1、激光原理习题解答第一章习题解答1 为了使氦氖激光器的相干长度达到 1KM，它的单色性 应为多少？0解答：设相干时间为 ，则相干长度为光速与相干时间的乘积，即cL根据相干时间和谱线宽度的关系 cL1又因为 ， ，00cnm8.632由以上各关系及数据可以得到如下形式：单色性= = =0cL1012.解答完毕。2 如果激光器和微波激射器分别在 10、500nm 和 输出 1 瓦连续功率，问每秒钟ZMH3从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少。解答：功率是单位时间内输出的能量，因此，我们设在 dt 时间内输出的能量为 dE，则功率=dE/dt激光或微波激射器输出的能量就是电磁波与普朗克常数的乘积，即
2、d ，其中 n 为 dt 时间内输出的光子数目，这些光子数就等于腔内处在高能级的激发粒子在hEdt 时间辐射跃迁到低能级的数目（能级间的频率为 ） 。由以上分析可以得到如下的形式： dtn功 率每秒钟发射的光子数目为：N=n/dt,带入上式，得到： 1341062. sJhtnNs功 率每 秒 钟 发 射 的 光 子 数根据题中给出的数据可知： zHmsc8103z15912.5z63把三个数据带入，得到如下结果： ， ，1910.N1820.N23310.53 设一对激光能级为 E1 和 E2（f1=f2） ，相应的频率为 （波长为 ） ，能级上的粒子数密度分别为n2 和 n1，求(a)当
3、=3000 兆赫兹，T=300K 的时候，n2/n1=?(b)当 =1m，T=300K 的时候，n2/n1=?(c)当 =1m，n2/n1=0.1 时，温度 T=？解答:在热平衡下，能级的粒子数按波尔兹曼统计分布，即：（统计权重 ）TKETkhfnbb)(expe121221f其中 为波尔兹曼常数，T 为热力学温度。3086.Jb(a) 9.010862.13412 TkJsb (b) 21123412 38.expe cTkhnb (c) KnkcsJnkhTbb 3123412 106.l06.l 4 在红宝石调 Q 激光器中，有可能将几乎全部 离子激发到激光上能级并产生激光巨脉冲。设红3
4、rC宝石棒直径为 1cm，长度为 7.5cm， 离子浓度为 ，巨脉冲宽度为 10ns，求激光的最3r 39cm大能量输出和脉冲功率。解答：红宝石调 Q 激光器在反转能级间可产生两个频率的受激跃迁，这两个跃迁几率分别是 47%和 53%，其中几率占 53%的跃迁在竞争中可以形成 694.3nm 的激光，因此，我们可以把激发到高能级上的粒子数看成是整个激发到高能级的 粒子数的一半（事实上红宝石激光器只有一半的激发粒子对激光有贡献） 。3rC设红宝石棒长为 L，直径为 d，体积为 V， 总数为 N， 粒子的浓度为 n，巨脉冲的时间宽度3r3rC为 ，则 离子总数为：3r42nVN根据前面分析部分，只
5、有 N/2 个粒子能发射激光，因此，整个发出的脉冲能量为： hLdhE822脉冲功率是单位时间内输出的能量，即解答完毕。2nP5 试证明，由于自发辐射，原子在 能级的平均寿命为 。2E21As证明如下：根据自发辐射的定义可以知道，高能级上单位时间粒子数减少的量，等于低能级在单位时间内粒子数的增加。即：- （其中等式左边表示单位时间内高能级上粒子数的变化，spdtnt212高能级粒子数随时间减少。右边的表示低能级上单位时间内接纳的从高能级上自发辐射下来的粒子数。 ）再根据自发辐射跃迁几率公式：，把 代入式，212ntA2121nAtsp得到： 1dt对时间进行积分，得到： （其中 随时间变化，
6、为开始时候的高能级t2120ex220n具有的粒子数。 ）按照能级寿命的定义，当 时，定义能量减少到这个程度的时间为能级寿命，用字母 表120n s示。因此， ，即： 证明完毕12sA21As6 某一分子的能级 E4到三个较低能级 E1 E2 和 E3的自发跃迁几率分别为 A43=5*107s-1, A42=1*107s-1, A41=3*107s-1，试求该分子 E4能级的自发辐射寿命 4。若 1=5*10-7s， 2=6*10-9s， 3=1*10-8s，在对E4连续激发且达到稳态时，试求相应能级上的粒子数比值 n1/n4, n2/n4和 n3/n4，并说明这时候在哪两个能级间实现了集居数
7、解: (1)由题意可知 E4上的粒子向低能级自发跃迁几率 A4 为:-1sAA 777743241 1093105则该分子 E4能级的自发辐射寿命： s87.09结论:如果能级 u 发生跃迁的下能级不止 1 条,能级 u 向其中第 i 条自发跃迁的几率为 Aui 则能级 u 的自发辐射寿命为: iuNA1(2)对 E4连续激发并达到稳态,则有: 04321nn, ,41224331An（上述三个等式的物理意义是：在只考虑高能级自发辐射和 E1 能级只与 E4 能级间有受激吸收过程，见图）宏观上表现为各能级的粒子数没有变化由题意可得:,则411An 150137741同理： ，6.097242
