1、第六章 时变电磁场6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场5cosmTzetB之中，如题 6.1 图所示。滑片的位置由 0.35(1cos)mxt确定，轨道终端接有电阻 0.2R，试求电流 i.R0.2m 0.7m a d b c ixy题 6.1图 解 穿过导体回路 abcda 的磁通为 5cos0.2(7)cos0.73(1)31coszdBabtxt ttASe故感应电流为 10.35sin(12cos)1.75sin(2cos)mAinRttttE6.2 一根半径为 a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场 0zBe中与 z 轴平行。设棒以角速度 绕轴作等速旋转，求
2、介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解 介质棒内距轴线距离为 r 处的感应电场为 00zrEvBe故介质棒内的极化强度为 0 0(1)()er rBBPeX极化电荷体密度为 2002()P极化电荷面密度为 00()PrraeBnBe则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 2201()PPSQa6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题 6.3 图所示。设 0.2am、1bcd、 7.cos(210)Ait，求回路中的感应 i i b d c a 题 6.3图 电动势。解 由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。故回路中
3、的感应电动势为 dddinSBStt右右E式中 00,2()iiBrbcr右右故 000ddln2l()()bcscdsiaiSriibcBr右右则 0 727 772lnd()1.cos(20)410.lni13.8si(2)inaibt tabt VtVE6.4 有一个环形线圈，导线的长度为 l，分别通过以直流电源供应电压 U0 和时变电源供应电压 U（t） 。讨论这两种情况下导线内的电场强度 E。解 设导线材料的电导率为 ，横截面积为 S，则导线的电阻为lR而环形线圈的电感为 L，故电压方程为 dit当 U=U0 时，电流 i 也为直流，0。故0llURiJSE此时导线内的切向电场为 0
4、El当 U=U（t）时，d()it，故 d()()()()URitLRtSLEtStlESt即d()()EtltULS求解此微分方程就可得到 t。6.5 一圆柱形电容器，内导体半径为 a，外导体内半径为 b，长为 l。设外加电压为0sinUt，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场） ，即0sinl()rUtbaEe故电容器两极板间的位移电流密度为 0cosln()drttDJ则 200 dl()d rs Uti zrba Se0coscosln()tCtba式中
5、，2lC是长为 l 的圆柱形电容器的电容。流过电容器的传导电流为 0dcoscUi tt可见 dci6.6 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。解 点电荷 q 产生的电场满足麦克斯韦方程 0E和 D由 D得 d据散度定理，上式即为 sqAS利用球对称性，得 24rDe故得点电荷的电场表示式 2rqE由于 0，可取 ，则得 2即得泊松方程26.7 试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。解 （1）在直角坐标中 yxz yxzyxzzHDJttJyxzyxzyxzEHtt0yxzyxzBD（2）在圆柱坐标中 11()
6、zrrrzrzzHJttDJt1()zrrzrzEHttt01()zrzrBD（3）在球坐标系中1(sin)i1()rrrrHDJr tJrtsini1()()rrrEHrtEt22111(sin)0isi()iiirr BBrDD6.8 已知在空气中90.1sncos(610)yxtzEe，求 H和 。提示：将 E 代入直角坐标中的波方程，可求得 。解 电场 E 应满足波动方程 220t将已知的 ye代入方程，得 2202yyyExzt式中 2292 92900.1()sincos(610).i.1sin(610)cos(610)yyyExtzzxtzt故得 2920()()则 354.1r
7、ad/m由 0tHE得0091.sin1i(610)cosyyxzxz Et xtxzHee将上式对时间 t 积分，得 9909490.1inco(6106cosi()2.3s54.)110in610A/mxzxz ttzzxtee6.9 已知自由空间中球面波的电场为 0sinco()Etkrre求 H 和 k。解 可以和前题一样将 E 代入波动方程来确定 k，也可以直接由麦克斯韦方程求与 E相伴的磁场 H。而此磁场又要产生与之相伴的电场，同样据麦克斯韦方程求得。将两个电场比较，即可确定 k 的值。两种方法本质上是一样的。由 0t得 0001()sinco()rEt tkrkEree将上式对时
