1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲练通专题十四 古典概型与几何概型古典概型【背一背基础知识 】1基本事件的特点：（1）同一试验中任何两个基本事件都是互斥的；（2）任何事件都可以表示成几个基本事件的和2古典概型：我们将具有（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型3如何计算古典概型的概率？如果试验的基本事件的总数为 n，随机事件 A所包含的基本事件的个数为m，则 n就是事件 A 出现的可能性的大小，称为事件 A的概率，记作为 ()p，即()p所 包 含 的 基 本 事 件 数总 的 事 件 个 数= mn学
2、科_网【讲一讲释疑解惑】1必备技能：求古典概型概率的步骤是：（1）求出总的基本事件数；（2）求出事件 A所包含的基本事件数，然后用公式计算在求基本事件的个数时，要做到不重不漏，可以用列举法把基本事件一一牧举出来，也可用排列组合的思想来求2 典型例题例 1.【2018 年全国卷 II 文】从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 2 名男同学为 ，3 名女同学为 ，从以上 5 名同学中任选 2 人总共有共 10 种可能，选中的 2 人都是女同学的情 况共有共三种可能，则选中的 2 人都是女同学的概率
3、为 ，故选 D.例 2.【2017 课标 II，文 11】从分别写有 1,2,3 ,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.10B. 5 C. 310D. 25【答案】D几何概型【背一背基础知识】1几何概型：事件 A理解为区域 的某一子区域 A，事件 的概率只与子区域 A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与形状和位置无关，满足以上条件的试验称为几何概型2几何概型的概率计算公式： ()AP，其中 表示区域 的几何度量， A表示区域 的几何度量【讲一讲释疑解惑】1必备技能：解决几何概型问题的关键是对区域 和子
4、区域 A选用什么几何度量？是长度？还是面积？体积？这主要根据具体问题来解决2典 型例题例 1【2017 课标 1，文 4】如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A14B8C12D 4【答案】B【解析】例 2【2016 高考山东理数】在 1,-上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆 2(5)9xy-+=相交”发生的概率为 . 【答案】 34【解析】直线 y=kx 与圆 2(5)9xy-+=相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即 2|5kd31，解得 3k4，而
5、 1,k-，所以所求概率 P=324.【练一练能力提升】来源:Zxxk.Com一、选择题（12*5=60 分）1 【2017 天津，文 3】有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ， 颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩 笔的概率为（A） 45（B） （C） （ D） 1【答案】 C 【解析】选取两支彩笔的方法有 25C种，含有红色彩笔的选法为 14C种，由古典概型公式，满足题意的概率值为14250p.本题选择 C 选项.2 【2018 届湖北省天门、仙桃、潜江高三上学期期末】在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会议，会议是
6、根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是 3 和 4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A. 125 B. 9 C. 1625 D. 4【答案】D【解析】外面大正方形边长为 5，所以大正方形面积为 25，四个全等的直角三角形面积为13422，因此概率为 4,2 选 D.学-科网3 【广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月)统一检测】太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼.太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理.
7、太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 被 的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼” ，已知小圆的半径均为 ，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为（ ）A B C D【答案】B来源:学。科。网【解析】函数 的最小正周期为 ，故大圆的直径为 ，半径为 ，故“点投放到“鱼眼”部分的概率”为 .4某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为（ ）A. 710 B. 58 C. 3 D. 10【答案】B
8、【解析】至少等待 15 秒的对立事件为等待不超过 15 秒，由几何概型知 15408P，故选 B.5 【云南省昆明市黄冈实验学校 2019 届高三上期末】从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A B C D【答案】D6 【2016 高考新课标文数】 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,MIN，中的一个字母，第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）（A） 815 （B） 18 （C） 15 （D） 130 【答案】C
9、【解析】开机密码的可能有 (,),2(,),4(,5)1,(2),3(4),5MMIII，(,1)2,(3),4,(5)NN，共 15 种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 15，故选 C7 【湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多 于 5 分钟的概率为（ ）A B C D【答案】B【解析】设电台的整点报时之间某刻的时间 x，由题意可得，0 x60，等待的时间不多于 5 分钟的概率为 P ，故选： B8 【山东省潍坊市 2019 届高三上期末】四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976 年数学家阿佩
10、尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用 ， ， ， 四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线围城的各区域上分别标有数字 ， ， ， 的四色地图符合四色定理，区域 和区域 标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取 一点，则恰好取在标记为 的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）A B C D【答案】C【解析】A,B 只能有一个可能为 1，题目求最大，令 B 为 1，则总数有 30 个，1 号有 10
11、个，则概率为 ，故选 C.9 【2018 届广东省深圳市高三第一次调研】两名同学分 3 本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3 本书的概率为( )来源:Zxxk.ComA. 12 B. 4 C. 13 D. 6【答案】B【解析】两人分书的基本结果有 0,12,21,30共 8情况，其中一人没有分到书，另一人分得 3本书有两种情况，故根据古典概型概率公式可得一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为 2184，故选 B.学-科网10 【吉林省高中 2019 届高三上期末】中国古代数学名著九章算术中记载：“圆周与其直径之比被定为 3，圆中弓形面积为 （ 为弦长， 为半径长与圆心到弦的距离之差）
12、.”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长 ， ，质点 随机投入此圆中，则质点 落在该弓形内的概率为（ ）A B C D【答案】C【解析】由圆中弓形面积为 可知：弓形的面积 .设圆的半径为 ，则 ，解得 ，所以圆的面积 ，所以质点落在弓形内的概率为 ,故选 C.11 【吉林省高中 2019 届高三上期末】八卦是中国道家文化的深奥概念，是一套用三组阴阳组成的哲学符号.八卦表示事物自身变化的阴阳系统，用“ ”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，按照大自然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式（如图所示）.从图中的八卦中随机选取一卦，则此卦中恰有两个“”的概率为（ ）A B C D【答案】C【解析】
13、由图可知，恰有两个“”的是坎、艮、震，根据古典概型及其概率的计算公式，可得所求概率为 ，故选 C.12 【衡水金卷 2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟（一） 】我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾 a和股 b分别表 示直角三角形的两条直角边，用弦 c来表示斜边，现已知该图中勾为 3，股为 4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（ ）A. 2549 B. C. 47 D. 5【答案】B来源:学。科。网 Z。X。X。K【解析】设直角三角形的长直角边为 a，短直角边为 3b，由题意 5c，大方形的边长为347ab，小方形的边长为 5c，则大正方形的面积为
14、49，小正方形的面积为 25，满足题意的概率值为： 25419，故选 B.二、 填空题（4*5=20 分）13.【201 8 年江苏卷】某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中2 名女生的概率为_【答案】【解析】从 5 名学生中抽取 2 名学生，共有 10 种方法，其中恰好选中 2 名女生的方法有 3 种，因此所求概率为14 【2018 年理新课标 I 卷】从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种 （用数字填写答案）【答案】16【解析】根据题意，没有女生入选有 种选法，从 6 名学生中任意选 3 人有 种选法，故至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 种，故答案是 16.15. 【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上期末】设，则函数 是增函数的概率为_【答案】【解析】所有取值有： 共 12 个值，来源:学科网当 时， 为增函数，有 共有 6 个，所以函数 是增函数的概率为 ，故答案为 .16 【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上期末】在区间上随机取一个实数 ，则事件“ ”发生的概率是_【答案】
