1、第一章 信号的分类与描述1-1 求周期方波（见图 1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式） ，划出| cn|和 n图，并与表 1-1对比。图 1-4 周期方波信号波形图0 tx(t) T02T20A-A0解答：在一个周期的表达式为 0 ()2() TAtxt积分区间取（-T/2，T/2 ）0 00 0 002 22111()d=d+d =cos- (, , 3)T Tjnt jnt jntTnxeAeAeAj所以复指数函数形式的傅里叶级数为， 。0 01() (cos)jnt jntnAxtceje=, 12, 3(1os) (=0, 2, 3)0nIRc 2 1,(1cos)0246, nRn
2、I A nAn ,35,2arctn1,046InRn 没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。|cn| n/2-/200 30 5030 502A/2A/3 2A/5幅频图 相频图周期方波复指数函数形式频谱图2A/5 2A/32A/-0-30-50-0-30-501-2 求正弦信号 的绝对均值 和均方根值 。0()sinxttxrmsx解答： 0002 200 411didindcosTTTTx xtttt22200rms 00 1cos()sinTTTxxttxt1-3 求指数函数 的频谱。(,)atxtAet解答： (2)22 0220 ()()() ajftjftatjfteAajfXftd
3、dAajf 22()()kfafIm()rctnarctnRe()Xfff单边指数衰减信号频谱图f|X(f)|A/a0(f)f0/2-/21-4 求符号函数(见图 1-25a)和单位阶跃函数( 见图 1-25b)的频谱。tsgn(t)01-1tu(t)01图 1-25 题 1-4 图a)符号函数 b)阶跃函数a)符号函数的频谱 10()sgntxttt=0 处可不予定义，或规定 sgn(0)=0。该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号 x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数 x(t)的频谱
4、。1 0()sgn()atatexe10limattxt022211 2204()() ()jftatjftatjft fXftedededja 10()sgn()li()aftXfjfF1()Xff02()ff符号函数1()sgn()atxetx1(t)01 -1 符号函数频谱 f(f)0 /20 f|X(f)| -/2b)阶跃函数频谱 0()tut在跳变点 t=0 处函数值未定义，或规定 u(0)=1/2。阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。解法 1：利用符号函数()sgn()2utt1111sgn()()()
5、222Uft tfjfjffFF22()()fff结果表明，单位阶跃信号 u(t)的频谱在 f=0 处存在一个冲激分量，这是因为 u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于 u(t)不是纯直流信号，在 t=0 处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。单位阶跃信号频谱f|U(f)|0(1/2)f(f)0/2-/2解法 2：利用冲激函数 10()()dt tu时时根据傅里叶变换的积分特性11()()d()(0)()22tUf fffjj f F1-5 求被截断的余弦函数 (见图 1-26)的傅里叶变换。0cost0s()tTxt解： 0()co2)twftw(t)为矩形脉冲信号 sin()Wf
6、Tf002201co(2)jftjftte所以 00()jftjftxwt根据频移特性和叠加性得： 00011()()()22sincsinc2()XfWffTTf可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动 f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。fX(f)Tf0-f0被截断的余弦函数频谱1-6 求指数衰减信号 的频谱0()sinatxe图 1-26 被截断的余弦函数 ttT-TT-Tx(t)w(t)1001-1指数衰减信号x(t)解答： 0001sin()2jtjtte所以 00()jtjtatx单边指数衰减信号 的频谱密度函
7、数为1(),0)atxet11 201()jtatjt ajXfddj根据频移特性和叠加性得： 00101022222 02 22200 0()()()()()()()()()jjXj aaaj 00X()-()指数衰减信号的频谱图1-7 设有一时间函数 f(t)及其频谱如图 1-27 所示。现乘以余弦型振荡 。在这个关系0cos()mt中，函数 f(t)叫做调制信号，余弦振荡 叫做载波。试求调幅信号 的傅里叶变换，示意0cost )f画出调幅信号及其频谱。又问：若 时将会出现什么情况？m图 1-27 题 1-7 图F()0f(t)0 t -m m解： 0()cos()xtftF0001cos
8、()2jtjtte所以 00()jtjtxff根据频移特性和叠加性得： 0011()()()22XfF可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频 0，同时谱线高度减小一半。fX(f)0-0矩形调幅信号频谱若 将发生混叠。0m1-8 求正弦信号 的均值 、均方值 和概率密度函数 p(x)。0()sin()xttx2x解答：(1) ，式中 正弦信号周期0011li()dsi()d0TTxtxt 0T(2) 0 02 2222 00111cos()lim()dsin()ddTT Tx xxtxtxt (3)在一个周期内012xTtt02()lixTtPt T20 000()d1
