1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲练通专题七 选讲部分极坐标与参数方程【背一背重点知识】1.平面直角坐标系中的伸缩变换 ：/,(0)xy2.极坐标系（1）极坐标系的概念：平面内取一个定点 O,叫做极点,自极点 引一条射线 Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度 )及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.设 M 是平面内一点,极点 O与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ;以极轴 为始边,射线 为终边的角x叫做点 M 的极角,记为 .有序数对 )(叫做点 M 的极坐标,记作 ),(.（2）直角坐标与极坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点,x
2、 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.设 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 )(yx,极坐标是 ),(,则极坐标与直角坐标的互化公式如表:（3） 常见曲线的极坐标方程：曲线 图形 极坐标方程点 M直角坐标 (,)xy极坐标 (,)互化公式cosiny22tan(0)xy圆心在极点,半径为 r的圆(02)r圆心为 (,0),半径为 r的圆cos()2r圆心为 (,)2,半径为 r的圆sin(0)r过极点,倾斜角为的直线(1) ()()RR或(2) 00和过点 (,0)a,与极轴垂直的直线cos()2a过点 (,)2a,与极轴平行的直线sin(0)a3、 参数方程（1）参数方
3、程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲 线上任意一点的坐标 ,xy都是某个变数 t的函数 ()xftyg,并且对于 t的每一个允许值,由方程组所确定的点 (,)M都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 ,xy的变数 t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.学-科网（2）参数方程和普通方程的互化：曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.在参数方程与普通方程的互化中,必须使 ,xy的取值范围保持一致.（3）常见曲线的参数方程：圆 2200()()xyr的参数方程为 sinc
4、o0ryx （ 为参数） ；椭圆 12ba的参数方程为 sincobyax （ 为参数） ；双曲线 2yx的参数方程 tae （ 为参数） ；抛物线 2p参数方程2xpyt(为参数） ；过定点 ),(0yxP、倾斜角为 的直线的参数方程 sinco0tyx（ t为参数）.【讲一讲释疑解惑】1. 必备技能：（1）极坐标方程与直角坐标方程的互化方法若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x轴正半轴重合，并在两种坐标系中取相同的长度单位，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化，极坐标方程化为直角坐标方程时通常通过构造 2,sin,co的形式，其中方程两边同乘以 或同时平方是常用的变形方法，要注意
5、变形的等价性.（2）参数方程与普通方程的互化方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数的参数方 程，常利用同角三角函数关系式消参如 sin2cos 21 等；将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解（3）利用参数方程解决问题的方法过定点 P0(x0，y 0)，倾斜角为 的直线参数方程的标准式为Error! (t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点 P0(x0，y 0)的数量，即 t| PP0|时为距离使用该式时直线上任意两点 P1、P 2 对应的参数分别为t1、t
6、2，则|P 1P2| t1t 2|，P 1P2 的中点对应的参数为 (t1 t2)12对于形如Error!( t 为参数)，当 a2b 21 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值范围等2.典型例题例 1.【2018 年新课标 I 卷文】在直角坐标系 中，曲线 的方程为 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）求 的直角坐标方程； （2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程【答案】 (1） （2）综上，所
7、求 的方程为 【解析】（1）由 ， 得 的直角坐标方程为经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公共点当 与 只有一个 公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 经 检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点 综上，所求 的方程为 例 2.【2018 年全国卷文】在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数） ，过点且倾斜角为 的直线 与 交于 两点（1）求 的取值范围；学科!网（2）求 中点 的轨迹的参数方程【答案】 （1）（2） 为参数， （2） 的参数方程为 为参数， 设 ， ， 对应的参数分别为 ， ， ，则，且 ， 满足
