1、习题 11-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为 ，质量为 ，求它的弹性fm系数。解：由公式 得：moMKf21mfKm2)(1-2 设有一质量 用长为 的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子ml的质量和弹性均可忽略。试问：（1） 当这一质点被拉离平衡位置 时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？（2） 当外力去掉后，质点 在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？mM（答： ， 为重力加速度）lgf210图 习题 12解：（1）如右图所示，对 作受力分析：它受重力 ，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力 ，这mMmMg T
2、两力的合力 就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。F设绳子摆动后与竖直方向夹角为 ，则sinl受力分析可得： sinmmgl（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在 作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与F位移的方向相反。由牛顿定律可知：2dmMt则 即 2dmMgtl2d0,gtl即 这就是小球产生的振动频率。20l01,2fl1-3 有一长为 的细绳，以张力 固定在两端，设在位置 处，挂着一质量 ，如图所示，试lT0xmM问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置 时，它 所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？(2) 当外力去掉后，质量 在此恢复力mM作用下产生振
3、动，它的振动频率应如何表示？(3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？解：首先对 进行受力分析，见右图，m0)(2020xTxlTFx（ ， 。 ） 202)()(, xll2020)(xTxlTy0l)(0xlT可见质量 受力可等效为一个质点振动系统，质量 ，弹性系数 。mMmM)(0xlTk（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为 ，方向为竖直向下。)(0xlTF（2）振动频率为 。mxlTK)(0（3）对 分析可得，当 时，系统的振动频率最低。20x1-4 设有一长为 的细绳，它以张力 固定在两端，如图所示。设在绳的 位置处悬有一质量为lT0x的重物。求该系统的固有频率。提示
4、：当悬有 时，绳子向下产生静位移 以保持力的平衡，并MM图 习题 1-3假定 离平衡位置 的振动 位移很小，满足 条件。 M00图 习题 14解：如右图所示，受力分析可得 002cos41TMggll又 ， ，可得振动方程为 0T20d2Tlt即 20d4Mtll001122Tgf M1-5 有一质点振动系统，已知其初位移为 ，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。解：设振动位移 ，)cos(0ta速度表达式为 。in0v由于 ， ，0tt代入上面两式计算可得：；t0cos。vin振动能量 。2021amaME1-6 有一质点振动系统，已知其初位移为 ，初速度为 ，试求其振动位移、速度、和能
5、量。00v解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为 ，质量为 ，取正方向沿 轴，位移mKmMx为 。则质点自由振动方程为 （其中 ）20d,t20,mKM解得 0cos(),a0 00dincos()2avt tt 当 ， 时， 0t0tv00cs()av20001arctnv质点振动位移为 20001os(artn)v质点振动速度为 2000c(rt)2vv质点振动的能量为 2201maEMv1-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加，试问：tt2sin1i(1) 在什么时候位移最大？(2) 在什么时候速度最大？解： ， tt2sin1idtco。ttt
6、 2sinsi22令 ，得： 或 ，0dt3kt kt经检验后得： 时，位移最大。2令 ，得： 或 ，02dtkt)41arcos(2kt经检验后得： 时，速度最大。t21-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示 )cos()cos(2211 tt试证明 )(ta其中 ，)cos(212121a 21cossiniarctn证明： )cs(2211tt122osincossintt12 1cs(co)i(in)t设 ，12A12(s)B则 = （其中 ）cosintt2cAtarctn()BA又 22121212ososB1siiin2121212(css)21o)又 arctn()BA12s
7、iniarct()cos令 221121(a则 )cos(t1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示( )twt21coss12试证明，)s(1ta其中 .,)cos(inrcta,)co2 2121121 wtwta 解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。由余弦定理知， )cos(212121 twa 其中， 。12w由三角形面积知，sin21sin21awt得 ati得 wttga22sin221)co(twtsin21故 tcoi21即可证。1-10 有一质点振动系统，其固有频率 f0 为已知，而质量 Mm 与弹性系数 Km 待求，现设法在此质量 Mm 上附加一已知质量 m，并测得
