1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲练通专题十七 常用逻辑用语命题及其关系【背一背基础知识】一命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为 真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题二四种命题及其关系1四种命题命题 表述形式原命题 若 p，则 q逆命题 若 q，则 p否命题 若 ，则逆否命题 若 ，则即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题
2、的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题.2四种命题间的逆否关系3四种命题的真假关系来源:Zxxk.Com(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：来源:Zxxk.Com（1）判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假（2）否命题与命题的否定是两个不同的概念：否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命
3、题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法2.典型例题例 1【2018 年文北京卷】能说明“若 ab，则 ”为假命题的一组 a，b 的值依次为_.【答案】 （答案不唯一）【解析】使“若 ，则 ”为假命题，则使“若 ，则 ”为真命题即可，只需取 即可满足，所以满足条件的一组 的值为 （答案不唯一）充分条件和必要条件【背一背基础知识】一般地，如果已知 pq，那么就说：p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必 要条件.可分为四类：（1）充分不必要条件，即 pq,而 q p；(2)必要不充分条件，即 pq,而 qp；(3)既充分又必要条件，即 pq，又有 qp；(4)既不充分也不必要条件，即 p
4、q，又有 q p.来源:学科网一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作：p q.“ ”叫做等价符号.p q 表示 pq 且 qp.这时 p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件，则 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件.一个等价关系：互为逆否命题的两个命题的真假性相同，对于一些难于判断的命题可转化为其等价命题来判断.【讲一讲释疑解惑】1. 必备技能充要关系的几种判断方法：(1)定义法：若 ,pq ，则 p是 q的充分而不必要条件；若 ,pq ，则 p是 q的必要而不充分条件；若 ，则 是 的充要条件； 若 , ，则 是 的既不充分也不必要条件.学=科网(2)等价法：即利用 pq与
5、p； q与 pq； 与 qp的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题 p 的集合为 M，满足命题 q 的集合为 N，则 M 是 N 的真子集等价于 p 是 q 的充分不必要条件， N 是 M 的真子集等价于 p 是 q 的必要不充分条件， M N 等价于 p和 q 互为充要条件， M， N 不存在相互包含关系等价于 p 既不是 q 的充分条件也不是 q 的必要条件（4）注意区分“ p 是 q 的充分不必要条件”与“ p 的一个充分不必要条件是 q”两者的不同，前者是“,”而后者是“ ,q”（5）充分条件、必要条件的应用，一般表
6、现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验2.典型例题例 1.【2018 年浙江卷】已知平面 ，直线 m，n 满足 m ，n ，则“m n”是“m ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【 答案】A【解析】因为 ，所以根据线面平行的判定定理得 .由 不能得出 与 内任一直线平行，所以是 的充分不必要条件，故选 A.例 2.【2018 年天津卷文】设 ，则“ ”是“ ” 的A. 充分而不必要条件 B. 必要
7、而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A例 3.【2018 届北京市海淀区高三第一学期期末】设 m是不为零的实数，则“ 0m”是“方程21xym表示的曲线为双曲线”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 由题意得，方程21xym表示双曲线，则 0m或 ，所以“ 0”是方程“2表示双曲线”的充分不必要条件，故选 A.逻辑联结词【背一背基础知识】1用联结词“且” 联结命题 p 和命题 q，记作 p，读作“p 且 q”2用联结词“或” 联结命题 p 和命题 q，记作 ，读作“p 或 q”3对一个
8、命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作 p，读作“非 p”或“p 的否定”4命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断【讲一讲释疑解惑】1.必备技能（1）逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“ 或、且、非 ”三个联结词构成的命题问题（2） “pq”“pq”“p”形式命题真假的判断步骤：确定命题的构成形式；判断其中命题 p、q 的真假；确定“p q”“p q”“ p”形式命题的真假（3）含逻辑联结 词命题真假的等价关 系p q 真p,q 至少一个真( p)( q)假. p q 假p,q
9、均假( p) ( q)真.p q 真p,q 均真 ( p)( q)假.p q 假p,q 至少一个假( p) ( q)真. p 真p 假; p 假 p 真.（4）命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断规律：p q 中 p、q 有一假为假，p q 有一真为真，p 与非 p必定是一真一假2.典型例题例 1【2018 届华大新高考联盟高三 1 月】设命题 :p向量 1,0,2ab，则 a在 b方向上的投影为 1，命题 2:qx是 1的必要非充分条件，则下列说法正确的是（ ）A. 命题 p是假命题 B. 命题 q是真命题C. 命题 是假命题 D. 命题 p是真命题【答案】D【解析】由题意可得：
