1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲 练通专题十 立体几何的平行与垂直关系空间点、线、面的位置关系 :平行【背一背基础知识】1.公理 4：若 ab，bc，则 ac.2.线面平行判定定理：若 ab，a，b，则 a.3.线面平行的性质定理：若 a，a， b，则 a b.4.面面平行的判定定理：若 a，b，a，b 相交，且 a，b，则 .5.面面平行的性质定理：学-科网 来源:学.科.网若 ，a ，则 a .若 ，r a，r b，则 ab.线面垂直的性质定理：若 a，b，则 ab.面面平行的性质定理：【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：(1)证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的
2、关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行利用面面平行的性质，即两平面平行，则其中一平面内的直线平行于另一平面(2)已知线面平行时可利用线面平行的性质定理证明线线平行(3)判定面面平行的方法：定义法：即证两个平面没有公共点面面平行的判定定理垂直于同一条直线的两平面平行平行平面的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(4)面面平行的性质：若两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面若一平面与两平行平面相交，则交线平行（5）平行间的转化关系2.典型例题例 1【2017 课标
3、1，文 6】如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是（ ）A BC D【答案】A【解析】例 2.【湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测】设 ， ， 表示不同直线， ， 表示不同平面，下列命题：若 ， ，则 ；若 ， ，则 ；若 ， ，则 ；若 ， ， ，则 .真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】A来源:学。科。网例 3.【山东省济宁市 2019 届高三上期末】设 m，n 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是A若B若C若D若【答案】B【解析】如下图正方体中，对于
4、A，令直线 ，直线 ，平面 ,平面 ,但平面 与平面 不平行，所以 A 错误。对于 C，令直线 ，直线 ，平面 ,平面 ,但平面 与平面 不平行，所以 C 错误。对于 D，令直线 ，直线 ，平面 ,平面 ,但平面 与平面 不垂直，所以 D 错误。故选：B空间点、线、面的 位置关系:垂直【背一背基础知识】1.判定两直线垂直，可供选用的定理有：若 ab，bc，则 ac .若 a，b，则 ab.来源:Z*xx*k.Com2.线面垂直的定义：一直线与一平面垂直 这条直线与平面内任意直线都垂直；来源:学科网 ZXXK3.线面垂直的判定定理，可选用的定理有：若 ab，ac，b，c ，且 b 与 c 相交，
5、则 a.若 ab，b，则 a.若 ， b，a ，ab，则 a.4.判定两平面垂直，可供选用的定理有：若 a，a，则 .【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：(1)解答空间垂直问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础(2)由于“线线垂直” “线面垂直” “面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在2.典型例题例 1.【2018 年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】由
6、三视图可得四棱锥 ，在四棱锥 中， ，由勾股定理可知： ，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选 C.学科网例 2.【2017 课标 3，文 10】在正方体 1ABCD中，E 为棱 CD 的中点，则（ ）A 11EDC B 1E C 1 D 1AEC【答案】C【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若11，那么 11，很显然不成立；B.若 1AEB，那么 AE，显然不成立；C. 若AEB，那么 CB，成立，反过来 C时，也能推出 1C,所以 C 成立，D.若1，则 A，显然不成立，故选 C.例 3.【湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月
7、考（五)】如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC，则下列结论正确的是（ ）APBADB平面 PAB平面 PBCC直线 BC平面 PAED直线 CD平面 PAC【答案】D空间点、线、面的位置关系:空间的角【背一背基础知识】1.异面直线的定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线2.异面直线所成的角的范围： 0,平移 转 化直 接 平 移中 点 平 移 “三 维 ”“二 维 ”补 形 平 移3直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，两向量 e 与 n 的夹角为 ，则有 sin |cos
8、| .|en|e|n|【讲一讲释疑解惑】1. 必备技能:（1）异面直线的判定方法： 经 过 平 面 外 一 点 和 平 面 内 一 点 与 平 面 内 不 过 该 点 的 直 线 异 面反 证 法（2）异面直线所求的角的求法：平移法构造三角形解三角形余弦定理（3）异面直线的平移方法常见的有三种平移方法：直接平移，中位线平移（尤其是图中出现了中点）补形平移 “补形法” 是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用 “补形法” 找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。学- 科网（4）求线面角：一是几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做-二证-三计算”
9、. 二是向量法：分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角( 钝角时取其补角)，取其余角就是斜线 和平面所成的角.2.典型例题例 1.【2018 年全国卷 II 文】在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】在正方体 中， ，所以异面直线 与 所成角为 ，设正方体边长为 ，则由 为棱 的中点，可得 ，所以 ，则 .故选 C.例 2.【2018 年新课标 I 卷文】在长方体 中， ， 与平面 所成的角为，则该长方体的体积为A.
10、 B. C. D. 【答案】C【解析】在长方体 中，连接 ，根据线面角的定义可知 ，因为 ，所以，从而求得 ，所以该长方体的体积为 ，故选 C.【练一练能力提升】（一） 选择题（12*5=60 分）1.【浙江省重点中学 2019 届高三 12 月期末热身联考】已知 ，则“mn”是“m l”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】如图，取长方体 ABCD A1B1C1D1，令平面 为面 ADD1A1，底面 ABCD 为 ，直线 =直线 。若令 AD1 m， AB n，则 m n，但 m 不垂直于若 m ，由平面 平面 可知，直线 m 垂直于平面
11、，所以 m 垂直于平面 内的任意一条直线 m n 是 m 的必要不充分条件故选： B2.【2017 课标 II，理 10】已知直三棱柱 1CA中， C120A， ， 1C，则异面直线 1A与 C所成角的余弦值为（ ）A 32 B 5 C 105 D 3【答案】C【解析】如图所示，补成四棱柱 1ACD ,则所求角为 2011 11, cos63,5BCBCDAB 因此 120cos5D ，故选 C.3. 【2016 高考新课标 1 卷】平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A,/平面 CB1D1, I平面 ABCD=m,I平面 AB B1A1=n,则 m、n 所成角的正弦值为(A)
12、32 (B) 2 (C) 3 (D)【答案】A【解析】如图,设平面 1CBD平面 A= m,平面 1CBD平面 1A= n,因为 /平面 1CBD,所以 /,/mn,则 所成的角 等于 n所成的角.延长 ,过 作 1E,连接 ,则 CE为 m,同理 1BF为 n,而 1/,/DCEBFA,则 mn所成的角即为 1,ABD所成的角,即为 60,故,n所成角的正弦值为 32,选 A.4.【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点 为下底面半圆弧上一点（异于点 ） ，则关于该几何体的说法正确的是（ ）A B C 平面 D 平面【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是如图所示的半圆柱，圆柱底面半径为 1，高为 2，若 ，因为 ， ，所以 平面 ，又因为 平面 ，
