1、0第一章 随机事件与概率习题参考答案与提示1 设 为三个事件，试用 表示下列事件，并指出其中CBA、 CBA、哪两个事件是互逆事件：（1）仅有一个事件发生； （2）至少有两个事件发生；（3）三个事件都发生； （4）至多有两个事件发生；（5）三个事件都不发生； （6）恰好两个事件发生。分析：依题意，即利用事件之间的运算关系，将所给事件通过事件表示出来。CBA、解：（1）仅有一个事件发生相当于事件 有一个发生，CBA、即可表示成 ；CBA类似地其余事件可分别表为（2） 或 ；（3） ；（4）ABBA或 ；（5） ；（6） 或C C。C由上讨论知， （3）与（4）所表示的事件是互逆的。2如果 表示一
2、个沿着数轴随机运动的质点位置，试说明下列事件的包含、x互不相容等关系：0|A3|xB9|xC5xD9E解：（1）包含关系： 、 。ADBE（2）互不相容关系： 与 （也互逆） 、 与 、 与 。CD3写出下列随机事件的样本空间：（1）将一枚硬币掷三次，观察出现 （正面）和 （反面）的情况；HT（2）连续掷三颗骰子，直到 6 点出现时停止, 记录掷骰子的次数；（3）连续掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；（4）生产产品直到有 10 件正品时停止，记录生产产品的总数。解：（1） ；THTHT,（2） ； ,2（3） ；184（4） 。,014设对于事件 有 , ，CBA、 )(P4/1)(CB8/1
3、)(AP，求 至少出现一个的概率。0)()(PAB、提示： 至少出现一个的概率即为求 ，可应用性质 4、 及性质 5 得 )5/85设 、 为随机事件， ，求 。3.0)(7.0)(BAP， )(ABP提示：欲求 ，由概率性质 3 可先计算 。)(ABP解：由于 ，且 ，从而)()()即4.0)(BAPABP由概率性质 3 得。6.1)()(6已知事件 、 满足 且 ，求 。()3/1(APPB()解法一：由性质（5）知= （性质 5） PB()APB)()= （性质 3）1A(= （对偶原理）()= = （已知条件）PA321解法二：由于=B()()BPA()()1= 31P从而得 ，即0)
4、(32PB7一个袋中有 5 个红球 2 个白球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取一球。求：（1）第一次和第二次都取到红球的概率；（2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率。解：设 表示：“第一次和第二次都取到红球” ；A表示：“第一次取到红球，第二次取到白球“。B2（1）由于 ( )= ，且 ( )= ，故nA5n7492)(P（2）由于 ( )= ，且 ( )= ，故B10)n8一批产品有 8 个正品 2 个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：（1）两次都取到正品的概率；（2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率；（3）第二次取到次品的概率；（4）恰有一次取到次
5、品的概率。解：设 表示：“第 次取出的是次品” （ =1，2） ，则所求概率依次化为iAi i、 、 、 。)(21P)(21 )()212AP)(21AP由于无放回地从 10 个产品中任取两次，每次取一个，第一次有 10 个可取，第二次有 9 个可取，因此 ( 。n)90（1）由于 ( 87，所以 21A)P4590（2） ( 82，所以 n12)A或直接用乘法公式)(21P)|(121AP458920（3）由于 ( 21， ( 82，且 ，所以 nn2 21A。)2A)11或直接用乘法公式)()()() 2121212 APAP|)519208（4）由于 互不相容， 21、)(21AP)(
6、)(1AP3)|()|() 121121 APAP。4569089设有 80 件产品，其中有 3 件次品，从中任取 5 件检查。求所取 5 件中至少有 3 件为正品的概率。解：设 ：“所取 5 件中至少有 3 件为正品” ；则 的对立事件为至多有 2AA件为正品，即：“恰有 2 件为正品” （最多有 3 件次品） 。因此)(1)(P82165)(507CnA或： 57134237CAn。82165)(58071342310从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，求 4 只鞋子至少有 2 只配成一双的概率。分析：直接求 4 只鞋子至少有 2 只配成一双的概率不易得到正确的结果，这是由于所考虑事件比较
