1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲 练通专题七 等差数列与等比数列的基本运算等差数列的概念与运算【背一背基础知识】1等差数列的定义如果一个 数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d表示2等差数列的通项公式如果等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 1()nad.3等差中项如果 2bA，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项4等差数列的前 n 项和(1)公式的推导：等差数列的前 n 项和公式是用倒序相加法求得的(2)等差数列a n的前 n 项和公式： 11()()2nanSad【讲一讲释疑解
2、惑】1.必备技能：(1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，a na n1 d(常数)( n2)，第二种是利用等差中项，即 2ana n1 a n1 (n2)(2)解选择、填空题时，亦可用通项或前 n 项和直接判断通项法：若数列a n的通项公式为 n 的一次函数，即 anAnB(A、B 是常数)，则 an是等差数列前 n 项和法：若数列a n的前 n 项和 Sn是 SnAn 2Bn 的形式(A，B 是常数)，则 an为等差数列(3)等差数列可以由首项 a1 和公差 d 确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕 a1 和 d 进行(4)对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过
3、列方程求出 a1，d.如果再给出第三个条件就可以完成an，a 1，d，n，S n的“知三求二”问题这体现了用方程的思想解决问题2.典型例题例 1【2018 年理新课标 I 卷】 设 为等差数列 的前 项 和，若 ， ，则A. B. C. D. 例 2【2017 浙江，6】已知等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d0” 是“S 4 + S62S5”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件等差数列的 性质【背一背基础知识】等差数列a n的常用性质(1)通项推广：a na m(nm )d(d 为数列 an的公差) (2)若 mnp q(m，n，p，
4、qN *)，则 ama na pa q.特别地：a 1a na 2a n1 a 3a n2 .(3)项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若 mn2p，则 ama n2a p.(4)Sk，S 2kS k， S3kS 2k，构成等差数列，公差为 k2d.学-科网(5)Sn n n n.a1 an2 a2 an 12 a3 an 22【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：(1)等差数列a n的通项公式 ana 1( n1 )ddna 1d ，d0 时，a n是 n 的一次函数当 d0 时， an为递增数列，当 d0，d0，则 Sn存在最小值（4）等差数列的单调性等差数列公差为 d，若 d0，则数列递
5、增若 d0，则数列递减若 d0，则数列为常数列2.典型例题例 1 已知 na为等差数列，若 1598a，则 28cos()a（ ）A 2 B 32 C 1 D 3例 2 在等差数列 na中，若 2576543aa，则 82a= .等比数列的概念与运算来源:学科网 ZXXK【背一背基础知识】1等比数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示来源:学.科.网 Z.X.X.K2等比数列的通项公式设等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 1naq.3等比中项若 20Gb，那么 G 叫做
6、a 与 b 的等比中项4等比数列的前 n 项和公式等比数列a n的公比为 q(q0)，其前 n 项和为 Sn，当 q1 时，S nna 1；当 q1 时，S n .a11 qn1 q a1qn 1q 1 a1qnq 1 a1q 1【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：(1)对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问 题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元 )思想方法的应用(2)在涉及等比数列前 n 项和公式时要注意对公式 q 是否等于 1 的判断和讨论(3)等比数列的判定方法：定义法：若 q(q 为非零常数 )或 q(q 为非零常数且 n2)，则a n是等比数
7、列an 1an anan 1中项公式法：若数列a n中 an0 且 a a nan2 (nN *)，则数列a n是等比数列2n 1通项公式法：若数列通项公式可写成 ancq n1 (c，q 均为不为 0 的常数，nN *)，则 an是等比数列前 n 项和公式法：若数列a n的前 n 项和 Snkq nk(k 为常数且 k0，q0,1)，则a n是等比数列需要说明的是：对于第一、二种方法适用于任何题型，强调推理过程，而第三、四种方法适合于选择、填空题 ，强调结论的应用，若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可2.典型例题例 1【2017 江苏，9】等比数列 na的各项均为
