1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲练通专题八 线性规划与基本不等式利用线性规划求目标函数的最值【背一背基础知识】1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式 表示区域Ax ByC 0来源:学|科|网 Z|X|X|K不包括边界直线Ax ByC 0来源:学&科&直线 AxBy C0 某一侧的所有点组成的平面区域来源:学科网 包括边界直线不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分2. 二元一次不等式表示的平面区域的确定：对于二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般来说有两种方法：（1）.是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧
2、，反之在直线的另一侧（2）.将“x”前系数变为正数，观察“y”前面的符号如果“y”前面的符号为正且不等号方向为“”( 或者 )则区域在直线上方，反之在直线下方.3. 线性规划中的基本概念名称 意义约束条件 由变量 x，y 组成的不等式(组)线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式( 组)目标函数 关于 x，y 的函数解析式，如 z2x 3y 等线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式可行解 满足线性约束条件的解(x，y)可行域 所有可 行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题4.求目标函数的最
3、值步骤：（1）作图画出约束条件表示的平面区域；（2）平移利用线性平移的方法找点使目标函数取得最值；（3）求值求出目标函数的最值.【讲一讲释疑解惑】1. 必备技能：.平面区域的确定.求目标函数最值对目标函数的处理： 可按照如下的步骤进行，如果目标函数为 zxy第一把目标函数整理成斜截式即 yxz这时候看 z 前面的符号本例中 z 前的符号为正那就是目标函数平移进可行域时截距最大的时候 z 有最大值，截距最小时 z 有最小值.第二令z=0 画出目标函数.第三将目标函数平移进可行域找寻符合截距最大最小的最优解.2.典型例题例 1【2018 年全国卷 II 文】若 满足约束条件 则 的最大值为_【答案
4、】9【解析】不等式组表示的可行域是以 为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数 的最大值必在顶点处取得，易知当 时， .例 2【2018 年文北京卷】若,y 满足 ，则 2y的最小值是_ _.【答案】3【解析】不等式可转化为 ，即 ， 满足条件的 在平面直角坐标系中的可行域如下图令 ，由图象可知，当 过 点 时， 取最小值，此时 ，的最小值为 .基本不等式【背一背基础知识】1. 基本不等式 aba b2基本不等式成立的条件：a0，b0.等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号2. 几个重要的不等式.a 2b 22ab(a，bR)； 2(a，b 同号)学- 科网ba ab.ab 2(a，bR)；
5、 2 (a，bR)(a b2 ) (a b2 ) a2 b223. 算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平a b2 ab均数不小于它们的几何平均数4. 利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则：(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 .(简记：积定和最小).p(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是 . (简记：和定积最大)p24【讲一讲释疑解惑】1.必 备技能：（1）在应用基本不等式求最值时，要把握不 等式成立的三个条件，就是“ 一正各项
6、均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误（2）对于公式 ab2 ，ab 2，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了 abab (a b2 )和 ab 的转化关系（3）运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2b 22ab 逆用就是 ab； (a，b0)逆用就是 ab 2(a，b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条a2 b22 a b2 ab (a b2 )件等2.典型例题例 1. 【2018 年天津卷文】已知 ，且 ，则 的最小值为_.【答案】例 2【2018 年江苏卷】在 中，角 所对的边分别为 ， ，
7、 的平分线交 于点D，且 ，则 的最小值为 _【答案】9【解析】由题意可知， ,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得 ，因此当且仅当 时取等号，则 的最小值为 .【练一练能力提升】一、选择题（12*5=60 分）1若 0ba，则下列不等式不正确的是（ ）A. 2ab B. 2ab C. 1ab D. ab【答案】C2若 ,ab是实数，则 “2a是 4“的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 24a， ；取 3a 24， 满足，但推不出 2a， 故反之推不到，所以 “2a是2“4的充分不必要条件，选 A.3当 时，不等
8、式 恒成立，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据题意构造函数： ，由于当 时，不等式恒成立，即 ，解得 ，即 ，故选 A.4.【2018 年天津卷文】设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 的最大值为A. 6 B. 19 C. 21 D. 45【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程： ，可得点 A 的坐标为： ，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择 C 选项.5设变量 x，y 满足约束条件207 1xy，则 yx的最大值为（）A. 6 B. 3 C. 85 D. 1【答案】
9、A【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示） yx表示可行域内的点 ,Mxy与原点连线的斜率结合图形可得，可行域内的点 A 与原点连线的斜率最大由 70 1yx，解得 1 6y，故得 ,6A所以 maxOAk选 A6【2016 高考山东】若变量 x，y 满足2,390,xy+-则 2xy+的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域, 2xy表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为 210OC,故选 C.7 【2018 届安徽省合肥市高
10、三第一次教学质量检测】某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为 2 千元/件、1 千元/件.甲、乙两种产品都需要在 AB、 两种设备上加工，生产一件甲产品需用 A设备 2 小时， B设备 6 小时；生产一件乙产品需用 设备 3 小时， 设备 1 小时. B、 两种设备每月可使用时间数分别为 480 小时、960 小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）A. 320 千元 B. 360 千元 C. 400 千元 D. 440 千元【答案】B【解析】设生产甲、乙两种产品 x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：2348069 ,xyN，原问题等价于在上述
11、约束条件下求解目标函数 2zxy的最大值.绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点 150,6B处取得最大值： max15063z千元.本题选择 B 选项.8若变量 xy， 满足约束条件1xy，则 2zxy的最小值为( )A、 1 B、0 C、1 D、2【答案】A【解析】由约束条1xy作出可行域如图，由图可知，最优解为 A，联立 10,1xyA , 2zxy在点 A 处取得最小值为 1故选：A9 【2018 届河南省三门峡市高三上学期期末】若实数 x， y满足20, ,xyb且 2zxy的最小值为4，则实数 b的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 5 D.
12、3【答案】D【解析】作出不等式组对于的平面区域如图：z=2x+y 的最小值为 4，即 2x+y=4，且 y=2x+z，则直线 y=2x+z 的截距最小时，z 也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线 y=2x+z 的上方，由 24 0xy；，解得 1 2xy，即 A（1，2） ，此时 A 也在直 线 y=x+b 上，即 2=1+b，解得 b=3，故选：D.10已知 0,1xyx，则 2y的最小值为（ ）A. 2 B. 4 C. 3 D. 【答案】D【解析】 12xy0xy， ，当且仅当 21时成立，故选 D.11 【2018 届浙江省台州市高三上学期期末】已知实数 ,xy满足不等式组0,2 3,xy则221xy的取值范围是A. ,5 B. ,5 C. ,25 D. ,26【答案】D【解析】画出02 3xy表示的可行域，如图， 221xy表示可行域内的动点 ,xy到 1,2距离的平方，由图可知在 0,处 221xy取最小值 2205，在 0,3处取最大值22016，取值范围是 5,6，故选 D.12已知函数 32fxabx（ a， b）在 1x处取得极小值，则 14ab的最小值为（ ）A. 4 B. 5 C. 9 D. 10【答案】C
