1、15第一章 振动一、选择题1. 一质点作简谐振动, 其运动速度与时间的关系曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为： (A) (B) (C) 66565(D) (E) 32解：若振动方程为 ),cos(tAx则速度方程为： )2cos(intvvm可见速度相位比位移相位超前 。2由图可知速度的初相为- ，则位移的初相 。 36532. 如图所示，一质量为 m 的滑块，两边分别与劲度系数为 k1 和 k2 的轻弹簧联接，两弹簧的另外两端分别固定在墙上。滑块 m 可在光滑的水平面上滑动，O 点为系统平衡位置。现将滑块 m 向左移动 x0，自静止释放，并从释放时开始计时。取坐标如图
2、所示，则其振动方程为： tkx210cos(A)tkm)(B)210 tmkx210cos(C)txcosD tE解：滑块初位移为 ，初速度为 0，则振幅 , 初相0 0220)()(xvxA。设滑块处在平衡位置时，劲度系数分别为 k1 和 k2 的两个弹簧分别伸长 x 1 和 x 2 ，则有 ，当滑块位移为 x 时，滑块受到合力21xk角频率 kkF)()()(2 mk21所以振动方程为： )cos(cos210kmxtAx3. 一质点在 x 轴上作简谐振动，振幅 A = 4cm，周期 T = 2s, 其平衡位置取作坐标原点。若 t = 0 时刻质点第一次通过x = -2cm 处，且向 x
3、轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2cm 处的时刻为： st)s(m1v21xt0t-232xO1k2k16(A) 1s ; (B) ; (C) ; (D) 2s。 s32s34解：由旋转矢量图可知，两次通过 x = -2cm 所用时间为 , T所以第二次通过 t = -2cm 处时刻为(s)321t4. 已知一质点沿 y 轴作简谐振动，其振动方程为 。与其对)4/3cos(tAy应的振动曲线是: 解： , )43sin(dtAxyvt = 0 时， , 故选 B 02co0 A0)43sin(Av5. 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的 1/4 时，其动能为振动
4、总能量的： (A) ; (B) ; (C) ; (D) ; (E) 。16716916163165解：弹簧振子的总能量为 当 时，,2kAEpk4x,2EkxEp所以动能为 Epk56. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为： 21(A)(B) 23(C)解：两个谐振动 x1 和 x2 反相，且 ， 0(D) 21A由矢量图可知合振动初相与 x1 初相一致，即 。二、填空题1. 一简谐振动的表达式为 ，已知 时的初位移为 0.04m, 初)3cos(tA0t速度为 0.09ms-1，则振幅 A = ，初相位 = 解：已知初始条件，则振幅为： (m
5、)5.)309.(4.)( 22202 vxAto()AtoABtA(C)oty(D)Aoto/2x1o1A17初相： 1.439.6)04.3(tg)(tg101 或xv因为 x0 0, 所以 9.62. 两个弹簧振子的的周期都是 0.4s, 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过 0.5s 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为 。解：从旋转矢量图可见，t = 0.05 s 时， 与 反相， 1A2即相位差为 。3. 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的 （设平衡位置处势能为零） 。当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比
6、原长长 ,这一振动系统的周期为 l解：谐振动总能量 ，当 时 21kAEpkx1，所以动能 。4)2(12kxEp Epk43物块在平衡位置时， 弹簧伸长 ，则 ， ，llmglgk振动周期 gkmT4. 上面放有物体的平台，以每秒 5 周的频率沿竖直方向作简谐振动，若平台振幅超过 ，物体将会脱离平台（设 ） 。2s8.9g解：在平台最高点时，若加速度大于 g，则物体会脱离平台，由最大加速度得最大振幅为Avam22)(m)10.93.548. 2gA5. 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在位移零、速度为 、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的 点。振子处在位移的绝对值为 A
7、、速度为零、加速度为 -2A 和弹性力-kA 的状态，对应于曲线的 点。解：位移 ，速度 ，对应于曲线上的0x0dtxvb、f 点；若|x|= A, ，又 , 所以 x = A，对应于曲线上的a2a2a、e 点。6. 两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：(SI) 和 (SI)215cos(1062t )5sin(1022tx它们的合振动的振幅为 ，初相位为 。解：将 x2 改写成余弦函数形式：1A2x0t5.t 5.ttxabcdefxOA2118)25cos(102)5sin(102ttx由矢量图可知，x 1 和 x2 反相，合成振动的振幅，初相(m)4621 A 21三、计算题
