1、第十章 静电场中的导体与电介质101 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A） 升高 （B） 降低 （C） 不会发生变化 （D） 无法确定分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势 .由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）.102 将一带负电的物体M靠近一不带电的导体N，在N的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷.若将导体N的左端接地（如图所示），则（ ）（A） N上的负电荷入地 （B）N 上的正电荷入地（C） N上的所有电荷入地 （
2、D）N上所有的感应电荷入地题 10-2 图分析与解 导体N接地表明导体 N为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体 N在哪一端接地无关.因而正确答案为（A ）.103 如图所示将一个电量为q的点电荷放在一个半径为R的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d，参见附图.设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ）（A） （B）dqVE04, dqVE0204,（C） （D）, R020,题 10-3 图分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零.点电荷q 在导体球表面感应等量异号的感应电荷q，导体球表面的感应电荷q在球心O点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷 q 在该处激发的电势
3、.因而正确答案为（A ）.104 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和.下列推论正确的是( )（A） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷（B） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零（C） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷（D） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关（E） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面内自由电荷的代数和等于零；由于
4、电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关.因而正确答案为（E）.105 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ）（A） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/ 倍（B） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/ 倍（C） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/ 倍（D） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的 倍分析与解 电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中
5、导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有 iSS q001d1E即E E / ，因而正确答案为（A ）.106 不带电的导体球A含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷q b 、q c ，导体球外距导体球较远的r 处还有一个点电荷q d （如图所示）.试求点电荷q b 、q c 、q d 各受多大的电场力.题 10-6 图分析与解 根据导体静电平衡时电荷分布的规律，空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表面感应电荷；导体球A外表面的感应电荷近似均匀分布，因而近似可看作均匀带电球对点电荷q d的作用力. 204rq
6、Fdcbd点电荷q d 与导体球A 外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零，点电荷q b 、q c处于球形空腔的中心，空腔内表面感应电荷均匀分布，点电荷q b 、q c受到的作用力为零.107 一真空二极管，其主要构件是一个半径R 5.010 4 m的圆柱形阴极和一个套在阴极外、半径R 4.510 3 m 的同轴圆筒形阳极阳极电势比阴极电势高300 V，阴极与阳极的长度均为L2.510 m假设电子从阴极射出时的速度为零求：（） 该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（）电子刚从阳极射出时所受的力题 10-7 图分析 （1） 由于半径R L，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有
7、轴对称性从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电子所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率（2） 计算阳极表面附近的电场强度，由FqE 求出电子在阴极表面所受的电场力解 （1） 电子到达阳极时，势能的减少量为J108.47epVE由于电子的初始速度为零，故 J.17epekek 因此电子到达阳极的速率为 1-7ek sm03.2VmEv（2） 两极间的电场强度为 re02两极间的电势差 1200lnd2d121 RrVRR rE负号表示阳极电势高于阴极电势阴极表面电场强度 rrRVee1210ln2电子在阴极表面受力 reeEFN)3
8、7.414（这个力尽管很小，但作用在质量为.110 3 kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加速度的510 5 倍108 一导体球半径为R ，外罩一半径为R 2 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为V 求此系统的电势和电场的分布分析 若 ，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强204度处处为零，内球不带电若 ，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带20RV电一般情况下，假设内导体球带电q，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布并由 或电势叠加求出电势的pVlEd分布最后将电场强度和电势用已知
9、量V 0、Q 、R 、R 2表示题 10-8 图解 根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称取同心球面为高斯面，由高斯定理 ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得 02/4dqrErSE各区域内的电场分布为r R 时， 01rR rR 2 时， 2024qErR 2 时， 202rQ由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布r R 时， 2010 32114dd21RQqVRRRrr lEllElR rR 2 时， 200 3224dd2RQrqVRRrrlEllErR 2 时， rqVr034dlE3也可以从球面电势的叠加求电势的分布：在导体球内（r R ） 201014
10、RQqV在导体球和球壳之间（R rR 2 ） 2004rq在球壳外（rR 2）为 rqQV034由题意 102014Rq得 QVq210于是可求得各处的电场强度和电势的分布：r R 时，；01E01VR rR 2 时， ；201214rRQrVrRQr201014)(rR 2 时，；20120134)(rrErrV2010134)(109 地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km，试估算地球电离层系统的电容设地球与电离层之间为真空解 由于地球半径R 16.3710 6 m；电离层半径R 21.0010 5 m R 1 6.4710 6 m，根据球形电容器的电容公式，可得F10
11、58.442120RC1010 两线输电线，其导线半径为3.26 mm，两线中心相距 0.50 m，导线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略求输电线单位长度的电容分析 假设两根导线带等量异号电荷，电荷在导线上均匀分布，则由长直带电线的电场叠加，可以求出两根带电导线间的电场分布, E再由电势差的定义求出两根导线之间的电势差，就可根据电容器电容的定义，求出两线输电线单位长度的电容解 建立如图坐标，带等量异号电荷的两根导线在 P点激发的电场强度方向如图，由上述分析可得 P点电场强度的大小为 )1(20xdE电场强度的方向沿 x轴，电线自身为等势体，依照定义两导线之间的电势差为 xdlUlRd)1
12、(20上式积分得 Rln0因此，输电线单位长度的电容 ddUCl/l/00代入数据 F152.题 10-10 图1011 电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）.当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号.假设金属片面积为50.0 mm2 ，两金属片之间的距离是0.600 mm.如果电路能检测出的电容变化量是0.250 pF，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？题 10-11 图分析 按下按键时两金属片之间的距离变小，电容增大，由电容的变化量可以求得按键按下的最小距离：
13、解 按下按键时电容的变化量为 001dSC按键按下的最小距离为 m152.0020minSdd1012 一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm 2 ，厚度为0.10 mm把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.（1） 求电容器的电容；（2） 当在电容器的两极间加上12 V电压时，极板上的电荷为多少？ 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？ （3） 求电容器内的电场强度解 （1） 查表可知二氧化钛的相对电容率 r 173，故充满此介质的平板电容器的电容 F1053.90dSCr（2） 电容器加上U 12V 的电压时，极板上的电荷 C84.UQ极板上自由电荷面密度为2-80mC104.SQ晶片表
14、面极化电荷密度 2-40083.1 r（3） 晶片内的电场强度为 1-5mV2.dUE1013 如图所示，半径R 0.10 m 的导体球带有电荷Q 1.0 10 C，导体外有两层均匀介质，一层介质的 r5.0，厚度d 0.10 m ，另一层介质为空气，充满其余空间求：（1） 离球心为r 5cm、15 cm、25 cm 处的D 和E ；（2） 离球心为r 5 cm、15 cm、25 cm 处的V；（ 3） 极化电荷面密度 题 10-13 图分析 带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的任取同心球面为高斯面，电位移矢量D
15、的通量与自由电荷分布有关，因此，在高斯面上D 呈均匀对称分布，由高斯定理可得D（r）再由 可得E（r ）0dqS0/D介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系 求得，或者由电势叠加rVld原理求得极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷面密度 nP解 （1） 取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得r R 0421rD；01D1ER r R d Qr2；24D20rEr R d r23；234QD203E将不同的r 值代入上述关系式，可得r5 cm、15 cm 和25 cm 时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外r1 5 cm ，该点在导体球内，则；01rD1rEr2 15 cm ，该点在介质层内， 5.0，则 282mC.342 rQr 1220V0.2 Errr3 25 cm ，该点在空气层内，空气中 0 ，则；2823mC1.43 rQDr 1320V.3 Er（2） 取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得r3 25 cm ， V3604dr31rQVE