10、 02,2abab，则 2cos,ab，则两向量 ,的夹角为 4，在 方向上的投影为 2cos14a，命题 p为真命题，很明显命题 q为假命题，逐一考查所给的选项：A.命题 p是真命题B.命题 pq是假命题C.命题 是假命题D.命题 是真命题本题选择 D 选项.例 2 已知命题 :pxR， 2lgx，命题 :qxR， sinx，则 （ ）A.命题 q是假命题 B.命题 pq是真命题C.命题 是真命题 D.命题 是假命题【答案】C全称量词和存在量词【背一背基础知识】1全称量词与全称命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示（2）含有全称量词的命题，叫做全称命
11、题（3）全称命题“对 M 中任意一个 x，有 ()p成立”可用符号简记为 ,()xMp，读作“对任意 x 属于M，有 ()px成立”2存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题（3）特称命题“存在 中的一个 0x，使 0()p成立”可用符号简记为 00,()xp，读作“存在 M中的元素 0x，使 0()p成立”3全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题4 “ p或 q”的否定为：“非 p且非 q”；“ p且 ”的否定为 ：“非 p或非 q”5含有一个量词的命题的否定命题 命题的否定,()xM
12、00,()xx00pp【讲一讲释疑解惑】1全称命题真假的判断方法（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x，证明 p(x)成立；（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个特殊值 xx 0，使 p(x0)不成立即可2特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合 M 中，找到一个 xx 0，使 p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题学-科网3. 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真 假.4. 全称命题与特称命题真假的判断方法汇总命题名称 真假 判断方法一 判断方法二真 所有对象使
13、命题真来源:学科网 ZXXK 否定为假全称命题来源:学&科&网 Z&X&X&K 假 存在一个对象使命题假 否定为真真 存在一个对象使命题真 否定为假特称命题假 所有对象使命题假 否定为真5命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条 件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非 ”，只是否定命题 p的结论命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系6弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提7注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定8要判断“ p”命
14、题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p 与 p 的真假相反9常见词语的否定形式有：原语句 是 都是 至少有一个 至多有一个 对任意 xA 使 p(x)真否定形式 不是 不都是 一个也没有 至少有两个 存在 x0A 使 p(x0)假2.典型例题例 1【2018 届安徽省皖西高中教学联盟高三上学期期末】命题“ 0,1xRe”的否定是_.【答案】 ,1xRe【解析】因为命题“ p”的否定是“ ,px”所以命题“ 0,xe”的否定是 ,1xRe例 2 若“ ,tan4m”是真命题，则实数 m的最小值为 .【答案】1【解析】若“ 0,tan4xx ”是真命题，则 大于或等于函数 tanyx在
15、 0,4的最大值因为函数 tay在 ,上为增函数，所以，函数 tanyx在 0,4上的最大值为 1，所以， 1m ，即实数 的最小值为 1.所以答案应填:1.【练一练能力提升】（一）选择题（12*5=60 分）1 【2018 年理数天津卷】设 ，则“ ”是“ ”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】绝对值不等式 ，由 .据此可知 是 的充分而不必要条件.本题选择 A 选项.2 【2018 年理北京卷】设 a，b 均为单位向量，则“ ”是“ab”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充
16、分也不必要条件【答案】C【解析】，因为 a，b 均为单位向量，所以 ab，即“ ”是“ ab”的充分必要条件.选 C.3 【2018 届辽宁省丹东市高三上学期期末】命题“ 0,lnx”的否定为（ ）A. 0,lnx B. 0,lnx C. D. 0,lnx【答案】A【解析】命题“ ,l”的否定为： ,ln0xR，故选 A.4 【2018 届宁夏育才中学高三上学期期末】 “ 2”是“ 1”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分式不等式 102x等价于 20x，则其解集为 |2x，据此可知“ ”是“ ”的充要条件.本题选择
17、C 选项.5 【2018 届北京市东城区高三第一学期期末】直线 :1lykx与圆 2:1Oxy相交于 ,AB两点，则“ 1k”“ 2AB”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件,【答案】A【解析】 直线 :1lykx与圆 2:1Oxy相交于 ,AB两点， 圆心到直线的距离 21dk，则 AB 222kd，当 时， 12，即充分性成立，若，则21k，即 21，解得 或 k，即必要性不成立，故“ 1k”是“AB”的充分不必要条件，故选 A.6. 已知命题 p：关于 x的函数234y=xa在 1,)上是增函数，命题 q：函数 (21)xy=a
18、为减函数，若 q为真命题，则实数 的取值范围是 ( ) A23aB. 20C23aD. 2【答案】C7. 下列命题中是假命题的是（ ）A (0,)2xsinx B 00,+=2RsinxcoC 3xR D lg【答案】B【解析】由任意角的三角函数可知， (0,)sinta2xx，所以 (0,)2xsinx是真命题；由指数函数的性质， ,3xR是真命题；由 lg1知， 0,=Rlg是真命题；事实上，由000sinco2sin(),4x， 0,+xsicox是假命题.故选 B.8. 命题“ *， N，使得 2”的否定形式是（ ）A x，R，使得 x B *xn，RN，使得 2nx C *n， ，使得 2n D ， ，使得【答案】D【解析】的否定是 ， 的否定是 ， 2nx的否定是 2nx故选 D学科-网9 【2018 届浙江省杭州市高三上学期期末】设数列 a的通项公式为 *2nakN则“ 2k”是“数列 na为单调递增数列”的（ ）
