1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲练通专题五 三角函数与三角恒等变换同角三角函数的基本关系诱导公式【背一背基础知识】1.同角三角函数的基本关系式： 22sincos1, sintaco. 2. 诱导公式记忆方法：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限” ，要把角化成形式为 90k（k为常整数） ；奇变偶不变是指：当 k为偶数时，三角函数名称不变，即前面若是正弦，后面也是正弦，名称不变，当为奇数时，三角函数名称变，即前面若是正弦，后面也是余弦，名称变；符号看象限是指：把 看成锐角时，为第几象限角，由原三角函数在各象限符号决定正负号，具体一二象限正弦为正，一四象限余弦为正，一三象限正切为正，其
2、它为负学-科网【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：（1）同角三角函数的基本关系式包括:(1)平方关系,(2)商数关系. 解题时常用的变形措施有：大角化小，切割 化弦等，应用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的 cos，得到一个只含 tan的教简单的三角函数式。需注意的是:这是一组同角关系式,利用平方关系式进行开方运算时,需注意运算结果的正负符号,计算中应尽可能少用平方关系式.（2） “ sincox、 sincox”的应用i与 通过平方关系联系到一起，即 2(sinco)1sincoxx，2(sic)1snco,xx 21(i)sinco.x即 2it（根据 判断正负） ；因此在解题
3、中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.（3）应用同角关系式的技巧:“1“的代换:1sin 2 cos 2 cos 2 (1tan 2 )tan .4整体代换:为了计算或化简需要可将计弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”的表达式，进行求值. 如 sin,co的二次齐次式（如 2 2sinicosab）的问题常采用“ 1”代换法求解；的齐次分式（如 icd）的问题常采用分式的基本性质进行变形 (4)温馨提示：利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“ ”号.常用结论： sincoscos44xx； cossin4xx常
4、见的互余关系有： 3与 6； 3与 6； 与 等.常见的互补关系有： 与 2; 4与 等.2.典型例题：例 1【2017 课标 3，文 6】函数 1()sin()cos()536fxx的最大值为（ ）A 65 B1 C 5 D 15 例 2 若 sin3，且 为第四象限角，则 ta的值等于（ ）A 1 B 2 C 51 D 2 三角恒等变换【背一背基础知识】1.两角和与差的三角函数: sincosin)si(；ico)cos(； tatta()1.2.二倍角公式: sin2si； 2222 sin1cossinco；tatan21.3.降幂公式: 2sin1cosin； 2cos1i2； 2c
5、os12.4.常用结论： tan tan )tan)(ta；cos 2 ，sin 2 ；1 cos 22 1 cos 221sin 2 (sin cos )2,1sin 2 (sin cos )2，4sin(cosin.拆角、拼角技巧：2 ( )( )； ； )2()(.来源:学科网 ZXXK 2 2 25.辅助角公式: 2sincossinaxbabx， 22sincosbaab其 中 ， .其中 可由 a， b 的值唯一确定学_科网【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：（1）利用公式化简三角函数的原则和要求原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三 角函数名称转
6、化，以保证三角函数 名称最少.要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.（2）证明三角恒等式的主要思路由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子.转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.2.典型例题：例 1.【2018 年全国卷文】函数 的最小正周期为A. B. C. D. 例 2.【2017 课标 1，文 15】已知(0)2a，tan =2 ，则cos()4=_三角函数的图象与变换【背一背基础知识】1.正弦函数 sinyx，余弦函数 cosyx，正切函数 tanyx的图象与性质性质
7、stanyx图象定义域 RR,2xk值域 1,1,R最值当2xk时，max1y；当 2k时， min1y当 xk时，ma1y；当 2k时， min1y既无最大值，也无最小值周期性 2奇偶性 sin()si,x奇函数 cos(),x偶函数 tan()ta,x奇函数单调性在2,2k上是 增函数；在 32,2k上是减函数在 ,2kk上是增函数；在 k上是减函数在,2k上是增函数对称性对称中心 ,0k对称轴 2x，对称中心,02kk对称轴 x，既是中对称中心,02k无对称轴，是中心对称但不既是中心对称又是轴对称图形.心对称又是轴对称图形. 是轴对称图形.2函数 ()sin()fxAx的问题：(1)“五
8、点法”画图：分别令 30,2，求出五个特殊点；() 由 siyx的图象变换出 ()sin()fxAx的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活 进行图象变换。i.函数图像的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数 yfx向左平移 0个单位，得到函数 yfx的图像;把函数 向右平移 个单位，得到函数 的图像;+网】把函数 yfx向上平移 个单位，得到函数 yfx的图像;把函数 向下平移 0个单位，得到函数 的图像.伸缩变换:把函数 yfx图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 1，得到函数 01yfx的图像;把函数 图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的
9、图像;把函数 yfx图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 A，得到函数 yAfx的图像;把函数 图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的 ，得到函数 01的图像.ii.由 sinyx的图象变换出 sinyx0的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 sinyx的图象向左 0或向右 0平移 个单位，再将图象上各点的再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
10、1倍( )，便得sinyx的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将 sinyx的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1倍( 0)，再沿 x轴向左( 0)或向右( 0)平移 |个单位，便得 sinyx的图象。注意：函数 sin) y的图象，可以看作把曲线 sinyx上所有点向左(当 0时)或向右(当0时)平行移动 个单位长度而得到。【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“ 角变化”多
