1、第六章 静电场中的导体与电介质6 1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A） 升高 （B ） 降低 （C） 不会发生变化 （D） 无法确定分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A）。6 2 将一带负电的物体M靠近一不带电的导体N，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ）（A） N上的负电荷入地 （B）N上的正电荷入地（C ） N上的所有电荷入地
2、 （D）N上所有的感应电荷入地分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关。因而正确答案为（A）。6 3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ）（A） dqVE04,（B） 020,（C ） ,VE（D） Rqd0204,分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。点电荷q 在导体球表面感应等量异号的感应电荷q，导体球表面的感应电荷q在球心O点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。因而正确答案为（ A）
3、。6 4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是( )（A） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷（B） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零（C ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷（D） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关（E） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的
4、空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。因而正确答案为（E）。6 5 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ）（A） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/ 倍（B） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/ 倍（C ） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/ 倍（D） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的 倍分析与解 电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分
5、布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有iSS q001d1E即E E / ，因而正确答案为（ A）。6 6 不带电的导体球A 含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷q b 、q c ，导体球外距导体球较远的r 处还有一个点电荷q d （如图所示）。试求点电荷q b 、q c 、q d 各受多大的电场力。分析与解 根据导体静电平衡时电荷分布的规律，空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表面感应电荷；导体球A 外表面的感应电荷近似均匀分布，因而近似可看作均匀带电球对点电荷q d 的作用力。 204rqFdcbd点电荷q d 与导体球
6、 A 外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零，点电荷q b 、q c处于球形空腔的中心，空腔内表面感应电荷均匀分布，点电荷q b 、q c受到的作用力为零.6 7 一真空二极管，其主要构件是一个半径R 5.0 104 m 的圆柱形阴极和一个套在阴极外，半径R 4.510 3 m 的同轴圆筒形阳极阳极电势比阴极电势高 300V，阴极与阳极的长度均为L 2.510 m假设电子从阴极射出时的速度为零求：（） 该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（）电子刚从阳极射出时所受的力分析 （1） 由于半径R L，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性从阴极射出的电子在电场力作用下从静
7、止开始加速，电子所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率（2） 计算阳极表面附近的电场强度，由F qE 求出电子在阴极表面所受的电场力解 （1） 电子到达阳极时，势能的减少量为 J108.47eVEp由于电子的初始速度为零，故 J.17epekek因此电子到达阳极的速率为 1-7sm03.12VmEekv（2） 两极间的电场强度为 re02两极间的电势差 1200ln2d21 RerVRE负号表示阳极电势高于阴极电势阴极表面电场强度rrRVeeE1210ln2电子在阴极表面受力 N037.414reeF这个力尽管很小，但作用在质量为.1 10
8、3 kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加速度的5 10 5 倍6 8 一导体球半径为R ，外罩一半径为R 2 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为V 求此系统的电势和电场的分布分析 若 ，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强204度处处为零，内球不带电若 ，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带20RV电一般情况下，假设内导体球带电q，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布并由 或电势叠加求出电势的pVlEd分布最后将电场强度和电势用已知量V 0、Q、R 、R 2表示解 根据静电平衡时电
