1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲练通专题四 导数的运算与几何意义导数的计算【背一背基础知识】1. 基本初等函数的导数公式原函数 导函数f(x)c (c 为常数) f(x)0f(x)x n(nQ *) f(x)nx n1f(x)sin x f(x)cosxf(x)cos x f(x)sin xf(x)a x f(x)a xlnaf(x)e x f(x)e xf(x)log axf(x)1xln af(x)ln xf(x)1x2导数的运算法则（1） f(x)g(x)f(x) g(x)；（2） f(x)g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)；（3） 2()()()f(g(x)0)【讲一讲释疑
2、解惑】1.导数运算时，要注意以下几点：尽可能的把原函数化为幂函数和的形式；遇到三角函数求导时，往往要对原函数进行化简，从而可以减少运算量；求复合函数的导数时，要合理地选择中间变量.2.典型例题例 1【2018 年天津卷文】已知函数 f(x)=exlnx， 为 f(x)的导函数，则 的值为_ 【答案】e例 2【2018 届山西省运城市夏县中学高三上学期第一次月考】函数 sinxy的导数为_【答案】 2cosinxy【解析】 22cos,xsiinxi inxy，故答案为 2cosxiny.导数的几何意义【背一背基础知识】函数 yf(x) 在 xx 0 处的导数几何意义：函数 在点 处的导数 0(
3、)fx就是曲线 ()yfx在点 0,()fx处的切线和斜率，即 0()kfx.相应地，切线方程为 yf( x0)f (x0)(xx 0)【讲一讲基本技能】1.必备技能：1.求函数 ()fx图象上点 0(,)Pxf处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率 k，由导数的几何意义知 0k，故当 存在时，切线方程为 00()()yfxfx.2.要深入体会切线定义中的运动变化思想：两个不同的公共点两公共点无限接近两 公共点重合(切点)； 割线切线.3.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数 ()yfx在 0处的导数表示曲线在点 0(,)Pxf处切线的斜率，因此，曲线 ()yfx在点 0(,P处的切线方
4、程，可按如下方式求得：第一，求出函数 ()yfx在 0处的导数，即曲线 ()yfx在点 0(,)Pfx处切线的斜率；第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程 0；如果曲线()yfx在点 0(,)Pfx处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在) 时，由切线的定义可知，切线的方程为0.2.典型例题例 1.【2018 年新课标 I 卷文】设函数 若 为奇函数，则曲线 在点处的切线方程为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得 ，进而得到 的解析式，再对 求导得出切线的斜率 ，进而求得切线方程.详解：因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ，所以 ， ，所以 ，
5、所以曲线 在点 处的切线方程为 ， 化简可得 ，故选D.例 2【2017 天津，文 10】已知 aR，设函数 ()lnfxa的图象在点（1， (1)f）处的切线为 l，则 l在 y 轴上的截距为 .【答案】 1 【解析】应用导数研究函数的单调性、极值、最值【背一背基础知识】1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；如果 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求 f(x)；学-科网求方程 f(x)0 的根；检查 f(x)在方程 f(x)0 的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么 f(x)在
6、这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求 f(x)在(a，b)内的极值；将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：(
7、1)导数法证明函数 ()fx在 ,ab内的单调性的步骤求 ()fx；确认 在 ,)ab内的符号；作出结论： (0f时为增函数； ()0fx时为减函数（2）求函数的单调区间方法一：确定函数 ()yf的定义域；求导数 ()yfx；来源:学科网 ZXXK解不等式 0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式 ()f，解集在定义域内的部分为单调递减区间（3）求函数的单调区间方法二：确定函数 ()yfx的定义域；求导数 ()yfx，令 f(x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；把函数 的间断点(即 ()fx的无定义点) 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f
8、的定义区间分成若干个小区间；确定 ()fx在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性2.典型例题例 1.【2017 浙江，7】函数 y=f(x)的导函数 ()yfx的图像如图所示，则函数 y=f(x)的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于 0，因此选 D例 2.【2018 年江苏卷】若函数 在 内有且只有一个零点，则 在上的最大值与最小值的和为_【答案】3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在 上有且仅有一个零点的条件，求出参数 a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由 得 ，因为函数 在 上有且仅有一个零点且 ，所以，因此