8、1. 一质量 m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿 x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数 k = 25 Nm-1 (1) 求振动的周期 T 和角频率 (2) 如果振幅 A =15 cm，t = 0 时物体位于 x = 7.5 cm 处，且物体沿 x 轴反向运动，求初速 v0 及初相 (3) 写出振动的数值表达式 解：(1) 1s0/mk1 分s 1 分63.0/2T(2) A = 15 cm，在 t = 0 时，x 0 = 7.5 cm，v 0 0 ， (3) (SI) 2)310cos(152tx分)s(m30.175. 122200 Av(3) 振动方程为 （SI）)
9、cos(15)cos( ttx2. 在一平板上放一质量为 m =2 kg 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为 T = s，振幅 A = 4 cm，求 21(1) 物体对平板的压力的表达式 (2) 平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？ 解：选平板位于正最大位移处时开始计时，平板的振动方程为 (SI) tx4cos(SI) 1 分A162(1) 对物体有 1 分mNg(SI) tNs物对板的压力为 (SI) tF4co2 xNmg19 2t4cos28.169分(2) 物体脱离平板时必须 N = 0，由式得 1分(SI) cs2tAmg1q2164o分若能脱离必须 (SI) cs
10、t即 m 22210.)/(gA分3. 一定滑轮的半径为 R，转动惯量为 J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m 的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示。设弹簧的倔强系数为 k, 绳与滑轮间无滑动，且忽略摩擦力及空气的阻力。现将物体 m 从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率。解：取如图 x 坐标，原点为平衡位置，向下为正方向。m 在平衡位置，弹簧伸长 x0, 则有(1)0kg现将 m 从平衡位置向下拉一微小距离 x，m 和滑轮 M 受力如图所示。由牛顿定律和转动定律列方程， (2) aTg1 (3)JR2 (4) (5)(02xk联立以上各式，可以解出 ，
11、（）mRJa22（）是谐振动方程，所以物体作简谐振动，角频率为 22RJkR第二章 波动(1)一、选择题1. 一平面简谐波表达式为 (SI) ，则该波的频率 (Hz)、波)2(sin05.xtyv速 u(ms-1)及波线上各点振动的振幅 A(m)依次为: (A) ， ， (B) ， ，2/1./105.(C) ， ， (D) ， ，T1T2 T1NMgmgm x0oxJkR20解：平面简谐波表达式可改写为 (SI)2cos(05.)2(sin05. xtxty与标准形式的波动方程 比较，可得)uvAy。)s(m1,(Hz21,(m). A故选 C2. 一横波沿绳子传播时的波动方程为 (SI)，
12、则 04co05.txy(A) 其波长为 0.5 m ; (B) 波速为 5 ms-1 ;(C) 波速 25 ms-1 ; (D) 频率 2 Hz 。解：将波动方程与标准形式 比较，可知)(cosuxtvAy)s(5.2),Hz(51uv )(5.0故选 A3. 一平面简谐波的波动方程为 (SI)，t = 0 时的波形曲线3cos(.0xty如图所示。则 (A) O 点的振幅为0.1 m；(B) 波长为 3 m；(C) a 、b 两点位相差 ； 21(D) 波速为 9 ms-1。 解：由波动方程可知 ，(Hz),23(),.0A(m)s(m321ua 、 b 两点间相位差为： 24ab故选 C
13、4. 一简谐波沿 x 轴负方向传播，圆频率为 ，波速为 u。设 t = T /4 时刻的波形如图所示，则该波的表达式为： )(cos(A)xy2)/(cos(B)uxtAyC/Dt解：由波形图向右移 ，可得 时波形如图中虚线所示。在 0 点， 时410t ty = -A, 初相 = ，振动方程为 。又因波向)cos(0tAy方向传播，所以波动方程为)(x)Yu1.ab()X0.xyuAx00t21(SI)(cosuxtAy故选 D6. 一平面简谐波沿 x 轴正向传播，t = T/4 时的波形曲线如图所示。若振动以余弦函数表示，且此题各点振动的初相取 到 之间的值，则 (A) 0 点的初位相为