8、5.01087343 An进一步可求得: ，521n12.3由以上可知:在 E 2和 E4;E3和 E4;E2和 E3能级间发生了粒子数反转.7 证明，当每个模式内的平均光子数（光子简并度）大于 1 时，辐射光中受激辐射占优势。证明如下：按照普朗克黑体辐射公式，在热平衡条件下，能量平均分配到每一个可以存在的模上，即（ 为频率为 的模式内的平均光子数）hTkb1expn由上式可以得到： 1expTkEnb又根据黑体辐射公式： nchTkhcbb 33 81exp8 根据爱因斯坦辐射系数之间的关系式 和受激辐射跃迁几率公式 ，则可213BA 21BW以推导出以下公式：21212138chn如果模内
9、的平均光子数（ ）大于 1，即，则受激辐射跃迁几率大于自发辐射跃迁几率，即辐射光中2AWn受激辐射占优势。证明完毕412A4348 一质地均匀的材料对光的吸收系数为 ，光通过 10cm 长的该材料后，出射光强为入射光10.m强的百分之几？如果一束光通过长度为 1M 地均匀激励的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。解答：设进入材料前的光强为 ，经过 距离后的光强为 ，根据损耗系数0IzzI的定义，可以得到：zId1Iexp0则出射光强与入射光强的百分比为： %8.3610%10101.0 mz ezIk根据小信号增益系数的概念： ，在小信号增益的情况下，zIdg上式可通
10、过积分得到 解答完毕。140 000093.612lnl lnexp mzI gIgIzzIz激光原理习题解答第二章习题解答1 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合.证明如下：（共焦腔的定义两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共 焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。 ）根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。设两个凹镜的曲率半径分别是 和 ，腔长为 ，根据对称共焦腔特点可知：1R2LLR21因此，一次往返转换
11、矩阵为 2111212RLRLRDCBAT把条件 带入到转换矩阵 T，得到：LR210T共轴球面腔的稳定判别式子 121DA如果 或者 ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。本题21DA中 ，因此可以断定是介稳腔（）临界腔） ，下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。经过两个往返的转换矩阵式 ，2T10坐标转换公式为： 1120rrT其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。2 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。解答如下：共轴球面腔的
12、 ，如果满足 ，则21212RLDA121DA腔是稳定腔，反之为非稳腔,两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳定腔，要具体分析。下面我们就根据以上的内容来分别求稳定条件。对于平凹共轴球面腔， ( )2212111R所以，如果 ，则是稳定腔。因为 和 均大于零，所以不等式的后半部分一定成立，2RLLR因此，只要满足 ，就能满足稳定腔的条件，因此， 就是平凹腔的稳定条件。12 2类似的分析可以知道，凸凹腔的稳定条件是： ,且 。L210L1双凹腔的稳定条件是： ， （第一种情况）R， 且 （第二种情况）12R21（对称双凹腔）求解完毕。3 激光腔的谐振腔由一曲率半径为 1M 的凸和曲率半径为 2M 的
13、凹面镜构成，工作物质长度为 0.5M，其折射率为 1.52，求腔长 在什么范围内谐振腔是稳定的。1L解答如下：设腔长为 ，腔的光学长度为 ，已知 ， ， ，LIMR12ML5.0， ，152.根据 ，代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到：2121RDA22 LLML因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里 L 应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵） 。即 ，代入上式，得到：52.101201L 215.0.2 LDA要达到稳定腔的条件，必须是 ，按照这个条件，得到腔的几何长度为：2DA，单位是米。解答完毕。17.15 有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长 L=30CM，方形孔径
