1、=精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=-精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载- 1 南京航空航天大学 结构力学 课后习题答案 第 2 章第二章 薄板的弯曲 2-1 写出 2-1 图所示矩形薄板的边界条件。OA 为简支边，并作用有分布的弯矩 M。BC 边为固支边， OC 边为简支边。AB 边为自边。 解：OA 边：wx?0?0； Mx MyOC 边：wy?0?0；x?0?2w?2w?2w?D(2?u2)?D2?M ?x?yx?0?xx?0?0 y?0y?0?2w?2w?2w?D(2?u2)?D2?y?xy?0?y ?wBC 边：wx?a?0；
2、 ?0 ?xx?aAB 边：My?2w?2w?D(2?u2)?0 ?y?xy?b?Myx?x)y?by?b (Qy?3w?3w?D3?(2?u)2?0 ?y?x?yy?b 2-2 如图 2-2 所示，矩形薄板 OA 边和 OC 边为简支边，AB和 BC 为自边，在点 B 受向下的横向集中力 P。试证 w?mxy 可作为该薄板的解答，并确定常数 m、内力及边界处反力。=精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=-精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载- 2 解：w?mxy 满足平衡微分方程 ?4w?q/D?0 OC 边上：wy?0?2w?2w?0；
3、?D(2?u2)0 ?y?xy?0OA 边上：wx?0?2w?2w?0； ?D(2?u2)0 ?x?yx?0?2w?2w?3w?3w?0； ?D3?(2?u)2?0 AB 边上： ?D(2?u2)?y?xy?b?y?x?yy?b?2w?2w?3w?3wBC 边上：?D(2?u2)?0 ； ?D3?(2?u)?0 ?x?yx?a?x?x?y2x?a?2w)?2D(1?u)m?P 在 B 点上： ?2D(1?u)(?x?yx?a,y?b ?m?P 2D(1?u)所以 w?Pxy 2D(1?u)?2w?2w?2w?2wMx?D(2?u2)?0；My?D(2?u2)?0； ?y?x?x?yMxy?2w
4、PQx?D?2w?0； Qy?D?2w?0 ?D(1?u)? ； ?x?y?x?y2?2wRA?2D(1?u)()?P?RC； RO?P ?x?yA 2-3 如图 2-3 所示，半椭圆形薄板，直线边界为 ACB为 xx2y2 固支边，承受横向载荷q=q0。试证 w?mx(2?2?1)2 可作为解答，求出常数 aabm ，最大挠度和点的弯=精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=-精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载- 3 矩。 x4y4x2y2x2y2 解：w?mx(4?4?222?22?22?1) ababab?4wmx?120?x4a4?4
5、wmx ?24 ?y4b42?4w?x?y?48mx22a2b2 将式代入薄板的挠度方程 D?4w?q 即 D?4w?mD(120xa4?48xa2b2?24xb4) ?q?qx0aqxm?024D(5a21a4?a2b2?b4) ?q0a3a2a424D(5?2b2?b4) w?q0a3xx2y2(2?2?1)2 24D(5?2a2a4abb2?b4)求最大挠度： 根据对称性可知最大挠度必在 y?0 上，代入下式 ?w5x4?x?m(y4ab?6x2y2x2y24?4a2b2?6a2?2b2?1)?0?w32?y?mx(4yxyyb4?4a2b2?4b4)?0 则有 ?w?m(5x4x2?x
6、y?0a4?6a2?1)?0 ?w?yy?0?0 式可解出 a22x?,x?a2 52 即 x?5a 及 x?a 5显然在 x?5a 处使得 w 取最大值为 5wmax?m51(?1)2a55 25q0a4?a2a4375(5?22?4)Dbb 根据公式弯矩 ?2w?2wMx?D(2?2) ?x?y=精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=-精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载- 4 而 ?2w20x3xy2x?m(?12?12) 24222?xaaba?2w12xy24x34x?m(4?22?2) 2?ybabb ?Mx60x212y2121
7、2y212x24?D4?22?2?(4?22?2)m?0 ?xaabaaabb?Mxxyxy?D2422?24?4?0 ?yabb 及对称性，可知在 y?0,x?a(3?153?)(?)处 2222abab4124?20(Mx)x?Dm?(4?22)?3?(2?2)? abab?a?其中?a(3?153?)(?)。 a2b2a2b2而 Mx 在 C 点，即 x?a,y?0 处的值为 ?2012?(Mx)C?Dm?aa? ?q0a2?a2a43(5?22?4)bb2-4 有一矩形薄板，边长为 a 和 b。若其挠度函数为w=Cxy(a-x)(b-y)，求该薄板受什么样的载荷和边界的支持条件。 解：
8、?w?Cxy(a?x)(b?y)?Cabxy?Caxy2?Cbx2y?Cx2y2 ?w?Caby?Cay2?2Cbxy?2Cxy2； ?x?w?Cabx?2Caxy?Cbx2?2Cx2y； ?y?2w?2w2?2Cby?2Cy；2?2Cax?2Cx2； 2?x?y?4w?4w?4w?4C；4?0；4?0 =精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=-精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载- 5 22?x?x?x?y ?4w?q/D?2?4C?q/D?q?8CD x?0 时：wx?0?0； ?w?x?0 不是固支边，是简支边 x?0 (Mx)x?0?