8、间 t 积分，得 0sinco()tkrHe（1）将式（1）代入 0tE得 0211(sin)(sin)si sirtrHrHr Eee200201corkkEt tk 将上式对时间 t 积分，得 20 0201sin()sinco()rkEkEtrtkrr ee（2）将已知的 sico()tkrr与式（2）比较，可得含1r项的 Er 分量应略去，且20k，即0将 0k代入式（1） ，得00sinco()iEtkrrtHeA6.10 试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质中用 E 和 B 表示麦克斯韦方程。解 注意到非均匀媒质的参数 ,是空间坐标的函数，因此21()BH而 ()tttDEJ
9、J因此，麦克斯韦第一方程 tH变为 1tEBJB又 ()D故麦克斯韦第四方程 变为1E则在非均匀媒质中，用 E 和 B 表示的麦克斯韦方程组为11tEBJBE6.11 写出在空气和 的理想磁介质之间分界面上的边界条件。解 空气和理想导体分界面的边界条件为 0snHJ根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式 smsE即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件 0msnJ式中，J ms 为表面磁流密度。6.12 提出推导 1sH的详细步骤。解 如题 6.12 图所示，设第 2 区为理想导体（ 2） 。在分界面上取闭合路径 ,0abcdlbcdah。对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得 20dlim(d)
10、babcChSStAlllHllDHlJ（1）因为 tD为有限值，故上式中 0lidhStD而(1)式中的另一项 0limhSJ为闭合路径所包围的传导电流。取 N 为闭合路径所围面积的单位矢量（其指向与闭合路径的绕行方向成右手螺旋关系） ，则有 0lidshSl因 ()lln故式（1）可表示为 12slHNJ（2）应用矢量运算公式 ()()ABC，式（2）变为a d b c n l h H2 H1 题 6.12图 12snHNJ故得 ()s（3）由于理想导体的电导率 2，故必有 220,E，故式（3）变为1snJ6.13 在由理想导电壁（ ）限定的区域 xa内存在一个由以下各式表示的电磁场：
11、00()siin()cos()yxzaEHkztxkkzta这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？解 如题 6.13 图所示，应用理想导体的边界条件可以得出在 x=0 处， ,0yxEHcos()zkzt在 x=a 处， ,yx0z t上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向分量 Ey 和磁场的法向分量 Hx。另外，在 x=0 的表面上，电流密度为 0 00|()|cos(sxxzxxzyHktJnee在 x=a 的表面上，电流密度则为 0|()|s(saxxzxaxzytee6.14 海水的电导率 4S/m，在频率 f=1GHz 时的相对介电常数 81r。如果把海
12、水视为一等效的电介质，写出 H 的微分方程。对于良导体，例如铜，71,5.0/r，比较在 f=1GHz 时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出，即使在微波频率下，良导体中的位移电流也是可以忽略的。写出 H 的微分方程。解 对于海水，H 的微分方程为 ()jjjJDEE即把海水视为等效介电常数为 c的电介质。代入给定的参数，得 9991042(8)3624.5).5jjjEEo a x 题 6.13图 对于铜，传导电流的幅度为 E，位移电流的幅度 E。故位移电流与传导电流的幅度之比为 9130712036.55.rff f可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的。故对于铜，H 的
13、微分方程为 7.1HE6.15 计算题 6.13 中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。解 瞬时能流密度矢量为 2022202()sin)cosin()cos()(1sin)cosin()(12yxzxyzyxxzxz HEHaktktaHkzxktakzSeeeee为求平均能流密度矢量，先将电磁场各个分量写成复数形式 200()sincos()jkzy jkzxjkzz xEHeaxea故平均能流密度矢量为 *2 202 2011Re*sin()cos1) ()sin()av xyzyxjxz zEHeaaxHkkSEe6.16 写出存在电荷 和 电 流 密 度 J 的无损耗媒质中 E 和 H 的波动方程。解 存在外加源 和 J 时，麦克斯韦方程组为 t（1）E（2）0H（3）（4）对式（1）两边取旋度，得