14、0(B) 1 点的初位相为 21(C) 2 点的初位相为 (D) 3 点的初位相为 3解：波形图左移 ，即可得 时的波形图，由 的波形图（虚线）可知，4/0t 0t各点的振动初相为:2,2, 310 故选 D二、填空题1. 已知一平面简谐波沿 x 轴正向传播，振动周期 T = 0.5 s，波长 = 10m , 振幅A = 0.1m。当 t = 0 时波源振动的位移恰好为正的最大值。若波源处为原点，则沿波传播方向距离波源为 处的振动方程为 2/。当 t = T / 2 时， 处质点的振动速度为 。4解：波动方程为 ,(SI)1.02(cos1.0)(cos xtxTtAy 处的质点振动方程为 (
15、SI)m5x )4y处的振动方程为.24 )4sin(.2cs(. tt振动速度 )o.0)o41.0dtttyv时 s5.2Tt )s(m6.1.5cs( 12. 如图所示为一平面简谐波在 t = 2s 时刻的波形图，该谐波的波动方程是；P 处质点的振动方程是 。 （该波的振幅 A、波速 u 与波长 为已知量）解：由 t = 2s 波形图可知，原点 O 的振动方程为 2)(cos0tvy2uA波向+x 方向传播，所以波动方程为 (SI)2)(2cosuxtvAyyu1x234yu1x2340t()yuP(m)A22P 点 ，振动方程为2x 2)(2cos)2(cos tuAutAy3. 一简
16、谐波沿 x 轴正向传播。 和 两点处的振动曲线分别如图 (a) 和 (b) 1x所示。已知 且 ( 为波122长)，则 点的相位 比点相位滞后 3/2 。解：由图(a)、(b)可知， 和 处振动初相分1x2别为：，3102二点振动相位差为 321因为 ，所以 的相位比 的相1212,xxx1x位滞后 。34. 图示一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，波的振幅为 0.2 m，周期为 4 s。则图中 P 点处质点的振动方程为 解：由 2s 是波形图可知原点 O 处振动方程为：（SI）)2cos(0TtAy )24cos(.0t )23cos(.0tP 点 ，相位比 O 点落后 ，所以 P
17、 点的振动方程为：x（SI）)1cs(.)31cs(. ttyp5. 一简谐波沿 x 轴正方向传播。已知 x = 0 点的振动曲线如图，试在它下面画出 t = T 时的波形曲线。解：由 O 点的振动曲线得振动方程： )2cos(TtAy向 x 正向传播，波动方程为)(xttT 时与 t 0 时波形曲线相同，波形曲线如右图所示。 三、计算题1. 一平面简谐波沿 x 轴正向传播，波的振幅 A = 10 cm，波的角频率 = 7 rad/s.当t = 1.0 s 时， x = 10 cm 处的 a 质点正通过其平衡位置向 y 轴负方向运动，而 x = 20 cm 处的 b 质点正通过 y = 5.0
18、 cm 点向 y 轴正方向运动设该波波长 10 1ytO(a)2yt(b)P(m)yAO传 播 方 向 ()xuO2/Tyt2/yx23cm，求该平面波的表达式 解：设平面简谐波的波长为 ，坐标原点处质点振动初相为 ，则该列平面简谐波的表达式可写成 (SI) 2)/27cos(1.0xty分 t = 1 s 时 01.0. 因此时 a 质点向 y 轴负方向运动，故 22)/.(27分而此时，b 质点正通过 y = 0.05 m 处向 y 轴正方向运动，应有05.)/.0(cos1.0且 23127分由、两式联立得 = 0.24 m 1分1 分/17 该平面简谐波的表达式为 (SI) 2 分31
19、72.0cos.0xty或 (SI) 12. 一平面简谐波沿 x 轴正向传播，其振幅为 A，频率为 ，波速为 u设 t = t时刻的波形曲线如图所示求 (1) x = 0 处质点振动方程； (2) 该波的表达式 解：(1) 设 x = 0 处质点的振动方程为 )2cos(tAy由图可知，t = t时 10)2cos(tAy分1 分ind/ t所以 ， 22t t21分x = 0 处的振动方程为 1)(costAy分(2) 该波的表达式为 321)/(2uxt分3. 一平面简谐波沿 Ox 轴的负方向传播，波长为，P 处质点的振动规律如图所示 (1) 求 P 处质点的振动方程； xuOt=tyt
20、(s)0-A1yP (m)24(2) 求此波的波动表达式； (3) 若图中 ，求坐标原点 O 处质点的振动21d方程 解：(1) 由振动曲线可知，P 处质点振动方程为 (SI) 3)4/cos(tAyP )21cos(tA分(2) 波动表达式为 (SI) 3 分)(2dxt(3) O 处质点的振动方程 21cos(0ty分第一章 波动(2)一、选择题1. 如图所示， 和 为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面, 发出1S2波长为 的简谐波。P点是两列波相遇区域中的一点，已知 ，21PS，两列波在P点发生相消干涉。若 的振动方程为2.S 1S，则 的振动方程为)(cos1tAy2 )1(cs()2tyoB)2(C)2tA1.0csDy解：S 1和 在P点发生相消干涉，相位差为2)()(12kr122 rk )2.(21)( k109令 。因为y 1和y 2在P点发生相消干涉， ，,2则k A12所以, 的振动方程为 S ).0cos()0cos(2 tAtA2. 有两列沿相反方向传播的相干波，其波动方程分别为 )/(2cos1xtvAy和 ，叠加后形成驻波，其波腹位置的坐标为： k() )12(B)kxxOPd12S