9、荷的分布，可知电场分布呈球对称取同心球面为高斯面，由高斯定理 ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得 02/4dqrErSE各区域内的电场分布为r R 时， 01rR rR 2 时， 2024rqErR 2 时， 202Q由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布r R 时， 20103211 4dd21 RQqVRRRrr lEllElR rR 2 时， 200322 4dd2 rqRRrr lllrR 2 时， rQqVr034dlE3也可以从球面电势的叠加求电势的分布在导体球内（r R ）201014Rq在导体球和球壳之间（R rR 2 ） 2004QrqV在球壳外（rR
10、2） rq034由题意 102014RQqV得 102014q代入电场、电势的分布得r R 时，；01E01VR rR 2 时， ；201214rRQrVrRQr201014)(rR 2 时，；20120134)(rrErrV2010134)(6 9 在一半径为R 6.0 cm 的金属球A 外面套有一个同心的金属球壳 B已知球壳B 的内、外半径分别为R 28.0 cm，R 3 10.0 cm设球A 带有总电荷 QA 3.0 10 C，球壳B 带有总电荷Q B 2.010 C（） 求球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势；（2） 将球壳B 接地然后断开，再把金属球A 接地，求金
11、属球A 和球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势分析 （） 根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷Q A均匀分布在球A 表面，球壳B 内表面带电荷 QA ，外表面带电荷Q B Q A ，电荷在导体表面均匀分布图（），由带电球面电势的叠加可求得球A 和球壳B 的电势（2） 导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）球壳B 接地后，外表面的电荷与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电Q A 图（）断开球壳B 的接地后，再将球A 接地，此时球A 的电势为零电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡不失一般性可设此时球A 带电q A ，根据静电平衡
12、时导体上电荷的分布规律，可知球壳B 内表面感应q A，外表面带电q A Q A 图（c）此时球 A 的电势可表示为04432010 RQqRqV由V A 0 可解出球 A 所带的电荷 qA ，再由带电球面电势的叠加，可求出球 A 和球壳B 的电势解 （） 由分析可知，球A 的外表面带电3.0 10 C，球壳B 内表面带电3.0 10 C，外表面带电5.0 10 C由电势的叠加，球A 和球壳B 的电势分别为 V106.5443302010 RQRqVAA.30BAB（2） 将球壳B 接地后断开，再把球A 接地，设球A 带电q A ，球A 和球壳B的电势为04432010 RqQqRVAA30AB
13、解得 C12.83121 RQqAA即球A 外表面带电2.12 10 C，由分析可推得球壳B 内表面带电2.12 10 C，外表面带电-0.9 10 C另外球A 和球壳B 的电势分别为 0AV27.91B导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡6 10 两块带电量分别为Q 、Q 2 的导体平板平行相对放置（如图所示），假设导体平板面积为S，两块导体平板间距为d，并且S d试证明（） 相向的两面电荷面密度大小相等符号相反；（2） 相背的两面电荷面密度大小相等符号相同分析 导体平板间距d S，忽略边缘效应，导体板近似可以当作无限大带电
14、平板处理。取如图（）所示的圆柱面为高斯面，高斯面的侧面与电场强度E 平行，电场强度通量为零；高斯面的两个端面在导体内部，因导体内电场强度为零，因而电场强度通量也为零，由高斯定理 0/dSqE得 0上式表明处于静电平衡的平行导体板，相对两个面带等量异号电荷再利用叠加原理，导体板上四个带电面在导体内任意一点激发的合电场强度必须为零，因而平行导体板外侧两个面带等量同号电荷证明 （） 设两块导体平板表面的电荷面密度分别为 、 2、 3、 4 ，取如图（）所示的圆柱面为高斯面，高斯面由侧面S 和两个端面S 2、S 3构成，由分析可知0/dqE得 ,3232q相向的两面电荷面密度大小相等符号相反（2） 由
15、电场的叠加原理，取水平向右为参考正方向，导体内 P 点的电场强度为0,02241403201 相背的两面电荷面密度大小相等符号相同6 11 将带电量为Q 的导体板A 从远处移至不带电的导体板B 附近，如图（）所示，两导体板几何形状完全相同，面积均为S，移近后两导体板距离为d（）=（） 忽略边缘效应求两导体板间的电势差；（2） 若将B 接地，结果又将如何？分析 由习题6 0 可知，导体板达到静电平衡时，相对两个面带等量异号电荷；相背两个面带等量同号电荷再由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布，进一步求出电场分布和导体间的电势差导体板B 接地后电势为零，B 的外侧表面不带电，根据导体板相背两个面带等量同号电荷可知，A 的外侧表面也不再带电，由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布，进一步求出电场分布和导体间的电势差解 （） 如图（）所示，依照题意和导体板达到静电平衡时的电荷分布规律可得 QS21430132解得 SQ4321