9、()limlimx xt ttpxxx x(t)正弦信号xx+xt tt第二章 测试装置的基本特性2-1 进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为 90.9nC/MPa，将它与增益为0.005V/nC 的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为20mm/V。试计算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为 3.5MPa 时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？解：若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即S=90.9(nC/MPa)0.005(V/nC)20(mm/V)=9.09mm/MPa。偏移量：y=S3.5=9.093.5=31
10、.815mm。2-2 用一个时间常数为 0.35s 的一阶装置去测量周期分别为 1s、2s 和 5s 的正弦信号，问稳态响应幅值误差将是多少？解：设一阶系统 ，1()Hs1()j，T 是输入的正弦信号的周期22()1()()A稳态响应相对幅值误差 ，将已知周期代入得10%A58.6%1s327.T2-3 求周期信号 x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t45)通过传递函数为 H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。解： ， ，1()0.5Hj21()(0.5)A()arctn(0.5)该装置是一线性定常系统，设稳态响应为 y(t)，根据线性定常系统的频率保持性、
11、比例性和叠加性得到y(t)=y01cos(10t+1)+y02cos(100t45+2)其中 ，010)0.549(.1Ax1(0)arctn(.051)2.86，02022() .7(.5)y 2()rt(.).57所以稳态响应为 49cos10.86.19cos071.5ytt t2-4 气象气球携带一种时间常数为 15s 的一阶温度计，以 5m/s 的上升速度通过大气层。设温度按每升高 30m 下降 0.15的规律而变化，气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。在 3000m 处所记录的温度为l。试问实际出现 l的真实高度是多少？解：该温度计为一阶系统，其传递函数设为 。温度随高度线性变
12、化，对温度计来说相1()5Hs当于输入了一个斜坡信号，而这样的一阶系统对斜坡信号的稳态响应滞后时间为时间常数 =15s，如果不计无线电波传送时间，则温度计的输出实际上是 15s 以前的温度，所以实际出现l的真实高度是Hz=H-V=3000-515=2925m2-5 想用一个一阶系统做 100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在 5%以内，那么时间常数应取多少？若用该系统测量 50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？解：设该一阶系统的频响函数为， 是时间常数1()j则 2()1()A稳态响应相对幅值误差 21()10%0%()Af令 5% ，f=100Hz，解得 523 s。如
13、果 f=50Hz，则相对幅值误差： 2 62110110.3%()(2530)f 相角差： 6()arctn(2)arctn(25310)9.3f2-6 试说明二阶装置阻尼比 多采用 0.60.8 的原因。解答：（1）从不失真测试的条件看，二阶系统的阻尼比 之间时，其幅频特性的水平段07.最长，这意味着测试装置在宽广的频率范围内由于频率特性不理想所引起的误差尽可能小，为此，在不失真条件下，为获得尽可能宽的工作频率范围并兼顾良好的相频特性，一般取 。607.（2）若阻尼比 过大，则相应达到稳态值的时间也越长，响应速度就越慢，若 过小，则响应就会产生衰减极慢的振荡，同样也无法很快接近稳态值，若 ，
14、则二阶系统的响应就会振荡不止，根本无法工0作，因此，为了提高相应速度和减小过渡时间，常取 。67.2-7 将信号 cost 输入一个传递函数为 H(s)=1/(s+1)的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出y(t)的表达式。解答：令 x(t)=cost，则 ，所以2()Xs1)YsHs利用部分分式法可得到 211()1()()2()jsjjsjs利用逆拉普拉斯变换得到 122 2/2 /2111()()()()()()1cosin()s(arct)()t jt jttjtjtjtjtttytYseeeetee L2-8 求频率响应函数为 3155072 / (1 + 0.01j)(1577
15、536 + 1760j - 2)的系统对正弦输入 x(t)=10sin(62.8t)的稳态响应的均值显示。解：该系统可以看成是一个一阶线性定常系统和一个二阶线性定常系统的串联，串联后仍然为线性定常系统。根据线性定常系统的频率保持性可知，当输入为正弦信号时，其稳态响应仍然为同频率的正弦信号，而正弦信号的平均值为 0，所以稳态响应的均值显示为 0。2-9 试求传递函数分别为 1.5/(3.5s + 0.5)和 41n2/(s2 + 1.4ns + n2)的两环节串联后组成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应） 。解：，即静态灵敏度 K1=311.53()307KHss，即静态灵敏度 K2=41222 24.4nns
