1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲练通专题三 数列的通项与求和数列的通项【背一背基础知识】1.数列的通项公式：若数列 na的第 n 项 与项数 n 之间的关系可 以用一个式子表示出来，记作()naf，称作该数列的通项公式.2等差数列的通项公式： 1()nd()mad3等比数列的通项公式： naq【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：（1）等差数列的判定：定义法；等差中项法；通项公式法；前 n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法（2）等比数列的判定：定义法；等比中项法；通项公式法；前 n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法（3）数列通项公式求法：观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项
2、公式问题 ，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数 n的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，归纳出 na的通项公式，再用数学归纳法证明.累加法：对于可转化为 )(1nfan形式数列的通项公式问题，化为 1()naf，通过累加得n= 1221()()naa = (1)(2)fnff ，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数累积法：对于可转化为 1()naf形式数列的通项公式问题，化为 1()naf，通过累积得 na=1212na= 1()(2)()fff ，求出
3、数列的通项公式，注意相乘等式的个数构造法：对于化为 1()nnapf（其中 p是常数）型，常用待定系数法将其化为1()naAfA，由等比数列定义知 ()naAf是 公比为 p的等比数列，由等比数列的通项公式先求出 ()nf通项公式，再求出 的通项公式.利用前 项和 S与第 项 na关系求通项对递推公式为 n与 的关系式( 或 ()nSfa)，利用 )2(11nSnn 进行求解.注意 na=1nS成立的条件是 2，求 n时不要漏掉 =1 即 = 的情况，当 a= 1适合 n= 1S时，a= n；当 1a= 不适合 = 1时，用分段函数表 示.2.典型例题例 1【2018 届广东省六校（广州二中，
4、深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）高三下学期第三次联考】设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，满足 .()求 的值；学_科网()求数列 的通项公式.【答案】() ， ， ；() .【解析】（） ， ， ； ， ； ， （） ， ，-得， ，又 也满足上式， ， ， -得 ， 又 ，数列 是首项为 3，公比为 的等比数列 ， 例 2【2018 年新课标 I 卷文】已知数列 满足 ， ，设 （1）求 ；（2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；（3）求 的通项公式【答案】(1) b 1=1，b 2=2，b 3=4(2) bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列理由见解析.
5、(3) a n=n2n-1【解析】例 3【2018 年浙江卷】已知等比数列a n的公比 q1，且 a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5 的等差中项 数列bn满足 b1=1，数列（b n+1bn）a n的前 n 项和为 2n2+n（）求 q 的值；（）求数列b n的通项公式 【答案】 （） （）【解析】分析:（）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比， （）先根据数列前 n 项和求通项，解得 ，再通过叠加法以及错位相减法求 .详解：（）由 是 的等差中项得 ，所以 ，解得 .由 得 ，因为 ，所以 .（）设 ，数列 前 n 项和为 .由 解得 .由（）可知 ，所以
6、，故 ，.设 ，所以 ，因此 ，又 ，所以 .数列的求和【背一背基础知识】1. 数列 na的前 项和为 12nnSa 2等差数列 的前 和公式： 11()()2nad3等比差数列 na的前 和公式：11,()nn nqqSa，【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：( 1)分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并(2)错位相减法这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a nbn的前 n 项和，其中a n，bn分别是等差数列和等比数列(3)倒序相加法这是在推导等差数列前 n
7、 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序) ，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和这种方法，适用于求通项为 的数列的前 n 项和，其中a n若为等差数列，则 .1anan 1 1anan 1 1d(1an 1an 1)常见的拆项公式： ；1nn 11n 1n 1 ( )；1nn k1k1n 1n k ( )；来源:学科网12n 12n 112 12n 1 12n 1 ( )1n n k 1k n k n2.典型例题例 1.
8、【2018 年理数全国卷 II】记 为等差数列 的前 项和，已知 ， （1）求 的通项公式；学_科网（2）求 ，并求 的最小值【答案】 （1）a n=2n9， （2）S n=n28 n，最小值为16【解析】（1）设a n的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15由 a1=7 得 d=2所以a n的通项公式为 an=2n9（2）由（1）得 Sn=n28n=（n4） 21 6所以当 n=4 时，S n 取得最小值，最小值为16例 2.【2018 年全国卷文】等比数列 中， （1）求 的通项公式；（2）记 为 的前 项和若 ，求 【答案】 （1） 或 （2）【解析】（1）设 的公比为 ，由题设得 由
9、已知得 ，解得 （舍去） ， 或 故 或 （2）若 ，则 由 得 ，此方程没有正整数解若 ，则 由 得 ，解得 综上， 例 3.【2017 课标 3，文 17】设数列 na满足 123(1)2naa .来源:学科网 ZXXK（1）求 na的通项公 式；（2）求数列 21 的前 n项和.【答案】 （1） an；（2） 1【解析】（2）由（1） 12)12(12nnna， 121)2()53(531 nnSn .【练一练能力提升】解答题（12*10=120 分）1.【2018 年天津卷文】设a n是等差数列，其前 n 项和为 Sn（nN*）；bn是等比数列，公比大于 0，其前 n项和为 Tn（nN
10、*） 已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6（）求 Sn 和 Tn；（）若 Sn+（T 1+T2+Tn）=a n+4bn，求正整数 n 的值【答案】() ， ；()4.【解析】（I）设等比数列 的公比为 q，由 b1=1，b 3=b2+2，可得 因为 ，可得 ，故所以， 设等差数列 的公差为 由 ，可得 由，可得 从而 ，故 ，所以， （II）由（I） ，有由 可得 ，整理得 解得（舍） ，或 所以 n 的值为 42 【2018 年文北京卷】设 是等差数列，且 .（）求 的通项公式；（）求 .【答案】 （I） （II）【解析】（I）设等差数列 的公差为 ， ， ，
11、又 ， . .（II）由（I）知 ， ， 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列. . 3.【 2018 届安徽省池州市高三上学期期末】已知数列 na满足： 1， *12nanN.（）求证：数列 1na是等比数列；（）求数列 的前 项和 nS.【答案】 （1）见解析；（2）2.n.【解析】（）由已知 12421nnaa，又 1，所以数列 n是首项为 公比为 2的等比数列，（）由（）知： 12， 1n， 12 nnnSa 22nn4. 【 2017 课标 II，文 17】已知等差数列 na的前 项和为 nS，等比数列 nb的前 项和为 nT，12,aba(1)若 35 ，求 nb的通项公式；（2
12、）若 T，求 3S.【答案】 （） ；（）当 时， .当 时， .【解析】 （2）由 得 .解得当 时，由得 ，则 .当 时，由得 ，则 .5.【2017 山东，文 19】 （本小题满分 12 分）已知a n是各项均为正数的等比数列 ,且 121236,aa. (I)求数列 an通项公式；(II) bn为各项非零的等差数列 ,其前 n 项和 Sn,已知 211nnb,求数列 nba的前 n 项和 T.【答案】(I ) 2na；(II) 25nnT【解析】(I)设数列 n的公比为 q，由题意知, 2211()6,aqaq.又 0na，解得 1,2，所以 n.1231.572nnnTcc,又 2351n n ,两式相减得 21112nnnT所以 25nn.6. 【2017 北京，文 15】已知等差数列 na和等比数列 nb满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5（）求 na的通项公式；（）求和： 13521nbb 【答案】（） na ；（） 3.来源:学#科#网 Z#X#X#K【解析】7. 【2018 届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三 第一次模拟】已知正项