11、少。研究类似于 ()sin()fxA的性质时，一般是通过整体代换的方法，将其化归成 sin的形式这样就可通过 y的性质来研究 (sin()fAx的性质对于 ()co()fxAx和()ta()f用同样的方法来处理，在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点：一要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；三是由 ()sifx的图象得到 ()sin()fxx)的图象时，需平移的单位数应为 而不是 .2.典型例题：例 1 【2018 年天津卷文】将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间 上单调
12、递增 B. 在区间 上单调递减C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减例 2已知函数 ()sin(0,)fxA的最小正周期为 2，且 1()6f，则函数 ()yfx的图象向左平移 13个单位所得图象的解析式为（ ）（A） si()yx （B） 1si()23yx （C) sin()3yx (D) 1sin()23yx求三角函数的解析式【背一背基础知识】由 sinyAx的图象求其函数式：已知函数 的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0作为突破口，可以从图象的升降找准第一
13、个零点的位置【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：由 ()sin()fxAxb的图象求其函数式，确定 ()sin()fxAxb的解析式的步骤：来源:学|科|网(1)求 ,Ab确定函数的最大值 M和最小值 m，则 _,2MmAb.(2)求 ，确定函数的周期 T，则 2.(3)求 ，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入 (此时 ,Ab已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上) 五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点 ,0作为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点) 为0x；“第二点”(即图象的 “峰点”) 为 2x；“第三点
14、”(即图象下降时与 x 轴的交点)为；“第四点”(即图象的 “谷点”) 为 3；“第五点”为 2.2.利用图象变换求解析式：来源:Zxxk.Com由 sinyx的图象向左 0或向右 0平移 个单位， ，得到函数 sinyx，将图象上各点的横坐标变为原来的 1倍( )，便得 sinyx，将图象上各点的纵坐标变为原来的 A倍(0A)，便得 sinyAx.有关变换法需注意两点:周期 变换、相位变换、振幅变换可按任意次序进行;在不同的变换次序下平移变换的量可能不同.2.典型例题：例 1【2016 高考新课标 2 文数】函数 =sin()yAx的部分图像如图所示，则（ ）（A） 2sin()6yx （B
15、） 2si()3（C） i+ （D） in+yx例 2【2017 天津，文 7】设函数 ()2sin(),fxxR，其中 0,|.若51()2,()0,8ff且 的最小正周期大于 ，则（A） 3（B ） 1,32（C） 1,324（D） 17,324三角函数的性质【背一背基础知识】经过恒等变形化成“ sin()yAx， cos()yAx， tan()yAx”的形式，利用xysin， co， ta的单调性、奇偶性、对称性和周期性来解1. 三角函数的单调区间： xysin的递增区间是 22k， )(Z，递减区间是232k， )(Z；xycos的递增区间是 k2，)(Z，递减区间是 k2， )(Z，
16、tan的递增区间是 ， 2. 对称轴 与对称中心： sinyx的对称轴为 2xk，对称中心为 (,0) kZ；cosyx的对称轴为 k，对称中心为 (,0)；tan无对称轴，对称中心为 (,0) 2kZ.3. 求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“ sin()yAx、 cos()yAx”的形式，在利用周期公式 2T，另外还有图像法和定义法.【讲一讲释疑解惑】1.必备技能： (1)在求三角函数的最值时，要注意自变量 x 的范围对最值的影响，往往结合图象求解(2)求函数 sin()yAx的单调区间时，要特别注意 ,A的正负,只有当 0时，才可整体代入并求其解，当 0时，需把 的符号化为正值
17、后求解学科+网2.典型例题：例 1.【2018 年新课标 I 卷文】已知函数 ，则来源:学科网 ZXXKA. 的最小正周期为 ，最大值为 3 B. 的最小正周期为 ，最大值为 4C. 的最小正周期为 ，最大值为 3 D. 的最小正周期为 ，最大值为 4例 2.【2018 年全国卷理】函数 在 的零点个数为_正弦定理、余弦定理【背一背基础知识】1.正、余弦定理在ABC 中，若角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理 正弦定理 余弦定理内容 2Rasin A bsin B csin C a2b 2c 2-2bccosA；b2c 2a 2-2cacosB；c2a
18、 2b 2-2abcosC常见变形(1)a2Rsin A， b2RsinB，c2Rsin C；(2)sin A ，sin B ，sin C ；来源:学,科,网a2R b2R c2R(3)abcsinAsinBsinC ；(4)asin Bbsin A，bsin Cc sin B，asin C csin Acos A ； 来源:学#科#网b2 c2 a22bccos B ；c2 a2 b22accos Ca2 b2 c22ab2.SABC absin C bcsin A acsin B (abc) r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.12 12 12 abc4R 12【讲一讲释
19、疑解惑】1.必备技能：（1）利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化，解题过程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数，注意应用 A+B+C=（2）正弦定理、余 弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题2.典型例题：例 1.【2017 课标 1，文 11】ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c已知sin(sico)0BAC，a=2，c= 2，则 C=A12B6C4D3例 2【2018 年全国卷文】 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则A. B. C. D. 【练一练能力提升】（一）选择题（12*5=60 分）1.【2018 年全国卷文】若 ，则A. B. C. D. 2.【2018 届云南民族大学附属中学高三上学期期末】要得到函数 2sinyx的 图象，只需将函数2cos4yx的图象上所有的点A. 再向左平行移动 个单位长度 B. 再向右平行移动 8个单位长度C. 再向右平行移动 4个单位长度 D. 再向左 平行移动 个单位长度3.已知函数 sin(0,)2fxAx的部分图象如图所示，则将 yfx的图象向左平移 3个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )
