1、第九章 振动9-1 一个质点作简谐运动，振幅为 A，在起始时刻质点的位移为 ，且向 x 轴正方向2A运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）题- 图分析与解（b）图中旋转矢量的矢端在 x 轴上投影点的位移为A/2，且投影点的运动方向指向 Ox 轴正向，即其速度的 x 分量大于零，故满足题意因而正确答案为（b）9-2 已知某简谐运动的振动曲线如图（a）所示，则此简谐运动的运动方程为（ ）cm324cosD cm324cosBC A txtx题- 图分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为 A/2，且向 x 轴负方向运动图（）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为 3/2振动曲线上给出
2、质点从A/2 处运动到+ A 处所需时间为 1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差 3/4，则角频率 ，故选（D ）本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程3/4/t来找出正确答案9-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a） 所示， x1 的相位比 x2 的相位（ ）（A） 落后 （B）超前 （C）落后 （D）超前22分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b） 即可得到答案为（b）题- 图9-4 当质点以频率 作简谐运动时，它的动能的变化频率为（ ）（A） （B） （C） （D）2vvv2v4分析与解 质点作简谐运动的动能表式为 ，可见其周期为简tAmEk2sin1谐运动周期的一半，则频
3、率为简谐运动频率 的两倍因而正确答案为（ C）9-5 图（a）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ）（A） （B） （C） （D）23210分析与解 由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差是 （即反相位）运动方程分别为 和 它们的振幅不tAxcos1cos2tx同对于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b）很方便求得合运动方程为因而正确答案为（D ）tAxcos21题- 图9-6 有一个弹簧振子，振幅 ，周期 ，初相 试写出m1022.As01.T4/3它的运动方程，并作出 图、 图和 图txtvta题-6 图分
4、析 弹簧振子的振动是简谐运动振幅 、初相 、角频率 是简谐运动方程A的三个特征量求运动方程就要设法确定这三个物理量题中除 、 已tAxcos A知外， 可通过关系式 确定振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的T/2计算方法相同解 因 ，则运动方程/t2coscosTAtx根据题中给出的数据得 m 75.010.22t振子的速度和加速度分别为-12 sm 75.0sin14d/ tyxv2co8a、 及 图如图所示txtt9-7 若简谐运动方程为 ，求：（1） 振幅、频率、角频.s0.t率、周期和初相；（2） 时的位移、速度和加速度 st分析 可采用比较法求解将已知的简谐运动方程与简谐运
5、动方程的一般形式作比较，即可求得各特征量运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、tAxcos加速度的表达式，代入 值后，即可求得结果t解 （1） 将 与 比较后可得：振幅 A m25.0cos1.0tx tAxcos0.10m，角频率 ，初相 0.25 ，则周期 ，频21.0/2T率 Hz/Tv（） 时的位移、速度、加速度分别为st107.5.04co1.02tx -1s4.sin2d/ t -22 m9a9-8 一远洋货轮，质量为 m，浮在水面时其水平截面积为 S设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为 ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振
6、动周期分析 要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力 与位移 间的关系，如果满足 ，则货轮作简谐运动通过 即可求得振FxkxFkxF动周期 kT/2/证 货轮处于平衡状态时图（a），浮力大小为 F mg当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点 O，竖直向下为 x 轴正向，如图（b）所示则当货轮向下偏移 x 位移时，受合外力为 PF其中 为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为F gSxmx题- 图则货轮所受合外力为 kxgSFP式中 是一常数这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动gSk由 可得货轮运动的微分方程为txmF2d/ 0
7、d2mxtx/令 ，可得其振动周期为/2 gST/9-9 设地球是一个半径为 R 的均匀球体，密度 现假定沿直径凿33kg15.通一条隧道，若有一质量为 m 的质点在此隧道内作无摩擦运动（1） 证明此质点的运动是简谐运动；（2） 计算其周期题- 图分析 证明方法与上题相似分析质点在隧道内运动时的受力特征即可证 （1） 取图所示坐标当质量为 m 的质点位于 x 处时，它受地球的引力为2xmGF式中 为引力常量， 是以 x 为半径的球体质量，即 令 ，Gm3/4xx3/4Gmk则质点受力 k3/4因此，质点作简谐运动（2） 质点振动的周期为 s107.5/23GmT9-10 如图（a）所示，两个轻
8、弹簧的劲度系数分别为 、 当物体在光滑斜面上振1k2动时（1） 证明其运动仍是简谐运动；（2） 求系统的振动频率题 9-10 图分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）为此，建立如图（b）所示的坐标设系统平衡时物体所在位置为坐标原点 O，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox 轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率 证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为 、 ，则由物体受力平衡，有1x2（1）si