8、由此而引起的弹簧伸长 1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.证 由胡克定理得 mgK m1 Kmmg/ 1由质点振动系统固有频率的表达式 得， .Mf20120204fmgfKm纵上所述，系统的质量 Mm 和弹性系数 Km 都可求解 .1-11 有一质点振动系统，其固有频率 f0 为已知，而质量 Mm 与弹性系数待求，现设法在此质量Mm 上附加一质量 m，并测得由此而引起的系统固有频率变为 f0,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。解：由 得 mMKf210mmf20)(由 得 f0 ),()20Mf联立两式，求得 ，20fm204fKm1-12 设有如图 1-2-3 和图
9、1-2-4 所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出 它们的等效弹性系数。 解： 串接时，动力学方程为 ，等效弹性系数为 。0212mmKdtMmK21并接时，动力学方程为 ，等效弹性系数为 。)(212t mK211-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩 0100 可称 01 。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为 0.4 ，然后，使它振mkg kg动一下，测得其振动周期为 1 ，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？s解：设该岩石的实际质量为 ，地球表面的重力加速度为 ，月球表面的重力加
10、速度M29.8gms为 g由虎克定律知 又 则 ,MFKxMg10.Kx则021T22019.854k又 则 .4x.xm则gK220.158sM故月球表面的重力加速度约为 ，而该岩石的实际质量约为 。. 2.5kg1-14 试求证 )1(cos)2cos()cos( ntatatat 12sinnt证 )1()2()( tjtjtjtj aeaeae1jtj sinco1j jaeaetjntj 图 1-2-3 图 1-2-42cossin2isin2is2 jaejaetjtj )1(1)21()( sisisi ntjjtjjjtj eaeeee同时取上式的实部，结论即可得证。1-15
11、有一弹簧 在它上面加一重物 ，构成一振动系统，其固有频率为 ，mKmM0f(1) 假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？(2) 假设重物要加重一倍，而要求固有频率 不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？0f解：固有频率 。moMKf21（1） ，故应该另外串接三根相同的弹簧；0f4（2） ，故应该另外并接一根相同的弹簧。02fmmK21-16 有一直径为 的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质d量为 ，弹性系数为 。试求该扬声器的固有频率。mMm解：该扬声器的固有频率为 。012mKfM1-17 原先有一个 0.5的质量悬
12、挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了 0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这 0.5质量的振幅在 1s 内减少到初始值的 1/e 倍，试计算：（1）这一系统的力学参数 Km，R m，f 0；（2）当 0.2的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量；（3）在经过 1s 后，系统具有的平均能量。解：（1）由胡克定理知，K mmg/所以 Km 0.29.8/0.04=49N/m1/e故 sNRMm/2Hzfw57.1.04921020 （2）系统所具有的能量 JKEm0392.2（3）平均能量 Jet3201.511-18 试求当力学品
13、质因素 时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻 ， ，试mQ 00v讨论解的结果。解：系统的振动方程为： 02mmKdtRtM进一步可转化为，设 ，mR2022dtt设： tie于是方程可化为： 0)2(20tjj解得： )(20jte)(20方程一般解可写成： )(2020ttt BeA 存在初始条件：，0t0vt代入方程计算得：，20vA20B解的结果为： )(2020ttt ee其中 ， 。20vA20vB1-19 有一质点振动系统，其固有频率为 ，如果已知外力的频率为 ，试求这时系统的弹性抗1f 2f与质量抗之比。解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为 ，质量抗为MKM已知
14、， 05fHz30fz则 ()MK2220241(5)136MfK1-20 有一质量为 0.4kg 的重物悬挂在质量为 0.3kg，弹性系数为 150N/m 的弹簧上，试问：(1) 这系统的固有频率为多少？(2) 如果系统中引入 5kg/s 的力阻，则系统的固有频率变为多少？(3) 当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？(4) 相应的速度与加速度共振频率为多少？解：(1) 考虑弹簧的质量， .Hz7623/.041523/210 smMKf(2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量 Mm为 Mm+Ms / 3.， .5.02mMR z6253/.04122100 f(3) 品质因素 ，6.58.6 mRQ位移共振频率： .Hz39210rf(4) 速度共振频率： ，64.0fr加速度共振频率： .z9210mmrQff1-21 有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于 。m2解：系统每个周期损耗的能量 TvRWEamF21，mamfMvTR21发生速度共振时， 。0f
