1、1.5 一质点沿半径为 0.10m 的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示： = 2 + 4t3求：（1）t = 2s 时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时， 为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解答 （1）角速度为 = d/dt = 12t2 = 48(rads-1)，法向加速度为an = r2 = 230.4(m s-2)；角加速度为 = d/dt = 24t = 48(rads-2)，切向加速度为at = r = 4.8(ms-2)（2）总加速度为 a = (at2 + an2)1/2，当 at = a/2 时，有
2、4at2 = at2 + an2，即由此得，即 ，解得 所以=3.154(rad)（3）当 at = an 时，可得 r = r 2，即 24t = (12t2)2，解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)1.7 一个半径为 R = 1.0m 的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体 A在重力作用下，物体 A 从静止开始匀加速地下降，在 t = 2.0s 内下降的距离 h = 0.4m求物体开始下降后 3s 末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度解答 圆盘边缘的切向加速度大小等于物体 A 下落加速度由于，所以at = 2h/t2 = 0.2(ms
3、-2)物体下降 3s 末的速度为v = att = 0.6(ms-1)，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为= 0.36(ms-2)1.8 一升降机以加速度 1.22ms-2 上升，当上升速度为 2.44ms-1 时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距 2.74m计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离解答 在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为；螺帽做竖直上抛运动，位移为由题意得 h = h1 - h2，所以，解得时间为= 0.705(s)算得 h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为 0.7
4、16m注意 以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为 a + g，而初速度为零，可列方程h = (a + g)t2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离第一章 质点运动学1.1 一质点沿直线运动，运动方程为 x(t) = 6t2 - 2t3试求：（1）第 2s 内的位移和平均速度；（2）1s 末及 2s 末的瞬时速度，第 2s 内的路程；（3）1s 末的瞬时加速度和第 2s 内的平均加速度解答 （1）质点在第 1s 末的位移大小为x(1) = 612 - 213 = 4(m)在第 2s 末的位移大小为x(2) = 622 - 223 = 8(m)在第 2s 内的位移大小为x = x(
5、2) x(1) = 4(m)，经过的时间为 t = 1s ，所以平均速度大小为=x/ t = 4(ms-1)（2）质点的瞬时速度大小为v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，因此 v(1) = 121 - 612 = 6(ms-1)，v(2) = 122 - 622 = 0，质点在第 2s 内的路程等于其位移的大小，即 s = x = 4m （3）质点的瞬时加速度大小为a(t) = dv/dt = 12 - 12t，因此 1s 末的瞬时加速度为a(1) = 12 - 121 = 0，第 2s 内的平均加速度为= v(2) - v(1)/t = 0 6/1 = -6(ms-2)注意 第
6、几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是 1 秒1.2 一质点作匀加速直线运动，在 t = 10s 内走过路程 s = 30m，而其速度增为 n = 5 倍试证加速度为并由上述数据求出量值证明 依题意得 vt = nvo，根据速度公式 vt = vo + at，得a = (n 1)vo/t， (1)根据速度与位移的关系式 vt2 = vo2 + 2as，得a = (n2 1)vo2/2s， (2)（1）平方之后除以（2）式证得计算得加速度为= 0.4(ms-2)1.3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成 22.5的夹角的初速度 65ms-1 从西边起跳，准确地落在坑的东边已知东边比西边
7、低 70m，忽略空气阻力，且取 g = 10ms-2问：（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？解答 方法一：分步法 （1）夹角用 表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为vy0 = v0sin = 24.87(ms-1)取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式vt - v0 = at，这里的 v0 就是 vy0，a = -g；当他达到最高点时， vt = 0，所以上升到最高点的时间为t1 = vy0/g = 2.49(s)再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式vt2 - v02 = 2as，可得上升的最大高度为h1 =
8、 vy02/2g = 30.94(m)他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为h2 = h1 + h = 100.94(m)根据自由落体运动公式 s = gt2/2，得下落的时间为= 4.49(s)因此他飞越的时间为t = t1 + t2 = 6.98(s)他飞越的水平速度为vx0 = v0cos = 60.05(ms-1)，所以矿坑的宽度为x = vx0t = 419.19(m)（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为vy = gt = 69.8(ms-1)，落地速度为v = (vx2 + vy2)1/2 = 92.08(ms-1)，与水平方向的夹角为 = arctan(vy
