1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲练通专 题五 三角函数与三角恒等变换同角三角函数的基本关系诱导公式【背一背基础知识】1.同角三角函数的基本关系式： 22sincos1, sintaco. 2. 诱导公式记忆方法：可用十个字概括为 “奇变偶不变，符号看象限” ，要把角化成形式为 90k（k为常整数） ；奇变偶不变是指：当 k为偶数时，三角函数名称不变，即前面若是正弦，后面也是正弦，名称不变，当为奇数时，三角函数名称变， 即前面若是正弦，后面也是余弦，名称变；符号看象限是指：把 看成锐角时，为第几象限角，由原三角函数在各象限符号决定正负号，具体一二象限正弦为正，一四象限余弦为正，一三象限正切为
2、正，其它为负【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：（1）同角三角函数的基本关系式包括:(1)平方关系,(2)商数关系. 解题时常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等，应用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的 cos，得到一个只含 tan的教简单的三角函数式.需注意的是:这是一组同角关系式,利用平方关系式进行开方运算时,需注意运算结果的正负符号,计算中应尽可能少用平 方关系式.学-科网（2） “ sincox、 sincox”的应用i与 通过平方关系联系到一起，即 2(sinco)1sincoxx，2(sic)1snco,xx 21(i)sinco.x即 2it（根据 判断正负） ；因此
3、在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.（3）应用同角关系式的技巧:“1“的代换:1sin 2 cos 2 cos 2 (1tan 2 )tan .4整体代换:为了计算或化简需要可将计弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”的表达式，进行求值. 如 sin,co的二次齐次式（如 2 2sinicosab）的问题常采用“ 1”代换法求解；的齐次分式（如 icd）的问题常采用分式的基本性质进行变形 (4)温馨提示：利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“ ”号.常用结论： sincoscos44xx； cossin4
4、xx常见的互余关系有： 3与 6； 3与 6； 与 等.常见的互补关系有： 与 2; 4与 等.来源:学科网 ZXXK2.典型例题：例 1【2017 课标 3，文 6】函数 1()sin()cos()536fxx的最大值为（ ）A 65 B1 C 5 D 15 【答案】A例 2 若 5sin13，且 为第四象限角，则 tan的值等于（ ）A B 2 C D 512 【答案】D【解析】由 5sin13，且 为第四象限角，则 21cosin3，则 sintaco512，故选 D三角恒等变换【背 一背基础知识】1.两角和与差的三角函数: sincosin)si(；ico)cos(； tatta()1
5、.2.二倍角公式: sin2si； 2222 sin1cossinco；tatan21.3.降幂公式: si21cosi； 2s1i2； 2sc2.4.常用结论： tan tan )tan)(tan；cos 2 ，si n2 ；1 cos 22 1 cos 221sin 2 (sin cos )2,1sin 2 (sin cos )2，4si(cosin.拆角、拼角技巧：2 ( )( )； ； )2()(. 2 2 25.辅助角公式: 2sincossinaxbabx， 22sincosbaab其 中 ， .其中 可由 a， b 的值唯一确定【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：（1）利用公式化简三
6、角函数的原则和要求原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少.要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.（2）证明三角恒等式的主要思路由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子.转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.2.典型例题：例 1.【2018 年全国卷文】函数 的最小正周期为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析:将函数 进行化简即可详解：由已知得 ， 的最小正周期 ，故选 C.例 2.【2017
7、课标 1，文 15】已知(0)2a，tan =2 ，则cos()4=_【答案】 30【解析】三角函数的图象与变换【背一背基础知识】1.正弦函数 sinyx，余弦函数 cosyx，正切函数 tanyx的图象与性质性质 stanyx图象定义域 R来源:Zxxk.Com R,2xk值域 1,1,R最值当2xk时，max1y；当 2k时， min1y当 xk时，ma1y；当 2k时， min1y既无最大值，也无最小值来源:学+科+网 Z+X+X+K周期性 2奇偶性 sin()si,x奇函数 cos(),x偶函数 tan()ta,x奇函数单调性在2,2k上是增函数；在 32,2k上是减函数在 ,2kk上
8、是增函数；在 k上是减函数在,2k上是增函数对称性对称中心 ,0k对称轴 2x，既是中心对称又是轴对称图对称中心,02kk对称轴 x，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心,02k无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.形.2函数 ()sin()fxAx的问题：(1)“五点法”画图：分别令 30,2，求出五个特殊点；() 由 siyx的图象变换出 ()sin()fxAx的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活 进行图象变换.i.函数图像的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数 yfx向左平移 0个单位，得到函数 yfx的图像;把函数 向右平移 个单位，得到函数 的