14、边长为 d=2a=0.12CM，=632.8nm，镜的反射率为 r1=1，r 2=0.96，其他损耗以每程 0.003 估计。此激光器能否做单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔光阑来选择 TEM00 模，小孔的边长应为多大？试根据图 2.5.5 作一大略的估计。氦氖激光器增益由公式 估算，其中的 l 是放电管长度。dlelg4030分析：如果其他损耗包括了衍射损耗，则只考虑反射损耗及其他损耗的和是否小于激光器的增益系数，增益大于损耗，则可产生激光振荡。如果其他损耗不包括衍射损耗，并且菲涅尔数小于一，则还要考虑衍射损耗，衍射损耗的大小可以根据书中的公式 00=10.9*10-4.94N
15、来确定，其中的 N 是菲涅尔数。解答：根据 ，可以知道单程增益 g0L=ln(1+0.0003L/d)=0.0723dlelg41030由于反射不完全引起的损耗可以用公式 2.1.24 或者 2.1.25 来衡量根据 2.1.24 得到：r-0.5lnr 1r2=0.0204根据题意，总的损耗为反射损+其他损耗，因此单程总损耗系数为=0.0204+0.0003g 0L如果考虑到衍射损耗，则还要根据菲涅尔数来确定衍射损系数：此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅尔数为：N=a 2/(L )=7.6，菲涅尔数大于一很多倍，因此可以不考虑衍射损耗的影响。通过以上分析可以断定，此谐振腔可以产生激光振荡。又根据氦
16、氖激光器的多普勒展宽达到 1.6GHZ，而纵模及横模间隔根据计算可知很小，在一个大的展宽范围内可以后很多具有不同模式的光波振荡，因此不采取技术措施不可能得到基模振荡。为了得到基模振荡，可以在腔内加入光阑，达到基模振荡的作用。在腔镜上，基模光斑半径为： cmLos 21046.因此，可以在镜面上放置边长为 2 0s的光阑。解答完毕。6 试求出方形镜共焦腔面上 模的节线位置，这些节线是等距分布吗？30TEM解答如下：方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为 , dyxeyxeLiyxa LyxikmnikLmnmn 经过博伊德戈登变换，在通过厄密-高斯近似，可以用厄密- 高斯函数表示镜面上场的函数
17、Lyxcnmnmn eHLHC 222, LyxLyx exLCexLyx 22 1282, 33003030 使 就可以求出节线的位置。由上式得到：,30，这些节线是等距的。解答完毕。lx2,217 求圆形镜共焦腔 和 模在镜面上光斑的节线位置。0TEM02解答如下：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔高斯近似下，可以写成如下的形式（这个场对应于 ，两个三角函数merLCr srsnmsmnmn inco, 200 mnTEM因子可以任意选择，但是当 m 为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零）对于 ：20TEM 2sinco, 2020202 rsseLrr并且 ，代入上式，得到120srL，我们取
18、余弦项，根据2sinco2, 20020 rseCr题中所要求的结果，我们取 ，就能求出镜面上 0co,200220 srser节线的位置。既 43,cos21对于 ，可以做类似的分析。02TEM 20202022000202, ss rsrss eLCeLrCr ，代入上式并使光波场为零，得到402201sssL 021, 2400202 srsss errCr 显然，只要 即满足上式440220sssL最后镜面上节线圆的半径分别为： ssrr 0201 1,解答完毕。8 今有一球面腔，两个曲率半径分别是 R1=1.5M，R 2=-1M，L=80CM，试证明该腔是稳定腔，求出它的等价共焦腔的
19、参数，在图中画出等价共焦腔的具体位置。解：共轴球面腔稳定判别的公式是 ，这个公式具有普适性（教材 36 页中间文字部DA分） ，对于简单共轴球面腔，可以利用上边式子的变换形式 判断稳定性，其中102g。iiRLg1题中 ，15810822RLg，在稳定腔的判别范围内，所以是稳定腔。093.21任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，一个一般稳定球面腔唯一对应一个共焦腔，他们的行波场是相同的。等价共焦腔的参数包括：以等价共焦腔的腔中心为坐标原点，从坐标原点到一般稳定球面两个腔镜面的坐标 和 ，再加上它的共焦腔的镜面焦距 ，这三个参数就能完全确定等价共焦腔。1Z2 F根据公式（激光原理 p66-2