9、nkmg按图（b）所取坐标，物体沿 x 轴移动位移 x 时，两弹簧又分别被拉伸 和 ，x2即 则物体受力为21x（）12sinsinxkmgxkmgF将式（1）代入式（2）得1（）由式（3）得 、 ，而 ，则得到11kx/ 22kx/ 2xkF1式中 为常数，则物体作简谐运动，振动频率2k/ mmkv 212/2/讨论 （1） 由本题的求证可知，斜面倾角 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因（2） 如果振动系统如图（c）（弹簧并联）或如图（d）所
10、示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为 ，读者可以一试通过这些例子可以mkv/212知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的*9 11 在如图（a）所示装置中，一劲度系数为 k 的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为 的物体 ，置于光滑水平桌面上现通过一质量 m、半径为 R 的定滑轮1mAB（可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为 的物体 C设细绳不可伸长，且与滑轮间无相2对滑动，求系统的振动角频率题 9-11 图分析 这是一个由弹簧、物体 A、C 和滑轮 B 组成的简谐运动系统求解系统的振动频率可采用两种方法（1） 从受力分析着手如图（b）所示，设系统处于
11、平衡状态时，与物体 A 相连的弹簧一端所在位置为坐标原点 O，此时弹簧已伸长 ，且 当弹簧沿0xgmk20轴正向从原点 O 伸长 x 时，分析物体 A、C 及滑轮 B 的受力情况，并分别列出它们的动x力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程（2）从系统机械能守恒着手列出系统机械能守恒方程，然后求得系统作简谐运动的微分方程解 1 在图（b）的状态下，各物体受力如图（c）所示其中 考虑到iF0xk绳子不可伸长，对物体 A、B、C 分别列方程，有（1）2101dtxmxkFT2gT（2）（3）212dtxRJFTgmkx20（4）方程（3）中用到了 、 、 及 联立式（1） 式2TF1T/Ja/（4
12、）可得02d12xmktx/（5）则系统振动的角频率为 21/k解 2 取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离 x（此时速度为 v、加速度为 a）为末状态，则由机械能守恒定律，有 20222120 1xkJmgxEv在列出上述方程时应注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取为运算方便，选初始状态下物体 C 所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点将上述方程对时间求导得 txktJttgmddd0 0212 vv将 ， ， 和 代入上式，可得2/RJ/x2gm212xkt/（6）式（6）与式（5）相同，表明两种
13、解法结果一致9-12 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 A2.0 10-2 m，周期 T0.50当 t0 时，（1） 物体在正方向端点；（ 2） 物体在平衡位置、向负方向运动；（3） 物体在 x -1.010-2m 处， 向负方向运动； （4） 物体在 x-1.010 -2 m 处，向正方向运动求以上各种情况的运动方程分析 在振幅 A 和周期 T 已知的条件下，确定初相 是求解简谐运动方程的关键初相的确定通常有两种方法（1） 解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即 t 0 时，x x 0 和 v v 0 来确定 值 （ 2） 旋转矢量法：如图（a）所示，将质点 P 在 Ox 轴上振动的初始
14、位置 x0 和速度 v0 的方向与旋转矢量图相对应来确定 旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用题 9-12 图解 由题给条件知 A 2.0 10-2 m， ，而初相 可采用分析中的两种不1s4/2T同方法来求解析法：根据简谐运动方程 ，当 时有 ，txcos0ttAxcos当（1） 时， ，则 ；sin0v011（2） 时， ， ，因 ，取 ；xco220v2（3） 时， ， ，由 ，取 ；m0. 5s3.30v3（4） 时， ， ，由 ，取 12xc444旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b）所示，它们所对应的初相分别为 ， ， ， 01234振幅 A、角频率 、初
15、相 均确定后，则各相应状态下的运动方程为（1） mtcos4.x（2） m/2t4cos10.2x（3） 3（4） /t.9-13 有一弹簧， 当其下端挂一质量为 m 的物体时， 伸长量为 9.8 10-2 m若使物体上、下振动，且规定向下为正方向（1） 当 t 0 时，物体在平衡位置上方 8.0 10-2 处，由静止开始向下运动，求运动方程（2） 当 t 时，物体在平衡位置并以 0.6s -1 的速度向上运动，求运动方程分析 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量 A、 和 其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量 m 及弹簧劲度系数 k）决定的，即 ，k 可/根据物体受力
16、平衡时弹簧的伸长来计算；振幅 A 和初相 需要根据初始条件确定题 9-13 图解 物体受力平衡时，弹性力 F 与重力 P 的大小相等，即 F mg 而此时弹簧的伸长量 l 9.8 10-2m则弹簧的劲度系数 k F l mg l系统作简谐运动的角频率为 1s0lgm/（1） 设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为 x 轴正向由初始条件 t 0 时，x10 8.0 10-2 m、v 10 0 可得振幅 ；应用旋转矢量法可m822102./vxA确定初相 图（a）则运动方程为1tcos.821x（2）t 时，x 20 0、v 20 0.6 s -1 ，同理可得； 图（b）则运动方程为062202./vxA/25.1tcs.9-14 某振动质点的 x-t 曲线如图（a）所示，试求：（1） 运动方程；（2） 点 P 对应的相位；（3） 到达点 P 相应位置所需的时间分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题本
