1、第一章 单自由度系统- 1 -第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。1、 牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律 ,得到系统的运动微分方程；Fxm（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2） 利用动量距定理 J ,得到系统的运动微分方程；M（3）
2、 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。3、 拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）设系统的广义坐标为 ，写出系统对于坐标 的动能 T 和势能 U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式： L=T-U ；（2）由格朗日方程 =0，得到系统的运动微分方程；Ldt)(（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能 T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const
3、（2）将能量守恒定理 T+U=Const 对时间求导得零,即 ，进一步得到系0)(dtUT统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。方法一：衰减曲线法。求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值 、 。iA1i（2）由对数衰减率定义 ， 进一步推导有)ln(1iA，2结构动力学作业- 2 -因为 较小， 所以有 。2方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。（1）通过实验，绘出系统的幅频曲线， 如
4、下图：单自由度系统的幅频曲线（2）分析以上幅频曲线图，得到：；4/2/max2,1于是 ；221)(n进一步 ；22)(n最后 ；nn/121.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。方法一：幅频（相频）曲线法当单自由度系统在正弦激励 作用下其稳态响应为：tFsin0,)sin(tAx其中： ； (1)22220414stn xmA(2)/arct第一章 单自由度系统- 3 -从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1） ， （2）式求得阻尼比 。方法二：功率法：（1） 单自由度系统在 作用
5、下的振动过程中，在一个周期内，tFsin0弹性力作功为 、cW阻尼力做功为 、2Ad激振力做作功为 ；sin0Ff（2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零，即： + + ；cWdf于是 - sin0F02Ac进一步得： ；Ai（3） 当 时， ，n1s则 ，2maxst得 , 。max1.4 求图 1-35 中标出参数的系统的固有频率。 （a）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为 k1、简支梁刚度为 ； 等效刚度为 k;2348EIkl则有 ；1则固有频率为： ； mlkEImk3148（b）此系统相当于两个弹簧并联, 等效刚度为: ; 31lIk则固有频率为:
6、 1k3148mlEIk m2l 2l1k图 1-33（a）图 1-33（b）2l2l1km结构动力学作业- 4 -(c)系统的等效刚度1133EIIkkll则系统的固有频率为 31lIm（d）由动量距定理 得： 00IF（ ）= lklkl21212ml得： ，0m则 。k211.5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮 A 半径 R,重物 B 的重量为 P/2,弹簧刚度为 k. 解：以 为广义坐标，则 系统的动能为 2021IxmT）（轮 子重 物 222 4)(1 xgPRgPxg ）（ 2P系统的势能为： ；21UPxk重 物 弹 簧 拉格朗日函数为L=T-U ;1km 1k图 1-3
7、3（c） 2l2l1k1k图 1-33（d）m图 1-34AB0x第一章 单自由度系统- 5 -由拉格朗日方程 得0)(xLdtPxkg则，=0Pk所以：系统的固有频率为 Pkg1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度为 K 。解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。 221;TMxRxI平 动转 动；224312xT而势能；2KU系统机械能;CxMT2143由 得系统运动微分方程0UTtd；023Kx得系统的固有频率；Mn31.7 求图 1-36 所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮 A 的质量为 mA，半径为 rA，齿轮
8、B 的质量为 mB，半径为 rB,杆 AC 的扭转刚度为 KA, ,杆 BD 的扭转刚度为 KB,解：由齿轮转速之间的关系 得Brx图 1-35kRM结构动力学作业- 6 -角速度 ；ABr转角 ；系统的动能为： 221BABAJJT； 22241121 ABABArmrmrT系统的势能为：;22222 111 ABABABA rKKKU 系统的机械能为；CrrmUT ABAAB 22141由 得系统运动微分方程0td； 021 22 ABAABrKrm因此系统的固有频率为： ；BAABn mrrmK 22121.8 已知图所示振动系统中，匀质杆长为 ， 质量为 m，两弹簧刚度皆为 K，阻l尼
9、系数为 C，求当初始条件 时0（） 的稳态解； tFtfsin)(（） 的解； ttf解：利用动量矩定理建立系统运动微分方程； 222()lllJckftkD（ c）AB图 1-36C()ftc2ll k第一章 单自由度系统- 7 -而 ； 2221llllmlJrdr得 ；2236()lclklft化简得 (1)()ftml(1)求 的稳态解；tFtfsin)(将 代入方程（1）得 ttfi（2）36sinckFtml令 得 236;nckFhml（3）thnsin22设方程（3）的稳态解为 （4）)si(tAx将（4）式代入方程（3）可以求得：；2 22 2649nhFAlkmc；2236
10、narctgarctg(2)求 的解；)(tf将 代入方程（1）得 tf（5）36()cktml令 得 236;nckhml（6）)(22thn方程（6）成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励 的响应。由方程（6）可以得到t初始加速度结构动力学作业- 8 -；)(0th然后积分求初始速度；htdthtd 000 )()(再积分求初位移；0)0tdht这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 、 和 的瞬态响应00；tAexdtnsi将其代入方程（6）可以求得： ;0dmh最后得 tehtAex dtnddtn sisi1.9 图所示盒内有一弹簧振子，其质量为 m，阻尼为 C，刚度为 K，处于静止
11、状态，方盒距地面高度为 H，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。解：因为在自由落体过程中弹簧无变形，所以振子与盒子之间无相对位移。在粘地瞬间，由机械能守恒定理 的振子的初速度 ；201mVggHV20底版与地面粘住后，弹簧振子的振动是对于初速度的主动隔振gHV20系统的运动微分方程为： ； 0KxCm或 ;x或 ;02xn系统的运动方程是对于初始条件的响应： ；tAexdtnsi；ddngHx20202；0xarctgn k/2c mk/2 H图 1-38第一章 单自由度系统- 9 -;sin2tgHxdd1.10 汽车以速度 V 在水平路面行使。其单自由度模型如图。设 m
12、、k、c 已知。路面波动情况可以用正弦函数 y=hsin(at)表示。求：（1）建立汽车上下振动的数学模型；（2）汽车振动的稳态解。解：（1）建立汽车上下振动的数学模型；由题意可以列出其运动方程：)()(11ycykm其中： 表示路面波动情况； 1表示汽车上下波动位移。 y将其整理为：(1) 1yckyc将 代入得)sin(athy)sin()co(atkhtakycm(2)汽车振动的稳态解: 设稳态响应为： )sin(atAy代入系统运动微分方程（1）可解得：；hcmk22)(；)(tan223cr1.11.若电磁激振力可写为 ，求将其作用在参数为 m、 k、 c 的弹簧振子tHtF02si
13、)(上的稳态响应。解：首先将此激振力按照傅里叶级数展开： 10 )sin()cos(2)(ii tbtat 其中： ； dtitFTai0cos2Ti dtitF02因为 是偶函数，所以 。)(n)(Ht ib于是 )2cos()(0tHtk/2ck/2y(t)ymy图 1-39结构动力学作业- 10 -而 ；)2/2sin()(0atAkHtx式中 ；202016)4(nmn；20arctnmk2,1.12.若流体的阻尼力可写为 ,求其等效粘性阻尼。3xbFd解：（1）流体的阻尼力为；3d（2）设位移为 ，)cos(tAx而 ；d（3）流体的阻尼力的元功为；)(3txbFdW（4）流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为： 3443cos()dxbtAtadt?（5）粘性阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为： 2cA（6）等效粘性阻尼：取 ， 令n43Abn2eqn可得： 2cneq