9、2w?D2?2CD(y2?by)?Mx ?xx?0?w?x?0 不是固支边，是简支边 x?ax?a 时：wx?a?0 ； (Mx)x?a?2w?D2?2CDy(b?y)?Mx ?xx?a?w?y?0 不是固支边，是简支边 y?0y?0 时：wy?0?0；(My)y?0?2w?D2?y?w?y?2CDx(a?x)?My y?0y?b 时：wy?b?0； ?0 不是固支边，是简支边 y?b (My)y?b?2w?D2?y?2CDx(a?x)?My y?b2-5 四边简支正方形薄板，边长为a，在板中点受横向载荷 P，试求最大挠度。 解：具体求解过程参照教材P52?P55。针对边长为 a 的四边简支正
10、方形薄板在板中点受横向载荷 P。最大挠度为 =精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=-精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载- 6 wmax4P?42?Da?4Pa?4D2a4?222m?1n?1(m?n)?1?222m?1n?1(m?n) 精度取决于取多小项。 当取 m?n?1 时，最大挠度为 wmax?/D 2-6 四边简支矩形薄板，边长为 a 和 b，受横向分布载荷 q?q0sin 试证挠度函数 w?msin置。 解：挠度函数w?msin?xasin?yb， ?xasin?yb 是该板的解。并求最大挠度、最大弯矩及其位 ?xasin?yb
11、 满足四边简支的边界条件。即 ?2w 在 x?0,x?a 处，w?0,2?0 ?x?2w 在 y?0,y?a 处，w?0,2?0 ?y 于 ?4w?4?x?y?msinsin?x4a4ab?4w?4?x?y?msinsin?y4b4ab?4w?4?x?y?msinsin2222?xyabab 所以 ?4w?( 1214?x?y?)?msinsin4224aabbab q0?x?y?sinsinDabq0121?)? a4a2b2b4D?m?4(q0a4 ?m?4222?(1?ab)D则挠度函数为 q0a4?x?y w?4sinsin?(1?a2b2)2Dab 在 x?a/2,y?b/2处，挠度
12、取得最大值 wmax 弯矩 =精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=-精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载- 7 q0a4 ?4?(1?a2b2)2D?2w?2w?2?2?x?yMx?D(2?2)?Dm2?2sinsin?x?yababMy?D(?w?w?x?y?)?Dm?sinsin2222?y?xbaab2222 在 x?a/2,y?b/2 处，弯矩取得最大值 (Mx)maxq0a2(1?a2b2)?2?(1?a2b2)2(My)maxq0a4(1?b2a2) ?22222?b(1?ab) 2-7 如图 2-7，四边简支矩形薄板上作用有三
13、角形分布载荷，即 p(x,y)?q0xa 试用双重三角级数方法求挠度函数。 解：薄板弯曲的基本微分方程为 D?4w?p (,xy)边界条件是 在 x?0 和 x?a 处，w?0,?2w?x2?0 在 y?0 和 y?b 处，w?0,?w?y?0 挠度用双重三角级数表示为 w?Amnsinm?1n?1?22 m?xn?y sinab 其中 m 和 n 是任意整数，Amn 为待定系数。显然,(3)式满足式所述的全部边界条件。 将式代入式，得 ?m2n2?m?xn?y4?D?2?2?Amnsinsindxdy?p(x,y) ababm?1n?1?2 为了=精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类
