1、专题八 立体几何第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1(2018 全国卷)在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线1ABCDE1C与 所成角的正切值为AECDA B C D23252722(2018 浙江)已知平面 ，直线 ， 满足 ， ，则“ ”是“ mnnmn”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3 （2017 新课标）如图，在下列四个正方体中， ， 为正方体的两个顶点，A， ， 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接 与平面 不平行的MNQMNQ是4 （2017 新课标）在正方体 中， 为棱 的中点，则1ABCDECDA B C
2、 D11E1E11AB1AEC5 （2016 年全国 I 卷）平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A， 平面 CB1D1，-平面 ABCD=m， 平面 ABB1 A1=n，则 m，n 所成角的正弦值为IIA B C D322336 （2016 年浙江）已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l若直线 m，n 满足m，n，则Aml Bmn Cnl Dm n7 （2015 新课标 1） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问 ”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为
3、8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有A 斛 B 斛 C 斛 D 斛1423668 （2015 新课标 2）已知 A、 是球 O的球面上两点， 90AOB， C为该球面上的动点若三棱锥 体积的最大值为 36，则球 的表面积为A 36 B 64 C 14 D 2569 （2015 广东）若直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内， 是平面 与1l2lll平面 的交线，则下列命题正确的是A 与 ， 都不相交 B 与 ， 都相交l12l l12lC 至多与 ， 中的一条相交 D 至少与 ， 中
4、的一条相交10 （2015 浙江）如图，已知 ， 是 的中点，沿直线 将 翻折成ACCDA，所成二面角 的平面角为 ，则ADB11 （2014 广东）若空间中四条两两不同的直线 1234,l，满足 1234,ll，则下面结论一定正确的是A 14l B 14/l C 14,l既不垂直也不平行 D 14,l的位置关系不确定12 （2014 浙江）设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面,mn,A若 ， ，则 B若 ， 则/mC若 则 D若 ， ， ，则,nnm13 （2014 辽宁）已知 ， 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是A若 则 B若 ， ，则/,/m/nnC若 ， ，则 D若
5、， ，则/m14 （2014 浙江）如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练，ACA已知点 到墙面的距离为 ，某目标点 沿墙面的射击线 移动，此人为了准确APM瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小（仰角 为直线 与平面PP所成角） 。若 ， ， 则 的最大值ABC15Bm2530BtanMCABPA B C D30530143953915 （2014 四川）如图，在正方体 中，点 为线段 的中点。设点1BOB在线段 上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是P1COPAsinOA1A BB1CC1D1DA B C D3,16,1362,32,1316 （201
6、3 新课标 2）已知 ,mn为异面直线， 平面 ， n平面 直线 l满足,l， l，则A 且 B 且 l C 与 相交，且交线垂直于 l D 与 相交，且交线平行于 l17 （2013 广东）设 是两条不同的直线, ,是两个不同的平面，下列命题中正确的是mnA若 , , ,则 nB若 /, , ,则 /C若 n, , ,则 D若 m, /, ,则18 （2012 浙江）设 l是直线， 是两个不同的平面A若 l ， ，则 B若 l ， l ，则 C若 ， l ，则 l D若 , ，则 l19 （2012 浙江）已知矩形 ， ， 将 沿矩形的对角线ABC12AB所在的直线进行翻折，在翻折过程中，B
7、DA存在某个位置，使得直线 与直线 垂直B存在某个位置，使得直线 与直线 垂直DC存在某个位置，使得直线 与直线 垂直ABCD对任意位置，三对直线“ 与 ”， “ 与 ”， “ 与 ”均不垂直ADBC20 （2011 浙江）下列命题中错误的是A如果平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面平 面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面C如果平面 ，平面 ， ，那么平 面 平 面 =ll平 面D如果平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面平 面 21 （2010 山东）在空间，下列命题正确的是A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平
8、面平行D垂直于同一平面的两条直线平行二、填空题22(2018 全国卷)已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角SASBSA为 ，若 的面积为 ，则该圆锥的体积为_30SAB 8三、解答题23 （2018 全国卷）如图，在三棱锥 中， ，PC2， 为 的中点4PCOAOMPCBA(1)证明： 平面 ；POC(2)若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离MB2P24 （2018 全国卷）如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是ADACDM上异于 ， 的点ACD(1)证明：平面 平面 ； BC(2)在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由MPM PBA BCDM25
9、 （2018 北京）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面PCADPA， ， = ， ， 分别为 ， 的中点ABCDPDEFPFEDCBA(1)求证： ；PEBC(2)求证：平面 平面 ；APD(3)求证： 平面 F26（2018 天津）如图，在四面体 中， 是等边三角形，平面 平面ABCABC，点 为棱 的中点， ， ， BDMB2390D(1)求证： ；AC(2)求异面直线 与 所成角的余弦值；(3)求直线 与平面 所成角的正弦值DMABC D27(2018 江苏)在平行六面体 中， ， 1ADB1AB1CD1 C1B1A1DCBA求证：(1) 平面 ；AB 1C(2)平面 平面 1
10、28(2018 浙江)如图，已知多面体 ， ， ， 均垂直于平面 ，1AB1BCABC， ， ， 120ABC141C2C1B1A1 CBA(1)证明： 平面 ；1AB1C(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值29 （2017 新课标）如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底PABDPA面 ， ， ABCD1290CDCBAP(1)证明：直线 平面 ；CPD(2)若 的面积为 ，求四棱锥 的体积。P27AB30 （2017 新课标）如图，四面体 中， 是正三角形， CADCA BCDE(1)证明： ；CBD(2)已知 是直角三角形， 若 为棱 上与 不重合的点，且BDED，求四面体 与四
11、面体 的体积比EAC31 （2017 天津）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，PPABC， ， ， ， PDB1A342（）求异面直线 与 所成角的余弦值；（）求证： 平面 ；BC（）求直线 与平面 所成角的正弦值P32 （2017 山东）由四棱柱 截去三棱锥 后得到的几何体如图1ABCD11CBD所示，四边形 为正方形， 为 与 的交点， 为 的中点，OEA平面 ，1AE（）证明： 平面 ；11BC（）设 是 的中点，证明：平面 平面 MD1AEM1BCDD1B1 A1MOE DCBA33（2017 北京）如图，在三棱锥 中， ， ， ，PABPABC， 为线段 的中点， 为线段 上一点2P
12、ACDE（）求证： ；PABD（）求证：平面 平面 ；EPAC（）当 平面 时，求三棱锥 的体积PABDEBCD34 （2017 浙江）如图，已知四棱锥 ， 是以 为斜边的等腰直角三角PAA形， ， ， ， 为 的中点C 2EP（）证明： 平面 ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值EBCEDCBA P35 （2017 江苏）如图，在三棱锥 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面DBCD，点 E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD求证：（1）EF平面 ABC；（2）ADAC FABC DE36 （2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32cm，容器的底面对角线 的长为 10 cm，容器的两底面对角线 ，A7EG的长分别为 14cm 和 62cm 分别在容器和容器中注入水，水深均为 12cm 1EG现有一根玻璃棒 ，其长度为 40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）l（1）将 放在容器中， 的一端置于点 处，另一端置于侧棱 上，求 没入水llA1Cl
