1、专题二 函数概念与基本初等函数第六讲 函数综合及其应用答案部分1A【解析】解法一 函数 的图象如图所示，当 的图象经过点 时，()fx|2xya(0,2)可知 当 的图象与 的图象相切时，由 ，得2ayayxx，由 ，并结合图象可得 ，要使 恒成立，240x()|f当 时，需满足 ，即 ，当 时，需满足 ，所以 2 0a 2aa xy1234 123423456O解法二 由题意 时， 的最小值 2，所以不等式 等价于0x()fx()|2fa在 上恒成立|2xa R当 时，令 ，得 ，不符合题意，排除 C、D；3x|3|2当 时，令 ，得 ，不符合题意，排除 B；0|x选 A2B【解析】由 知
2、的图像关于直线 对称，()2)fxf(fx1x又函数 的图像也关于直线 对称，2|3|14|y所以这两个函数图像的交点也关于直线 对称，x不妨设 ，则 ，即 ，12mxx12m12m同理 ，由 ，21m12ixx所以 ，121112()()()2mimmmxxx所以 ，故选 B1i3B【解析】由已知可设 2(0)()xf，则 2(0)()af，因为 ()fx为偶函数，所以只考虑 0a的情况即可若 b，则 ab，所以 故选B4B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量 升而这段时间内行驶的里程数 千米所以48V356060S这段时间内，该车每 100 千米平
3、均耗油量为 升，故选 B4815B 【解析 】采用特殊值法，若 ，则,2,12,3xyzabc， ， ， ，由此14axbycz10abycxabcxz可知最低的总费用是 z6B【解析】由题意可知 过点（3，0.7） ， （4，0.8） （5，0.5） ，2ptc代入 中可解得 ，2patbc0.,1.5,2ab 20.1.5.(7)8tt当 分钟时，可食用率最大37t7D【解析】设年平均增长率为 ，原生产总值为 ，则 ，解xa2(1)(1)pqax得 ，故选 D(1)1xpq8A【解析】解法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0) ，(2，0)，在(0，0) 处的切线方程为 y
4、= -x，在(2，0)处的切线方程为 y= 3x-6，以此对选项进行检验A 选项， ，显然过两个定点，又 ，321x21则 ，故条件都满足，由选择题的特点知应选 A02|,|xxy解法二 设该三次函数为 ，则32()faxbcd2()3fxabxc由题设有 ，解得 (0)21()3ff1,02abcd故该函数的解析式为 ，选 A32yx9A【解析】设所求函数解析式为 ，由题意知 ，()f(5)2,ff（ ）且 ，代入验证易得 符合题意，故选 A(5)0f3125yx10 【解析 】当 时， 恒成立等价于 恒1,2830x ()|f 2xax成立，即 恒成立，所以 ；2a2min3)ax当 时
5、恒成立等价于 恒成立，0x()|fx 2即 恒成立，所以 2a max1()8a综上， 的取值范围是 1,2811 【解析】取 的中点 ，连接 ，36SCO,AB因为 ，所以 ,ABSC因为平面 平面 ，所以 平面 设 ，Or 3111233ASBCSBCVrr所以 ，9r所以球的表面积为 246r12 【解析】由题意， ，且 ，1,222(1)1uxyxx0,又 时， ， 时， ，当 时，0x21uy，所以 取值范围为 2uy2xy1,213 【解析】由体积相等得：72221145+8=48733rr14 【解析】函数 的定义域为 ，(0,)()gx1,根据已知得 ，(2hxf所以 ， 恒成
6、立，2)=)64fxbx()hgx即 ，令 ， ，则只要直线2264xb3y24y在半圆 上方即可，由 ，解得 （舍去3y4(0)xy |10b10b负值） ，故实数 的取值范围是 b21,15160【解析】设该容器的总造价为 元，长方体的底面矩形的长 ，因为无盖长方yxm体的容积为 ，高为 ，所以长方体的底面矩形的宽为 ，依题意，34m4得 244201()80()802160yxxx16【解析】对于，根据题中定义， 函数 ， 的值域Af()yfD为 ，由函数值域的概念知，函数 ， 的值域为R()yxD,Rba，所以 正确；对于，例如函数 的值域 包含于区间()fab |1()2xf(0,1
