1、第一章 质点运动学1 -1 质点作曲线运动,在时刻 t 质点的位矢为r,速度为v ,速率为v,t 至(t t)时间内的位移为r, 路程为s, 位矢大小的变化量为 r ( 或称r),平均速度为 ,平均速率为 v(1) 根据上述情况,则必有( )(A) r= s = r(B) r s r,当t0 时有dr= ds dr(C) r r s,当t0 时有dr= dr ds(D) r s r,当t0 时有dr = dr = ds(2) 根据上述情况,则必有( )(A) = , = (B) , vvvv(C) = , (D) , = 分析与解 (1) 质点在t 至(t t)时间内沿曲线从P 点运动到P点,
2、各量关系如图所示, 其中路程s PP, 位移大小 rPP,而r r-r表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能) 但当t0 时,点P 无限趋近P点,则有drds,但却不等于dr故选(B)(2) 由于r s,故 ,即 tsv但由于drds,故 ,即 由此可见,应选(C)tdr1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r( x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1) ； (2) ； (3) ； (4) tdtrtsd22dtytx下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确
3、(D) 只有(3)(4) 正确分析与解 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率通trd常用符号v r表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量； 表示速度矢量；在自然坐标tdr系中速度大小可用公式 计算,在直角坐标系中则可由公式 求tsdv22dtytxv解故选(D)1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v表示速度,a表示加速度,s 表示路程, a 表示切向加速度对下列表达式,即(1)d v /dt ；(2)d r/dt v；(3)ds/dt v；(4)d v /dta a下述判断正确的是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的(C
4、) 只有(2)是对的 (D) 只有(3) 是对的分析与解 表示切向加速度a ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方tdv向的一个分量,起改变速度大小的作用； 在极坐标系中表示径向速率v r(如题1 -2 所述)；trd在自然坐标系中表示质点的速率v；而 表示加速度的大小而不是切向加速度a 因tsd t此只有(3) 式表达是正确的故选(D)1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变 ,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变 ,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分
5、量a 起改变速度大小的作用,而法向分量a n起改变速度方向的作用质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的至于a 是否改变,则要视质点的速率情况而定质点作匀速率圆周运动时, a 恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a 为一不为零的恒量,当a 改变时,质点则作一般的变速率圆周运动由此可见,应选(B) 1 -5 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为 ,式中x 的单位为m,t 的单326tx位为 s求：(1) 质点在运动开始后4.0 s 内的位移的大小；(2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t4 s时质点的速度和加速度分析 位移和路
6、程是两个完全不同的概念只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等质点在t 时间内的位移 x 的大小可直接由运动方程得到：,而在求路程时 ,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移0xt的大小和路程就不同了为此,需根据 来确定其运动方向改变的时刻t p ,求出0t p 和0dxtpt 内的位移大小x 1 、x 2 ,则t 时间内的路程 ,如图所示,至于t 4.0 s 时21xs质点速度和加速度可用 和 两式计算td2题 1-5 图解 (1) 质点在4.0 s 内位移的大小 m3204x(2) 由 dtx得知质点的换向时刻为(t0不合题意 )s2pt则 m.8
7、021x44所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为 21s(3) t4.0 s时 1s0.4sm8dtxv2s0.42.36ta1 -6 已知质点的运动方程为 ,式中r 的单位为 m,t 的单位为求：jir)(1) 质点的运动轨迹；(2) t 0 及t 2时,质点的位矢；(3) 由t 0 到t 2内质点的位移r 和径向增量 r； 分析 质点的轨迹方程为y f (x),可由运动方程的两个分量式x( t)和y(t)中消去t 即可得到对于r、r、r 、s 来说,物理含义不同,(详见题1-1 分析).解 (1) 由x(t) 和 y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为 241xy这是一个抛物线方程,轨迹
8、如图(a)所示(2) 将t 0和t 2分别代入运动方程,可得相应位矢分别为, jr20ji24图(a)中的P、Q 两点,即为t 0和t 2时质点所在位置(3) 由位移表达式,得 jijir)()(020212 yx其中位移大小 m6.5)(yxr而径向增量 47.20202r题 1-6 图1 -7 质点的运动方程为 2301tx5y式中x,y 的单位为m,t 的单位为试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向解 (1) 速度的分量式为 ttx601dvy45当t 0 时, v 0x
9、-10 m -1 , v0y 15 m -1 ,则初速度大小为 120sm.8yx设v 0与x 轴的夹角为,则 23tan0xyv12341(2) 加速度的分量式为, 2sm60dtaxv2sm40dtayv则加速度的大小为 22s1.7yx设a 与x 轴的夹角为 ,则 3tanxy-3341(或32619)1 -8 一升降机以加速度1.22 m -2上升,当上升速度为2.44 m -1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m计算：(1) 螺丝从天花板落到底面所需要的时间；(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处
10、理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y 1 y1(t)和y 2 y 2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机(或螺丝) 为参考系,这时,螺丝 (或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度升降机厢的高度就是螺丝(或升降机) 运动的路程解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为 201atyv2gh当螺丝落至底面时,有y 1 y 2 ,即 202011tatvvs75.ght(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的