9、/vx) = 49.30?，方向斜向下方法二：一步法取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为 y = vy0t - gt2/2，移项得时间的一元二次方程，解得这里 y = -70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为t = 6.98(s)由此可以求解其他问题1.4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即 dv/dt = -kv2，k 为常数（1）试证在关闭发动机后，船在 t 时刻的速度大小为；（2）试证在时间 t 内，船行驶的距离为证明 （1）分离变量得，积分 ，可得 （2）公式可
10、化为，由于 v = dx/dt，所以积分 因此 证毕讨论 当力是速度的函数时，即 f = f(v)，根据牛顿第二定律得 f = ma由于 a = d2x/dt2，而 dx/dt = v，所以 a = dv/dt，分离变量得方程，解方程即可求解在本题中，k 已经包括了质点的质量如果阻力与速度反向、大小与船速的 n 次方成正比，则dv/dt = -kvn（1）如果 n = 1，则得，积分得lnv = -kt + C当 t = 0 时，v = v0，所以 C = lnv0，因此lnv/v0 = -kt，得速度为 v = v0e-kt而 dv = v0e-ktdt，积分得当 t = 0 时，x = 0
11、，所以 C = v0/k，因此（2）如果 n1，则得，积分得当 t = 0 时，v = v0，所以，因此如果 n = 2，就是本题的结果如果 n2，可得，读者不妨自证1.5 一质点沿半径为 0.10m 的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示： = 2 + 4t3求：（1）t = 2s 时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时， 为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解答 （1）角速度为 = d/dt = 12t2 = 48(rads-1)，法向加速度为an = r2 = 230.4(m s-2)；角加速度为 = d/dt = 2
12、4t = 48(rads-2)，切向加速度为at = r = 4.8(ms-2)（2）总加速度为 a = (at2 + an2)1/2，当 at = a/2 时，有 4at2 = at2 + an2，即由此得，即 ，解得 所以=3.154(rad)（3）当 at = an 时，可得 r = r 2，即 24t = (12t2)2，解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)1.6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为 v = 300ms-1，方向与水平线夹角为30而斜向下，此后飞机的加速度为 a = 20ms-2，方向与水平前进方向夹角为 30而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的
13、高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？解答 建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为v0x = v0cos，v0y = v0sin加速度的大小为ax = acos， ay = asin 运动方程为，即 ， 令 y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为t = 0（舍去） ；(s)将 t 代入 x 的方程求得 x = 9000m注意 选择不同的坐标系，例如 x 方向沿着 a 的方向或者沿着 v0 的方向，也能求出相同的结果1.7 一个半径为 R = 1.0m 的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体 A在重力作用下，物体 A 从静止开始匀加速地下降，在
14、t = 2.0s 内下降的距离 h = 0.4m求物体开始下降后 3s 末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度解答 圆盘边缘的切向加速度大小等于物体 A 下落加速度由于，所以at = 2h/t2 = 0.2(ms-2)物体下降 3s 末的速度为v = att = 0.6(ms-1)，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为= 0.36(ms-2)1.8 一升降机以加速度 1.22ms-2 上升，当上升速度为 2.44ms-1 时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距 2.74m计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离解答 在螺
15、帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为；螺帽做竖直上抛运动，位移为由题意得 h = h1 - h2，所以，解得时间为= 0.705(s)算得 h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为 0.716m注意 以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为 a + g，而初速度为零，可列方程h = (a + g)t2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离1.9 有一架飞机从 A 处向东飞到 B 处，然后又向西飞回到 A 处已知气流相对于地面的速度为 u，AB 之间的距离为 l，飞机相对于空气的速率 v 保持不变（1）如果 u = 0（空气静止） ，试证来回飞行的时间为；