8、实数,其前 n项的和为 nS,已知 3674S,则 8a= .例 2【2018 年理新课标 I 卷】记 为数列 的前 项和，若 ，则 _等比数列的性质【背一背基础知识】1. 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广： mnnaq，( n，mN *)(2)若a n为等比数列，且 kl mn，(k，l，m ，nN *)，则 klmnaa.(3)若a n， bn(项数相同)是等比数列，则 an(0)， ， a ，a nbn， 仍是等比数列1an 2n anbn(4)在等比数列a n中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，a nk ，a n2k ，a n3k ，为等比数列，公比为 qk.即项数
9、成等差数列则对应项 成等比2等比数列前 n 项和的性质公比 不为1 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，则 Sn， S2n Sn， S3n S2n仍成等比数列，其公比为 nq.【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：(1)等比数列的单调性学+ 科网Error! 或Error! an为递增数列；Error! 或Error! an为递减数列；q1 an为非零常数列；q0 an为摆动数列(2)等比数列其他性质若数列a n是等比数列，则ca n(c0)，|a n|， a ， 也是等比数列，若b n是等比数列，则a nbn2n1an也是等比数列数列 am，a mk ，a m2k ，a m3k ，仍成等比数列
10、若等比数列a n的项数为 2n，则 q，其中 S 偶 ，S 奇 分别是数列的偶数项的和与奇数项的和S偶S奇 q nm (m，nN *)anam2.典型例题例 1.在正项等比数列 na中， 369lglga，则 1a的值是（ ） 来源:Zxxk.ComA. 10 B. 10 C. 10 D. 0例 2. 已知数列 n为等比数列,若 ,64则 937712的值为 （ ）A10 B20 C60 D100【练一练能力提升】（一）选择题（12*5=60 分）1若等差数列 na中， 26,a则 4（ ）来源:学科网A. 2 B. C. D. 或 22 【湖南省株洲市 2019 届高三统一检测（一)】已知各
11、项为正数的等比数列 满足 ， ，则（ ）A64 B32 C16 D43在明朝程大位算术统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2倍，共有 381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从下往上数第四层有（ ）盏灯.A. 8 B. 1 C. 6 D. 244 【广东省深圳实验，珠海一中等六校 2019 届高三第二次联考】等差数列 中 ，则其前 n 项和 取最大值时 n 的值为（）A503 B504 C503 或 504 D5055 【2018 年文北京卷】 “十二
12、平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若 第一个单音的频率 f， 则第八个单音频率为A. B. C. D. 6 九章算术有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 127 【2018 届湖北省天门、仙桃、潜江高三上学期期末】等比数列 na的前 n 项和为 nS，已知321509Sa，则 1aA
13、. 9 B. C. 3 D. 8 【2018 届福建省漳州市高三上学期期末】等差数列 na和等比数列 nb的首项均为 1，公差与公比均为3，则 123bba（ ）A. 64 B. C. 8 D. 39 【2018 届安徽省宿州市高三上学期第一次教学质量检测】在等差数列 na中， 761，若它的前n项和 nS有最大值，则当 0nS时， 的最大值为（ ）A. 11 B. 12 C. 13 D. 1410 【广东省中山一中等七校联合体 2019 届高三第二次（11 月)联考】已知等差数列 的前 项和为 ， ，则使 取得最大值时 的值为( )A5 B6 C7 D811 孙子算经是我国古代的数学名著，书
14、中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为：“有 5 个人分 60 个橘子，他们分得的橘子个数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少橘子.”根据这个问题，有下列 3 个说法：得到橘子最多的人所得的橘子个数是15；得到橘子最少的人所得的橘子个数是 6；得到橘子第三多的人所得的橘子个数是 12.其中说法正确的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 312已知数列 na是公比为 2 的等比数列，满足 6210a，设等差数列 nb的前 项和为 nS，若972b，则 17S（ ）A. 34 B. 39 C. 51 D. 68(二)填空题（3*5=15 分）来源:学科网13. 【2018 年理北京卷】设 是等差数列， 且 a1=3，a2+a5=36，则 的通项公式为_14.等差数列 na的前 项和为 nS，若 452a， 648S，则 na的公差为_15已知 为等差数列， 为其前 项和，若 135,0，当 S取最大值时， n_16.已知数列 na是递增的等比数列， 14239,8a，则数列 na的前 项和等于 .