9、从而函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ， 例 3.【2016 年高考北京理数】设函数 ()axfeb，曲线 ()yfx在点 2,()f处的切线方程为(1)4yex，（1）求 a， b的值；（2）求 ()f的单调区间.【答案】 （） 2， e；（2） )(xf的单调递增区间为 (,).【解析】 （1）因为 bxfa)(，所以 bexa)1(.依题设， ,1)2(ef即 ,22ea解得 eba,2； （2）由（）知 exxf2)(.由 )1()(1xxf 即 02e知， 与 1x同号. 来源:学_科_网 Z_X_X_K令 eg，则 1(xg.所以，当 ),(x时， )， )(在区间 ),
10、(上单调递减；当 ,1时， 0， x在区间 ,1上单调递增.故 )(g是 )(x在区间 ),(上的最小值，从而 ,0.综上可知， )(xf， ),(，故 )(xf的单调递增区间为 ),(.【练一练能力提升】（一）选择题（12*5=60 分）1.【2016 高考四川文科】已知 a函数 3()12fx的极小值点，则 a=( )(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2【答案】D【解析】 2312fxx，令 0fx得 2或 x，易得 fx在 2,上单调递减，在 ,上单调递增，故 f极小值为 ，由已知得 a，故选 D.2.若 2()()lnfxbx在(1，)上是减函数，则 b 的取值范围是( )A1
11、，) B(1，)C(，1 D( ，1)【答案】C3.函数 的图象如下图所示，则导函数 的图象的大致形状是（ ）)(xfy )(xfy来源:学科网【答案】D4.已知函数 yfx的图象在点 1,f处的切线方程 210xy，则 21ff的值是（ ） A. 12 B. C. 32 D. 【答案】D【解析】由 10y得 ，因此有 1f， 12f， 12 2ff故选 D5.【2018 届安徽省蚌埠市高三上学期第一次教学质量检查】已知 ,Rkb，设直线 :lykxb是曲线xye的一条切线，则（ ）A. 1k且 b B. 1k且 bC. 且 D. 且【答案】C【解析】曲线 xye的导数为 1xye，得 k直线
12、 l： kb在 轴上的截距为 b，曲线 xye， 0时， y，可以知道 故选 C.6.函数 93)(23xaxf ，已知 )(xf在 3时取得极值，则 a=（ ）（A）2 （B） 3 （C ）4 （D）5【答案】D【解析】将函数求导， 2()3fxax，由函数在 x=-3 时取得极值，得 (3)0f ， a=57 【2018 届浙江省杭州市高三上学期期末】若直线 yx与曲线 xmye（ R， e为自然对数的底数）相切，则 m（ ）A. 1 B. 2 C. -1 D. -2【答案】C【解析】设切点坐标为 0xme， ， xmye， xmye，则切线方程为 000yxmxe，又因为切线为 y过 ，
13、 代入得 1，将 ， 代入 中得1m故选 C.8 【2018 届浙江省嘉兴市高三上学期期末】函数 3yx的图象与直线 2yax相切，则实数 a（ ）A. 1 B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】 23320000003,211,32yxaxxxxa 选 C.来源:学&科&网9 【2018 届陕西省高三教学质量 检测（一） 】设函数 3fb，则下列结论正确的是( )A. 函数 fx在 ,1上单调递增B. 函数 在 上单调递减C. 若 6b，则函数 fx的图像在点 2,f处的切线方程为 10yD. 若 0，则函数 的图像与直线 10y只有一个公共点【答案】C【解析】对于选项 A,B，由条
14、件得 2312fxx ，故 fx在区间 ,2和2,上 单 调 递 增，在 2,上单调递减，故 A,B 都不正确对于选项 C，可得 330,1610f f ，故所求的切线方程为10y，即 10y，所 以 C 正确对于选项 D，当 b时，由 312fx可得 32x令 3210gx，则232gx ，故函数 g在区间 ,和 ,上 单 调 递 增 ，在,上单调递减，所以当 时， x有极大值，且极大值为 26；当 时， x有极小值，且极小 值为 60g，因此函数 x的图象与 x 轴有三个交点，从而函数f的图像与直线 10y有三个交点故 D 不正确综上选 C10.如图，是函数 的导函数 的图象，则下面判断正
15、确的是（ ）)(xf)(xfA在区间（2，1）上 是增函数)(xfB在区间（1，3）上 是减函数C在区间（4，5）上 是增函数)(xfD当 时， 取极大值x【答案】C11.【2018 届重庆市九校联盟高三上学期第一次联考】设定义在 0,上的函数 fx的导函数 fx满足 1xf，则（ ）A. 2ln2f B. 1ln2ffC. f D. 【答案】A【解析】由 0x， 1lnfxfx ，故 21ln2lff，即 21ff ln2，故选：A12.【2018 届山东省德州市高三上学期期中】函数 cosxfe的图像在 0x处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A. 2 B. 4 C. 12 D. 3【答案】A【解析】 cosxfe， sinxf， 01f.又 02.函数 yfx在 处的切线方程为 2yx，即 .令 x=0，得 y=2；令 y=0，得 x=-2.切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 12S.选 A.二、填空题（4*5=20 分）13.【2018 届安徽省黄山市高三一模】已知 30fxxf,则 1f_.【答案】1【解析】由题意可得 ： 230fxf，令 0x可得： 20,f，