11、距离为 m16.0202tyhdv解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小 ag a,螺丝落至底面时,有)(1ts705.2aght(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为 201thv则 m716.0hd题 1-8 图1 -9 质点沿直线运动,加速度 a4 -t2 ,式中a的单位为m -2 ,t的单位为如果当t 3时,x9 m,v 2 m -1 ,求质点的运动方程分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决由 和 可得 和 如aa( t)或v v( t),则可两tdvtxtdvtxv边直接积分如果a 或v不是时间t 的显函数
12、,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分解 由分析知,应有 ta0d0v得 (1)0314vt由 tx0d0v得 (2)0421xttxv将t3时,x 9 m,v2 m -1代入(1)、(2) 得v0-1 m -1, x00.75 m于是可得质点运动方程为 75.124tx1 -10 一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度aA -Bv,式中A、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数,因此,需将式dv a(v)d t 分离变量为 后再两边积分tad)(v解 选取石子下落方向
13、为y 轴正向,下落起点为坐标原点(1) 由题意知 (1)vBAtad用分离变量法把式(1)改写为(2)t将式(2)两边积分并考虑初始条件,有 tBA0d0vv得石子速度 )e1(t由此可知当,t时, 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度Bv(2) 再由 并考虑初始条件有)e(dtAtytBAytd)e1(d0得石子运动方程 )(2tt1 -11 一质点具有恒定加速度a 6i 4j,式中a的单位为 m -2 在t0时,其速度为零,位置矢量r 0 10 mi求：(1) 在任意时刻的速度和位置矢量；(2) 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图题 1-11 图分析 与上两题不同处在于质点
14、作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量a x 和a y分别积分,从而得到运动方程 r的两个分量式x (t)和y( t)由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即 和201axxv,两个分运动均为匀变速直线运动读者不妨自己验证一下201tyyv解 由加速度定义式,根据初始条件t 0 0时v 0 0,积分可得tt t)d46(djiajit46v又由 及初始条件t0 时,r 0(10 m)i,积分可得drvttr t0)d(d0 ji2)31(t由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x 103t 2y 2t 2消去参数t,可得运动的轨迹方程3y 2x
15、-20 m这是一个直线方程直线斜率 ,3341轨迹如图所示tandk1 -12 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r2.0ti (19.0 -2.0t2 )j,式中r 的单位为m,t 的单位为s求：(1) 质点的轨迹方程； (2) 在t 11.0s 到t 2 2.0s 时间内的平均速度；(3) t1 1.0时的速度及切向和法向加速度；(4) t 1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径分析 根据运动方程可直接写出其分量式x x(t)和y y( t),从中消去参数t ,即得质点的轨迹方程平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即 ,它与时间间隔t 的大rv小有关,当t0 时,平均速度的极限即
16、瞬时速度 切向和法向加速度是指在自然坐td标下的分矢量a 和a n ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即 ,后者只tteadv反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和a 得到在求得t 1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式 求n2v解 (1) 由参数方程x 2.0t, y 19.0-2.0t 2消去t 得质点的轨迹方程：y 19.0 -0.50x 2(2) 在t 1 1.00 到t 2 2.0时间内的平均速度 jir0.612ttv(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为 jijiji ttyxtyx .42d)(jjia22sm0.dtt则t1 1.00时的速度v(
17、t) t 1 2.0i -4.0j切向和法向加速度分别为 ttyxtt eeea 22s1 sm58.3)d nntna2279.1(4) t 1.0质点的速度大小为 12s4.yxv则 m7na1 -13 飞机以100 m -1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问：(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？ (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3) 物品投出2.0后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？题 1-13 图分析 物品空投后作平抛运动忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直
18、线运动,在竖直方向作自由落体运动到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角或由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角 ,可由此时刻的两速度分量 vx 、v y求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x vt , y 1/2 gt 2飞机水平飞行速度v100 ms-1 ,飞机离地面的高度y100 m,由上述
19、两式可得目标在飞机正下方前的距离 m452gxv(2) 视线和水平线的夹角为o5.12arctnxy(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为 vgtxyrart取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为 2sm8.1arctnsiinvggat 26.9rtocn1 -14 为迎接香港回归，特技演员柯受良在1997年6月1日驾车飞越黄河壶口，如图所示，柯驾车从跑道东端启动，到达跑道终端时速度大小为，他随即以仰角 冲出，飞越跨度达57 m，安全着陆在西岸木桥50v hkm 5上，求：题 1-14 图（1） 柯飞车跨越黄河用了多长时间？（2） 若起飞点高出河面10 m ，柯驾车飞行的最高点距河面为几米？（3） 西岸木桥和起飞点的高度差为多少？分析 由题意知，飞车作斜上抛运动，对包含抛体在内的一般曲线运动来说，运用叠加原理是求解此类问题的普适方法，操作程序是：建立一个恰当的直角坐标系，将运动分解为两个相互正交的直线运动，由于在抛体运动中，质点的加速度恒为g，故两个分运动均为匀变速直线运动或其中一个为匀速直线运动，直接列出相关运动规律方程即可求解，本题可建立图示坐标系，图中 分别表示飞车的最大高度和飞跃跨度 .mxy和解 在图示坐标系中，有（1） tvx)cos(0（2） 21ingy）（3） tvys0