14、文档，欢迎阅读下载=-精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载- 8 求出系数 Amn，必须先将式右端的载荷展开成与左端同样的双重三角级数形式 p(x,y)?Cmnsinm?1n?1?m?xn?y sinabi?x，其中 i 为任意正整数。然 a 先求出系数 Cmn。将式的左右两端都乘以sin 后对 x 积分，积分限从 0 到 a，并注意 a?sin0(m?i)?0m?xi?x sindx?aa?a2(m?i)得到 i?xa?n?y p(x,y)sindx?Csin?in?a2n?1b0 再将上式两端都乘以 sin 从 0 到 b，得到 baaj?y，其中 j 也是任意正
15、整数。然后对 y 积分，积分限 b?p(x,y)sin00i?xj?yabsindxdy?Cij ab4 因为 i 和 j是任意整数，故可以改写为 m 和 n。所以从上式可得 Cmn4m?xn?y?p(x,y)sinsindxdy ab?ab00?2ab 将式代入式，得 ?m2n2?m?xn?y4?D?2?2?Amnsinsindxdyb?abm?1n?1?a ?m?xn?y?Cmnsinsinabm?1n?1?两个相同的级数要相等，必须使相应项的系数都相等，从而得 ab =精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=-精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢
16、阅读下载- 9 Amn?4?p(x,y)sin00m?xn?ysindxdyab222?4Dab?将 p(x,y)?q0xa 代入上式。 ?mn?2?2b?a m?xn?ym?xn?yp(x,y)sinsindxdy?qxasinsindxdy 0?abab0000?2bn?yb? ?sindy?1?cosn?n?bn?0?0babab(n 为奇数) ab?q0xasin00am?xn?ysindxdyabm?x2bdx?an?(n 为奇数) ?q0xasin0 (n 为奇数 )(n 为奇数)=2bq0?acosm?mn?2(?1)m?12abq0?mn?2(?1)m?18q0 将式代入式得到
17、系数 Amn?mn?22?ab?222 ?6Dmn?将式代入式得到挠度函数 8qw?06D?(?1)m?1m?xn?ysinsin ?22mnabm?1n?1,3,5mn(2?2)2ab?2-8 已知圆形薄板的挠度方程为 w?C(5?)a4?2(3?)a2r2?(1?)r4 式中 a 是板的半径， C 是常数。试确定该挠度方程对应于怎样的边界条件和什么样的载荷？并求出板的弯矩方程式。 解：因为挠度方程只是关于 r 的函数，=精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=-精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载- 10 故该圆形薄板的弯曲是轴对称弯曲。
18、(w)r?a?C(5?)a4?2(3?)a2a2?(1?)a4 ?C(5?)a4?(6?1?)a4?0( (1) dw)r?a?C?4(3?)a3?4(1?)a3 (2) dr?8Ca3d2w(2)r?a?C?4(3?)a2?12(1?)a2 (3) dr?8?Ca3(Mr)r?ad2w?dw?D2?drrdr?D8?Ca2?0?a8Ca2 (4) 式、式(wr)r?a?0,(Mr)r 的边界条件为简支边。 a?0 知道该挠度方程所对应的圆形薄板 轴对称圆形薄板弯曲的基本微分方程为 d21d2(2?)w?qDdrrdr?d4w2d3w1d2w1dw?4?22?3?qD ?3rdrrdrrdr?dr?C?64(1?)?qD?q?64CD(1?)圆板的弯矩表达式 d2w?dwMr?D(2?) drrdr?4CD(1?)(3?)(a2?r2)1dwd2wM?D(?2)rdrdr 22?4CD(1?)?(3?)a?(1?3?)r)?2-9 半径为 a 的圆形薄板，周边简支，在中心受
