。)(BA解: = P(AA)()5.08
18、.BP解得, ;所以6.0)(2.4.)(B。7.024.50)( APA24已知 , , ,求 。3.BP)(|BAP分析:由 ,因此转化为计算概率)()(| 及 ,而 。)(BAP )()(A解:由条件概率公式知)()()()(| BPBP9又 ,所以BAAB,2.057.)()1)()( BAPPP8)4130(故。8.2)()(| BAPB25随机地向半圆 ( 为正常数)内掷一点,若该点落在20xay半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,求原点和该点的连线与 轴的夹x角小于 的概率。 4/解:设事件 :“表示掷的点和原点的连线与 轴的夹角小于 ”;这是Ax4/一个几何概型的概率计算问
19、题。由几何概率公式(如图)半 圆SPD)(而 21aS半 圆 4D故12/)(2aAP26设有来自三个地区的各 10 名、15 名、25 名考生的报名表,其中女生的报名表分别为 3 份、7 份、5 份。随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份,求:(1)先抽到的一份是女生表的概率 ;p(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率 。 q分析:依题意,所有报名表来自三个地区,因此随机地取一个地区的报名表,抽到各个地区的报名表的概率应是相等的;若从中先后抽出两份,则(1)可用全概率公式求得;(2)是一个条件概率。解:设 ( 表示 “第 次抽到的一份是女生表” ;iB), 21i( 表示“抽到的报名表来自第 个地区” 。iA), 3i(1) )31211()ABP)|()|(| 31321ABPP