16、（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为；（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为证明 （1）飞机飞行来回的速率为 v，路程为 2l，所以飞行时间为 t0 = 2l/v（2）飞机向东飞行顺风的速率为 v + u，向西飞行逆风的速率为 v - u，所以飞行时间为（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度为了使飞机沿着 AB 之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿 AB 方向的速度大小为，所以飞行时间为 证毕1.10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为 v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为 ，偏向于汽车前进方向，速度为 v2今在
17、车后放一长方形物体，问车速 v1 为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？解答 雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度，由此可作矢量三角形根据题意得 tan = l/h方法一：利用直角三角形根据直角三角形得v1 = v2sin + v3sin，其中 v3 = v/cos，而 v = v2cos ，因此 v1 = v2sin + v2cossin/cos，即 证毕方法二：利用正弦定理根据正弦定理可得，所以，即 方法三：利用位移关系将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在 t 时间内，雨滴的位移为l = (v1 v2sin)t，h = v2cos?t两式消去时间 t 即得所求 证毕2.12 质量为
18、m 的物体，最初静止于 x0，在力(k 为常数)作用下沿直线运动证明物体在 x处的速度大小 v = 2k(1/x 1/x0)/m1/2证明 当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程利用 v = dx/dt，可得，因此方程变为，积分得利用初始条件，当 x = x0 时，v = 0，所以 C = -k/x0，因此，即 证毕讨论 此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积分即可求解如果 f(x) = -k/xn，则得（1）当 n = 1 时，可得利用初始条件 x = x0 时，v = 0，所以 C = lnx0，因此 ，即 （2）如果 n1，可得利
19、用初始条件 x = x0 时，v = 0，所以，因此 ，即 当 n = 2 时，即证明了本题的结果2.13 一质量为 m 的小球以速率 v0 从地面开始竖直向上运动在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为 k求：（1）小球速率随时间的变化关系 v(t)；（2）小球上升到最大高度所花的时间 T解答 （1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程，分离变量得，积分得当 t = 0 时，v = v0，所以，因此，小球速率随时间的变化关系为（2）当小球运动到最高点时 v = 0，所需要的时间为讨论 （1）如果还要求位置与时间的关系，可用
20、如下步骤由于 v = dx/dt，所以，即，积分得，当 t = 0 时，x = 0，所以，因此（2）如果小球以 v0 的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为，用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为这个公式可将上面公式中的 g 改为-g 得出由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数 vm = mg/k2.14 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为 R一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为 k设物体在某时刻经 A 点时速率为 v0，求此后时刻 t 物体的速率以及从 A 点开始所经过的路程解答 物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压
21、力，即N = mv2/R 物体所受的摩擦力为f = -kN，负号表示力的方向与速度的方向相反根据牛顿第二定律得，即 积分得当 t = 0 时，v = v0，所以，因此 解得 由于，积分得，当 t = 0 时，x = x0，所以 C = 0，因此2.15 如图所示，一半径为 R 的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动在环上套有一珠子今逐渐增大圆环的转动角速度 ，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角 表示解答 珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为F = mgtg珠子做圆周运动的半径为r = Rsin根据向心力公式得F =
22、 mgtg = m2Rsin，可得，解得 2.16 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动弹力 F = -kx，而位移 x = Acost，其中 k，A 和 都是常数求在 t = 0 到 t = /2 的时间间隔内弹力予小球的冲量解答 方法一：利用冲量公式根据冲量的定义得dI = Fdt = -kAcostdt，积分得冲量为，方法二：利用动量定理小球的速度为v = dx/dt = -Asint ，设小球的质量为 m，其初动量为p1 = mv1 = 0，末动量为p2 = mv2 = -mA，小球获得的冲量为I = p2 p1 = -mA ，可以证明 k =m2，因此I = -kA/2.17 一个
23、质量 m = 50g，以速率的 v = 20ms-1 作匀速圆周运动的小球，在 1/4 周期内向心力给予小球的冲量等于多少？解答 小球动量的大小为p = mv，但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义得，由此可作矢量三角形，可得因此向心力给予小球的的冲量大小为= 1.41(Ns)注意 质点向心力大小为 F = mv2/R，方向是指向圆心的，其方向在不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量假设小球被轻绳拉着以角速度 = v/R 运动，拉力的大小就是向心力F = mv2/R = mv，其分量大小分别为Fx = Fcos = Fcos t，Fy = Fsin = Fsint，给小球的冲量大小为dIx = Fxdt = Fcostdt，dIy = Fydt = Fsintdt，积分得，合冲量为，