7、复杂，解决此类问题的方法通常是利用概率性质 3，即先求逆事件的概率。该题的解法较多，现分述如下：解：设事件 表示：“取出的 4 只鞋子至少有 2 只配成一双” ，则事件 表A A示：取出的 4 只鞋任意两只均不能配成一双” 。方法一若取鞋子是一只一只地取（不放回） ，则共有取法 10987 种，而取出的 4 只鞋任意两只均不能配成一双的取法共有 10864 种，所以2137891046)(1)( AP方法二、从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，共有 =210 种取法。取出的 440C只鞋任意两只均不能配成一双共有 =80 种取法（先从 5 双中任取 4 双共5种取法，然后从每双鞋子中任取一只，
8、每双鞋子有 2 种取法，故共有 种取45C 2法） 。所以1308)(1)(AP方法三、为了使取出的 4 只鞋子任意两只均不能配成一双，故可考虑 4 只鞋子中取左脚 （ 只，右脚 只（这 只右脚只能从剩k02， ， ， ， )k4k4余的 双鞋子中任取）其共有 种取法，故 k54058kkC213)(1)(AP方法四、 （直接法）设事件 表示：“取出的 4 只鞋子恰有 双配对”i i（ =1， 2） ，则 ，且 。 包含基本事件数为从 5 双鞋子i 21211A中任取一双，同时在另外 4 双鞋子中任取不能配对的两只的不同取法共有种（ ） ； 包含基本事件数为从 5 双鞋子中任取 2 双，C51
9、8241()(5C2不同取法共有 种。故2213)()()( 40541028521 CAP11假设每个人的生日在一年 365 天都是等可能的，那么随机选取个人，求他们的生日各不相同的概率及这 个人至少有两个人生日在同)365(n n一天的概率；若 ，求上述两个事件的概率。n40分析：此问题属于占位问题。解：设 表示事件：“ 个人的生日各不相同” ； 表示事件：“这 个人ABn至少有两个人生日在同一天” 。由于每个人的生日在一年 365 天都是等可能的，所以 ( )= ， ( ) ，从而 。n365nnA365nAP365)(由于 事件是 事件的对立事件，所以BnP1)()(365若取 ，则4
10、0n09.365)(40A891.1)(PB12某进出口公司外销员与外商约谈，两人相约某天 8 点到 9 点在预定地点会面，先到者要等候另一个人 20 分钟，过时就离去，若每人在这指定的一个小时内任一时刻到达是等可能的，求事件 =两人能会面 的概率。A解：设 分别表示两人到达预定地点 xy、的时刻，那么两人到达时间的可能结果 60 对应边长为 60 的正方形里所有点（见图 1-51） ， 这个正方形就是样本空间 ，而两人能会面 的充要条件是 ，即 且 xy20xy20，所以，事件 对应图中阴影 图 1-1xy20A部分里的所有点。因此，所求概率为 P()60459213设某光学仪器厂制造的透镜
11、，第一次落下时被打破的概率为 3/10，第二次落下时被打破的概率为 1/2，第三次落下时被打破的概率为 9/10，试求透镜落下三次未打破的概率。分析：解决此问题的关键在于正确理解题意，弄清概率 1/2、9/10 的具体含义。依题意“第二次落下时被打破的概率为 1/2”指的是第一次落下未被打破的情况下，第二次落下时被打破的概率；概率 9/10 的含义类似。解：设 表示“第 次落下时未被打破” ， 表示“落下三次未iAi )321(，iA被打破” ，则 ，321)|()|()() 213121PAP079)014由长期统计资料得知，某一地区在 4 月份下雨（记作事件 ）的概率A为 4/15，刮风（
12、记作事件 ）的概率为 7/15，刮风又下雨（记作事件 ）的概BC率为 1/10。求 ， ， 。 )|(AP)|()(BAP解： 1435/70| 8/)(|(B.3019571)(APAP15设 、 为随机事件，若 ， ，求：B6)(.0B， 8.)|(AP（1） ；（2） 。 )()(B分析：该题主要是考查条件概率公式、乘法公式及概率性质的应用。解：（1） ；4.08.)|()( APA6（2） 。 7.046.50)()()( ABPBAP16一机床有 1/3 的时间加工零件 ，其余时间加工零件 ，加工零件B时，停机的概率是 3/10，加工零件 时，停机的概率是 4/10，求这台机床停A机
13、的概率。分析：依题意，这是一全概率问题。解：设 事件表示：“加工零件 ”； 事件表示：“加工零件 ； 事件表示：ABBC“机床停机” 。 则由全概率公式得)|()|()( CPPC3014210317有两个口袋，甲袋中盛有 2 个白球 1 个黑球；乙袋中盛有 1 个白球 2个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求取到白球的概率。分析：依题意，这是一全概率问题，因为从乙袋中取出一球是白球有两个前提，即由甲袋任取一球放入乙袋有两种可能（由甲袋任取出的球可能是白球，也可能是黑球） ，并且也只有这两种可能。因此若把这两种可能看成两个事件，这两个事件的和事件便构成了一个必然事件。解：设 表