9、图像;+网】把函数 yfx向上平移 个单位，得到函数 yfx的图像;把函数 向下平移 0个单位，得到函数 的图像.伸缩变换:把函数 yfx图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 1，得到函数 01yfx的图像;把函数 图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图像;把函数 yfx图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 A，得到函数 yAfx的图像;把函数 图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的 ，得到函数 01的图像.ii.由 sinyx的图象变换出 sinyx0的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常
10、出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 sinyx的图象向左 0或向右 0平移 个单位，再将图象上各点的再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1倍( )，便得sinyx的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将 sinyx的图象上各点的纵坐标不 变，横坐标变为原来的 1倍( 0)，再沿 x轴向左( 0)或向右( 0)平移 |个单位，便得 sinyx的图象.注意：函数 sin) y的图象，可以看作把曲线 sinyx上所有点向左(当 0时)或向右(当0时)平行移动
11、 个单位长度而得到.学-科网【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“ 角变化”多少.研究类似于 ()sin()fxA的性质时，一般是通过整体代换的方法，将其化归成 sin的形式这样就可通过 y的性质来研究 (sin()fAx的性质对于 ()co()fxAx和()ta()f用同样的方法来处理，在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点：一要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移
12、前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；三是由 ()sifx的图象得到 ()sin()fxx)的图象时，需平移的单位数应为 而不是 .2.典型例题：例 1 【2018 年天津卷文】将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减【答案】A【解析】由函数 图象平移变换的性质可知：将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为： .则函数的单调递增区间满足： ，即，令 可得函数的一个单调递增区间为 ，选项 A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足： ，即 ，令 可得函数
13、的一个单调递减区间为 ，选项 C，D 错误；本题选择 A 选项. 例 2已知函数 ()sin(0,)fxA的最小正周期为 2，且 1()6f，则函数 ()yfx的图象向左平移 13个单位所得图象的解析式为（ ）（A） 2sin()yx （B） 1sin()23yx （C) 12sin()3yx (D) 1sin()23yx【答案】A【解析】由最小正周期为 2，得 ，则 ，又 1()6f，所以 si6A， ，所以()2sinfx，向左平移 13个单位得到 2sin3yx.求三角函数的解析式【背一背基础知识】由 sinyAx的图象求其函数式：已知函数 的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最
14、高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：由 ()sin()fxAxb的图象求其函数式，确定 ()sin()fxAxb的解析式的步骤：(1)求 ,Ab确定函数的最大值 M和最小值 m，则 _,2MmAb.(2)求 ，确定函数的周期 T，则 2.(3)求 ，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入 (此时 ,Ab已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上) 五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点
15、 ,0作为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点) 为0x；“第二点”(即图象的 “峰点”) 为 2x；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为；“第四点”(即图象的 “谷点”) 为 3；“第五点”为 2.2.利用图象变换求解析式：由 sinyx的图象向左 0或向右 0平移 个单位， ，得到函数 sinyx，将图象上各点的横坐标变为原来的 1倍( )，便得 sinyx，将图象上各点的纵坐标变为原来的 A倍(0A)，便得 sinyAx.有关变换法需注意两点:周期变换、相位变换、振幅变换可按任意次序进行;在不同的变换次序下平移变换的量可能不同.2.典型例题：例 1【2016
16、高考新课标 2 文数】函数 =sin()yAx的部分图像如图所示，则（ ）（A） 2sin()6yx （B） 2si()3（C） i+ （D） in+yx【答案】A例 2【2017 天津，文 7】设函数 ()2sin(),fxxR，其中 0,|.若51()2,()0,8ff且 的最小正周期大于 ，则（A） 3（B） 1,32（C） 1,324（D） 17,324【答案】 【解析】三角函数的性质【背一背基础知识】经过恒等变形化成“ sin()yAx， cos()yAx， tan()yAx”的形式，利用xysin， co， ta的单调性、奇偶性、对称性和周期性来解1. 三角函数的单调区间： xys
17、in的递增区间是 22k， )(Z，递减区间是232k， )(Z；xycos的递增区间是 k2，)(Z，递减区间是 k2， )(Z，tan的递增区间是 ， 2. 对称轴与对称中心： sinyx的对称轴为 2xk，对称中心为 (,0) kZ；cosyx的对称轴为 k，对称中心为 (,0)；tan无对称轴，对称中心为 (,0) 2kZ.3. 求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“ sin()yAx、 cos()yAx”的形式，在利用周期公式 2T，另外还有图像法和定义法.学科-网【讲一讲释疑解惑】1.必备技能： (1)在求三角函数的最值时，要注意自变量 x 的范围对最值的影响，往往结合图象求解(2)求函数 sin()yAx的单调区间时，要特别注意 ,A的正负,只有当 0时，才可整体代入并求其解，当 0时，需把 的符号化为正值后求解