7、，所以 ，但 有最大值 l，没有最小值，所以错误；对于，1,()fxB()fx若 ，则存在一个正数 ，使得函数 的值域包含于()fg1M()fxgB区间 ，所以 ，由 知，存在一个正数1,M1 ()fx1g，使得函数 的值域包含于区间 ，所以 ，亦有2()x2,22()xM ，两式相加得 ，于是2g - 1()(fx1，与已知“. ”矛盾，故 ，即正确；对于，如()fxB()fxAfgB果 ，那么 ，如果 ，那么 ，所以0a,0a2,()xf有最大值，必须 ，此时 在区间 上，有()fx0a2()1xf(2,)，所以 ，即正确，故填12 ()fxB17 【解析】(1)当 时， 恒成立，公交群体
8、的人均通勤时间不可3 340能少于自驾群体的人均通勤时间；当 时，若 ，即 ，解得 （舍）或301x40()fx1829x20x；45当 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)设该地上班族总人数为 ，则自驾人数为 ，乘公交人数为 n%nx (1%)nx因此人均通勤时间 ，304(1),03()1829)0(),1gxnxxx 整理得： ，240,1()(3.5)6.87,301xgx则当 ，即 时， 单调递减；(0,3,.(,.x()gx当 时， 单调递增2.51)x()g实际意义：当有 的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短.%适当的增加自驾比例，可以充分
9、的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降18 【解析】 （1）由题意知，点 ， 的坐标分别为 ， MN5,402,.5将其分别代入 ，得 ，解得 2ayxb52.40b10ab（2）由（1）知， （ ） ，则点 的坐标为 ，215x2,t设在点 处的切线 交 ， 轴分别于 ， 点， ，lxyAB320yx则 的方程为 ，由此得 ， l2310yttt,t2,t故 ， 2624310ft tt5,t设 ，则 令 ，解得 62410gtt65gtt0gt12t当 时， ， 是减函数；5,tt当 时， ， 是增函数1020gt从而，当 时，函数 有极小值
10、，也是最小值，所以 ，t min30gt此时 min53f答：当 时，公路 的长度最短，最短长度为 千米102tl 15319 【解析】 （）因为蓄水池侧面积的总成本为 020rh元，底面的总成本为26r元，所以蓄水池的总成本为（ 6）元.又题意据 2016hr，所以 21(34)5r，从而 因 0r，又由 h可得 53，23()(04)5Vr故函数 的定义域为 ,.（）因 ，故 令 ，3()rr2()31)5Vrr()0Vr解得 125,（因 25不在定义域内，舍去）.当 (0)r时， ，故 在 (0,)上为增函数；()0Vrr当 ,3时， ，故 在 ,53上为减函数.V由此可知， 在 5r
11、处取得最大值，此时 8h()即当 5r， 8h时，该蓄水池的体积最大 .20 【解析】 （1）当 时， ,1,2bcn()1nfx ， 在 内存在零点11()()022nf()fx1,2又当 时， ， 在 上是单调递增的，,x1nfx()f, 在区间 内存在唯一的零点；()f()（2）解法一 由题意知 即 由图像知， 在点1(),f02,bc3bc取得最小值 ，在点 取得最大值 (0,)6(0,)O-2cb解法二 由题意知 ，即 1()1fbc0bc，即 1()fbc20- +得 ，26()3c-当 时， ；当 时， 0,bc36b0bc所以 的最小值 ，最大值 30解法三 由题意知 ，(1)
12、,fcb解得 ，()(1)2,2ffb31)3cf又 ， (,)f60bc-当 时， ；当 时， 0,2bc330bc所以 的最小值 ，最大值 360(3)当 时, n2()fxbc对任意 都有有 等价于 在-1,1 上的最大值与最12,x,12()4fxf()fx小值之差 据此分类讨论如下:4M()当 ,即 时, ,与题设矛盾12b(1)24fb()当 ,即 时, 恒成立02b 2()(14Mf() 当 ,即 时, 恒成立1201)f综上可知, 21 【解析】设包装盒的高为 （cm） ，底面边长为 （cm） ，由已知得ha.30),30(260,2xxhxa（1） ,1858842S所以当 时， 取得最大值5x（2） ).0(6),30(222 xVxhaV由 （舍）或 =200x得当 时， ； ),(2,)x当 时所以当 =20 时，V 取得极大值，也是最小值x此时 ，即装盒的高与底面边长的比值为 12ha1