8、 于是 ， 又点 的坐标 满足 所以点 的轨迹的参数方程是 为参数， 不等式选讲【背一背基础知识】1 三个正数的算术几何平均不等式 ：(1)定理 3：如果 a，b，c R，那么 ，当且仅当 cba时，等号成立a b c3 3abc即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(2)基本不等式的推广：对于 n 个正数 a1，a 2，a n，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当 a1a2an 时，等号成立a1 a2 ann na1a2an2.柯西不等式 ：(1)二维形式：若 a，b，c，d 都是实数，则(a 2b 2)(c2d 2) (acbd) 2，当且仅当 bcad 时，等号成立
9、(2)向量形式：设 、 是两个向量，则| ，当且仅当 是向量或存在实数 k 使 k 时等号成立来源:Z*xx*k.Com(3)一般形式：设 a1，a 2，a 3，a n，b 1，b 2，b 3，b n 是实数，则( a a a )(b b b )21 2 2n 21 2 2n(a1b1 a2b2a nbn)2，当且仅当 i0 ( i1,2，n )或存在一个实数 k，使得 ii (i1,2，n)时，等号成立学 -科=网来源:学.科.网 Z.X.X.K(4)二维形式的柯西不等式变式： |ac bd|； |ac|bd|.a2 b2 c2 d2 a2 b2 c2 d23.排序不等式 ：(1)乱序和、反
10、序和与顺序和：设 a1，a 2，a 3，a n，b 1，b 2，b 3，b nR，且a1a2a3a n，b 1b2b3b n，设 c1，c 2，c 3，c n 是数组 b1，b 2，b 3，b n 的任意一个排列，则分别将 Sa 1c1a 2c2a 3c3a ncn，S 1a 1bna 2bn1 a 3bn2 a nb1，S 2a 1b1a 2b2a 3b3a nbn称为数组(a 1，a 2，a 3，a n)和数组(b 1，b 2，b 3，b n)的乱序和,反序和，与顺序和(2)排序不等式(又称排序原理 )：设 a1a2a n，b 1b2b3b n 为两组实数，c 1，c 2，c n 是b1，
11、b 2，b n 的任一排列，则 a1bna 2bn1 a nb1a1c1a 2c2a ncna1b1a 2b2a nbn，当且仅当 a1a 2a n 或 b1b 2 b n 时，反序和等于乱序和等于顺序和 . 4.绝对值不等式 ：(1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|a|b| ，当且仅当 ab0 时，等号成立(2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac|a b| |b c|，当且仅当 时，等号成立【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：（1）绝对值不等式的解法|ax b|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|ax b|c(c0)caxbc；|ax b|c(c0) axbc
12、 或 axbc.|x a|xb|c 和|x a| |xb|c 型不等式的解法：（）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a ，b，(b，)(此处设ac(c0)的几何意义：数轴上到点 x1a 和 x2b 的距离之和大于 c 的全体，|x a|xb|xa(xb)|a b| ；图象法：作出函数 y1|xa|x b|和 y2c 的图象，结合图象求解注意求解的过程中应同解变形 .（1）绝对值不等式的证明含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理： |a|b|ab|
13、a| b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布 等方法来证明（3）不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.典型例题例 1.【2018 年新课标 I 卷文】已知 （1）当 时，求不等式 的解集；（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围【答案】(1) .(2) 【解析】（1）当 时， ，即故不等式 的解集为 （2）当 时 成立等价于当 时 成立若 ，则当 时；若 ， 的解集为 ，所以 ，故 综上， 的取值范围为 例 2 【2018 年全国卷文】设函数 （1）画出
14、 的图像；（2）当 ， ，求 的最小值【答案】 （1）见解析（2）【解析】（1） 的图像如图所示（2）由（1）知， 的图像与 轴交点的纵坐标为 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 ，故当且仅当 且 时， 在 成立，因此 的最小值为 例 3.【2017 课标 II，文 23】已知 30,2ab.证明：（1） 5()4ab；（2） .【答案】(1)证明略；(2) 证明略.【解析】(2)因为3223234,ababab所以 38，因此 2.【练一练能力提升】解答题（10*12=120）1 【2018 年全国卷 II 文】设函数 （1）当 时，求不等式 的解集；（2）若 ，求 的取值范围【答案】 （1）
15、 ,(2)【解析】（1）当 时，可得 的解集为 （2） 等价于 而 ，且当 时等号成立故 等价于 由 可得 或 ，所以 的取值范围是2.【2017 课标 1，文 23】已知函数 4)(2axxf， |1|)(xg（1）当 a时，求不等式 g的解集；（2）若不等式 )(xf的解集包含1，1 ，求 的取值范围【答案】 （1） 7| 2；（2） 1,【解析】（2）当 1,x时， ()2gx所以 ()f的解集包含 1,，等价 于当 1,x时 ()2fx又 x在 ,的最小值必为 ()f与 (f之一，所以 且 (1)f，得 1a所以 a的取值范围为 ,3.【2017 课标 3，文 23】已知函数 ()fx=x+1x2.（1）求不等式 ()fx1 的解集；（2）若不等式 x2x +m 的解集非空，求实数 m 的取值范围 .【答案】 （1） ,)；（2） 5(,4
