1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲练通专题十三 二项式定理及其应用（理）利用二项式定理求指定项【背一背基础知识】1二项式定理： 012()nnnnabCabCb ，二项式定理的右边是一个关于 ,ab的n次齐次多项式，即每一项都是 次的（ 的指数与 的指数之和为 ） ，展开式中共有 1n项，从左向右，各项系数依次为 012,nn ，字母 按降幂排列，字母 按升幂排列2二项展开式的通项公式： 1rrnTCab（ 0,12,n ） 二项展开式共有 项，其通项是指第 1r项【讲一讲释疑解惑】1必备技能：这类问题我们主要掌握住其展开式的通项公式 1rnrTCab，如果直接要求某一项（如第几项或者展开式
2、中含 rx的项） ，那就直接用通项公式写出这项即可；一般这类问题可能是在 ()nab中含有参数，已知某一项要求另一项或参数，同样我们是把已知项用通项公式写出求出参数，再去求题设要求的那一项2典型例题例 1【2018 年浙江卷】二项式 的展开式的常数项是_【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第 r+1 项，再根据项的次数为零解得 r，代入即得结果.详解：二项式 的展开式的通项公式为 ,令 得 ，故所求的常数项为例 2. 若 321nx展开式中的第 6 项的系数最大，则不含 x的项等于( )A. 210 B. 120 C. 461 D. 416【答案】A来源:Zxxk.Com【
3、解析】由已知得，第 6 项应为中间项，则 10n，所以 1033051 12rrr rrTCxCx.令 305r，得 . 67102TC，故选 A.二项式系数与项的系数【背一背基础知识】来源:学科网 ZXXK1在 ()nab的二项展开式中第 1r项的二项式系数为 rnC，这一项的二项式系数与它的系数可能不一样2二项式系数的性质：(1)在二项展开式中，当 为偶数时，中间一项即第 12n的二项式系数 2nC最大，当 n为奇数时，中间两项即第 12n和第 项的二项式系数即nC和 最大；(2)所有的二项式系数的和为 2n，即 01nnCC 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等40nn 153
4、n.学_科网【讲一讲释疑解惑】1必备技能：主要掌握住其展开式的通项公式 1rnrTCab，解题时注意把通项化简即把系数与后面的字母分开因为对于我们来讲，这种问题的类型主要有(1)求某项的系数；(2) 已知某项系数，求另一项系数或其中某一项或者只是求其中参数的值 （3）应注意区别二项式系数与展开式系数.2典型例题例 1【2018 年全国卷理】 的展开式中 的系数为A. 10 B. 20 C. 40 D. 80【答案】C例 2.【2017 浙江，13】已知多项式 1x3 22= 543211245xaxax，则4a=_， 5a=_来源:学科网【答案】16，4【解析】【练一练能力提升】(一)选择题（
5、 12*5=60 分）183)2x展开式中常数项为（ ）A. 28 B. -28 C. 7 D. -7【答案】C【解析】由题意 831()2x得展开式为483182rrTCx,当 r时， 2387TC，故选 C.来源:学|科|网2 【2018 届山西省太原市高三上学期期末】51x展开式中的常数项为（ ）A. 1 B. 21 C. 31 D. 51【答案】D【解析】常数项有三种情况， ,x都是 0次，或者 1,x都是 次，或者 1,x都是二次，故常数项为12543C10513 【衡水金卷 2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟】 412x的展开式中 x项的系数为（ ）来源:Z&xx&k.C
6、omA. -16 B. 16 C. 48 D. -48【答案】A【解析】 42x展开式的通项公式为 412rrrTCx， 412x的展开式中 x项的系数为 1346C，故选 A.4 【2018 届海南省高三上学期期末】 523x的展开式中含 3x的项的系数为（ ）A. -1560 B. -600 C. 600 D. 1560【答案】A【解析】 3x的项可以由 2,3,x或 ,3,2x的乘积得到，所以含 3x的项的系数为135454801560C，故选 A.582x展开式中不含 x项的系数的和为A. 1 B. 0 C. 1 D. 26. 已知8ax展开式中常数项为 1120，其中实数 a是常数，
7、则展开式中各项系数的和是（ ）A. 82 B. 83 C. 1或 83 D. 1或 82【答案】C【解析】通项为 8182CCrrr rxax， 0,4r，即 48C120a，解得 2a，当 2a时，令 ，求得和为 ，当 时，令 1，求得和为 83.7 【2018 届陕西省渭南市高三教学质量检测（I） 】在nx的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为 64，则 3x的系数为（ ）A. 5 B. 1 C. 405 D. 13【答案】D【解析】令（x+ 3x） n中 x 为 1 得各项系数和为 4n，又展开式的各项二项式系数和为 2n，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64， 462n，解得
8、 n=6，二项式的展开式的通项公式为 Tr+1=C6r3r32rx令 6 32r=3，求得 r=2，故开式中含 x3项系数为 C6232=135，故选：D学-科网8 【2017 课标 1，理 6】 621()x展开式中 2x的系数为A15 B20 C30 D35【答案】C【解析】因为 6662 211()()()xx，则 6(1)x展开式中含 2x的项为 22615Cx，62x展开式中含 2的项为 4265C，故 前系数为 530，选 C.9 【2017 课标 3，理 4】 xy的展开式中 x3 y3的系数为A 80 B 40 C 40 D80【答案】C【解析】10已知 312na的展开式的常
9、数项是第七项，则正整数 n的值为 ( )A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】B【解析】第七项为 66363241C2CnnnnTaa，故 0,8n.11在 2x的展开式中，含 7x的项的系数是（ ）A60 B160 C180 D240【答案】D【解析】421x的展开式中 rrrrrr xxCT25166211，令 7r，则含 7的项的系数为 20642，故选 D.12 已知二项式 展开式中，前三项的二项式系数和是 56，则展开式中的常数项为( )A. B. C. D. 【答案】A（二）填空题（4*5=20 分）13.【2018 年理数天津卷】在 的展开式中， 的系数为 _.【答案】
10、【解析】结合二项式定理的通项公式有： ，令 可得： ，则 的系数为： .14 【2016 年高考北京理数】在 6(12)x的展开式中， 2x的系数为_ _.（用数字作答）【答案】 60.【解析】根据二项展开的通项公式 16()rrrTC可知， 2的系数为 26()0C，故填： 6.15.【2018 届广东省深中、 华附、省实、广雅四校联考】41x的展开式中 3x的系数为_【答案】1【解析】 443211641xxx，所以展开式中 3x的系数为6416 【2016 高考山东理数】若（ax 2+ 1x） 5的展开式中 x5的系数是80，则实数 a=_.【答案】-2【解析】因为5102521 51()rrrrrTCaxCax，所以由 51022r，因此2580.Ca