20、.8.4）得到：MRLZ 18.0.5.1802121 62.2235.018.05.22112 LF因此 M485.0等价共焦腔示意图略。9 某二氧化碳激光器采用平-凹腔，L=50CM ，R=2M，2a=1CM，波长 =10.6m，试计算镜面上的光斑半径、束腰半径及两个镜面上的损耗。解：此二氧化碳激光器是稳定腔，其中平面镜的曲率半径可以看作是无穷大。根据公式（激光原理 p67-2.8.6 或 2.8.7）得到： MgLgss 664/1214/12101 102.3.1087. ss 664/1224/12202 97.8.5. 其中第一个腰斑半径对应平面镜。上式中 是这个平凹腔的等价共焦腔
21、镜面上的腰斑半径，LS0并且根据一般稳定球面腔与等价共焦腔的性质，他们具有同一个束腰。根据共焦腔束腰光斑半径与镜面上光斑半径的关系可知： MS193.4.68720作为稳定腔，损耗主要是衍射损，衍射损耗与镜面上的菲涅尔数有关，在损耗不大的情况下，是倒数关系。即： N1根据公式（激光原理 p69-2.8.18 或 2.8.19）分别求出两个镜面的菲涅尔数626421 105.10.6.35sefa426421 83.997.8.sef根据衍射损耗定义，可以分别求出：，710.6efN 5210.efN10 证明在所有菲涅尔数 相同而曲率半径 R 不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗La最低。
22、这里 L 表示腔长，a 是镜面的半径。证明：在对称共焦腔中， 212RfL11 今有一平面镜和一个曲率半径为 R=1M 的凹面镜，问：应该如何构成一个平凹稳定腔以获得最小的基模远场发散角，画出光束发散角与腔长的关系。解答：我们知道，远场发散角不仅和模式（频率）有关，还和腔的结构有关。根据公式 2.6.14 得到：，如果平面镜和凹面镜构成的谐振腔所对应的等价共焦腔焦距最大，则可以获得最小的基f20模光束发散角。 mfRLRLf 25.0ax21122 代入发散角公式，就得到最小发散角为： 45.00f发散角与腔长的关系式： lf12013 某二氧化碳激光器材永平凹腔，凹面镜的 R=2M，腔长 L
23、=1M，试给出它所产生的高斯光束的束腰腰斑半径的大小和位置，该高斯光束的焦参数和基模发散角。解答： MLRLF12112 84.6.300radF30107.214 某高斯光束束腰光斑半径为 1.14MM，波长 =10.6M。求与束腰相距 30 厘米、100 厘米、1000米远处的光斑半径及相应的曲率半径。解答：根据公式（激光原理 p71-2.9.4, 2.9.6）2002011zfzz把不同距离的数据代入，得到：， ，Mcm45.3CMm97.m97.210曲率半径 201zzR与不同距离对应的曲率半径为：， ，c79.0315.R1015 若已知某高斯光束的束腰半径为 0.3 毫米，波长为
24、 632.8 纳米。求束腰处的 q 参数值，与束腰距离 30 厘米处的 q 参数值，与束腰相距无限远处的 q 值。解答：束腰处的 q 参数值实际上就是书中的公交参量（激光原理 p73-2.9.12）：iifq68.4200根据公式（激光原理 p75-2.10.8），可以得到 30 厘米和无穷远处的 q 参数值分别为zi.330无穷远处的参数值为无穷大。16 某高斯光束束腰半径为 1.2 毫米，波长为 10.6 微米。现在用焦距 F=2cm 的锗透镜聚焦，当束腰与透镜距离分别为 10 米，1 米，10 厘米和 0 时，求焦斑大小和位置，并分析结果。解答：根据公式（激光原理 p78-2.10.17
25、 和 2.10.18）当束腰与透镜距离 10 米时MlF4.2020 同理可得到：解答完毕17 二氧化碳激光器输出波长为 10.6 微米的激光，束腰半径为 3 毫米，用一个焦距为 2 厘米的凸透镜聚焦，求欲得到焦斑半径为 20 微米及 2.5 微米时，透镜应该放在什么位置。解答：根据公式（激光原理 p78-2.10.18）20220lF上式中束腰到透镜的距离 l 就是我们要求的参数，其他各个参数都为已知，代入题中给出的数据，并对上式进行变换，得到 2020l当焦斑等于 20 微米时， （透镜距束腰的距离）Ml395.1当焦斑等于 2.5 微米时， 87此提要验证18 如图 2.2 所示，入射光波厂为 10.6 微米，求 及 。03l解答：经过第一个透镜后的焦斑参数为：202120lF20211 Fll经过第二个透镜后的焦参数为：20220lF20213 Fll2l解方程可以求出题中所求。19 某高斯光束束腰腰斑半径为 1.2 毫米，波长为 10.6 微米。现在用一个望远镜将其准直。主镜用曲率半径为 1 米的镀金反射镜，口径为 20 厘米；副镜为一个焦距为 2.5 厘米，口径为 1.5 厘米的锗透镜；高斯光束束腰与透镜相距 1 米，如图所示。求该望远镜系统对高斯光束的准直倍率。