14、示：“由甲袋取出的球是白球” ； 表示：“由甲袋取出的球是AB黑球” ； 表示：“从乙袋取出的球是白球” 。则由全概率公式得C)|()|()( CPBP125121218设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中 是第一家工厂生产的，其余两家各生产 ，又知第一、二家工厂生产的产品有 2%的次品，第三家工厂4生产的产品有 4%的次品，现从箱中任取一只，求： （1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品，它是第三家工厂生产的概率。解：设事件 表示：“取到的产品是次品” ；事件 表示：“取到的产品AiA是第 家工厂生产的 ”（ ） 。则 ，且 。ii123， ， 123Pi()0（1）又由于 两
15、两互不相容，由全概率公式得1、 、PAPAiii()()|) .132104140257（2）由条件概率定义、乘法公式、全概率公式得= 。 )|(3AP 4.025.1)|()()313j jjAP19某专门化医院平均接待 K 型病患者 50%，L 型病患者 30%，M 型病患者 20%，而治愈率分别为 7/10、8/10、9/10。今有一患者已治愈，问此患者是K 型病的概率是多少？分析：依题意，这是一全概率公式及贝叶斯公式的应用问题，解决问题的关键是找出一组两两互斥事件。解：设事件 表示：“一患者已治愈” ；事件 （ ）表示：“患者AiA321，是 K、L 、M 型病的” 。则 ，且 ， 两
16、两互321A0)(iP32A、斥，由全概率公式得31)|()(i iiPP 179218075= )|(1A311)|()j jjA50720三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5、1/3、1/4，求此密码被译出的概率。 解：设事件 表示：“此密码被译出” ；事件 表示：“第 个人破译出密AiBi码” （ ） ，则 。i123， ， 321B方法一、 )()P)(321PP321)3B21544545 方法二、由 相互独立知， 也相互独立，所以321B、 321、)()321PA)(BP(3218。53)41()51(21若 ，证明事件 相互独立。|)|(BAPBA与 事
17、件证明：由于 ，且 ，所以)|()|()( P)|()|()( BABP从而有|)( PAB故由定义 1-4 知，事件 相互独立。与 事 件22一个系统由三个元件按图所示方式连接而成，设每个元件能正常工作的概率（即元件的可靠性）均为 A；求系统的可靠性。r()01（设三个元件能否正常工作是 C相互独立的） 。 B分析：此问题是考查事件间的关系及独立性的应用。解：设事件 、 、 分别表示如图： “元件 、 、 正常工作” ； 则ABCA问题化为求 。)(P)2(2)()(3rrBPC 23设事件 与 相互独立，已知 ， ，求 ，5.08.0BP)(BAP。)(BA解： = P(AA)()5.08
18、.BP解得， ；所以6.0)(2.4.)(B。7.024.50)( APA24已知 ， ， ，求 。3.BP)(|BAP分析：由 ，因此转化为计算概率)()(| 及 ，而 。)(BAP )()(A解：由条件概率公式知)()()()(| BPBP9又 ，所以BAAB，2.057.)()1)()( BAPPP8)4130(故。8.2)()(| BAPB25随机地向半圆 （ 为正常数）内掷一点，若该点落在20xay半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与 轴的夹x角小于 的概率。 4/解：设事件 ：“表示掷的点和原点的连线与 轴的夹角小于 ”；这是Ax4/一个几何概型的概率计算问
19、题。由几何概率公式（如图）半 圆SPD)(而 21aS半 圆 4D故12/)(2aAP26设有来自三个地区的各 10 名、15 名、25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份、5 份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，求：（1）先抽到的一份是女生表的概率 ；p（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 。 q分析：依题意，所有报名表来自三个地区，因此随机地取一个地区的报名表，抽到各个地区的报名表的概率应是相等的；若从中先后抽出两份，则（1）可用全概率公式求得；（2）是一个条件概率。解：设 （ 表示 “第 次抽到的一份是女生表” ；iB）， 21i（ 表示“抽到的报名表来自第 个地区” 。iA）， 3i（1） )31211()ABP)|()|(| 31321ABPP
